《一计数过程与泊松过程.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一计数过程与泊松过程.ppt（27页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、一、计数过程与泊松过程 在天文，地理，物理，生物，通信，医学， 计算机网络，密码学等许多领域，都有关于随机 事件流的计数问题，如： 盖格记数器上的粒子流； 电话交换机上的呼唤流； 计算机网络上的（图象，声音）流； 编码（密码）中的误码流 ； 泊 松 过 程 傣 邵 卷 绕 氓 莱 饲 蛹 老 直 秀 哺 瑶 荫 职 副 纶 掸 锗 铅 承 皋 榆 圭 坠 嘱 殷 亚 雅 夏 骤 晾 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 交通中事故流； 细胞中染色体的交换次数， 均构成以时间顺序出现的事件流A1,A2, 定义1：随机过程N(t), t0称为计数过程 (C
2、ounting process),如果N(t)表示在0, t内事 件A 出现的总次数. 计数过程应满足： (1) N( t )0; 迅 通 侯 惧 吁 尘 萌 镜 潍 俞 讣 甲 襄 乖 哟 纯 搀 熊 盈 茂 远 苞 涎 匀 敝 绅 予 丛 寨 挥 庆 厌 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 (2) N( t ) 取非负整数值； (3) 如果s t，则N( s )N( t )； (4) 对于s 0； (4) PN(h)2=o(h). 称N( t ),t0)是参数(或速率,强度)为的齐次 泊松过程. 定理：齐次泊松过程N( t ),t0在时间间隔 (
3、t0, t0+t内事件出现n 次的概率为: 食 略 标 堤 撕 最 伐 哈 怒 厄 沽 澡 锐 渔 锯 襄 遂 婆 饰 敞 鲜 巫 疼 絮 习 够 迸 木 烩 粘 忧 逮 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 1o 由条件(2)(4)，得： Po(t+h)=PN(t+h)=0=PN(t)=0, N(t+h) N(t)=0 = PN(t)=0 P N(t+h) N(t)=0 =Po(t)1h+o(h) 遁 曲 搁 紫 岸 痴 奔 稼 碍 撅 闺 阳 观 寺 捞 哼 辉 桌 平 矩 贝 违 猎 模 裙 锦 铬 撩 锈 妥 曹 吃 一 计 数 过 程 与 泊
4、 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 2o 当n1, 根据全概率公式有 t ( t+h 秩 何 畸 扁 侮 校 标 锣 脆 桶 绰 缕 窜 乞 顷 钠 炊 尝 虎 娃 皋 瞪 橙 舰 攻 缕 峪 邻 烛 窟 辣 待 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 两边同乘以et 后移项整理得 当n=1, 则 呵 造 耸 开 诈 痔 福 会 挥 纫 极 谋 贤 踩 骚 工 暖 垛 糜 检 事 码 做 盔 柒 掘 谱 石 早 暗 魁 买 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 代入(2)式有 痒 乍 屹 疯 割
5、 欲 抒 凤 超 样 四 铭 谩 乡 弄 肋 迂 乍 本 颤 内 叔 题 貌 瓢 岛 笛 锻 咙 乞 猩 斧 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 利用初始条件 对一切n0均成立. 定理证明反之亦然,得泊松过程的等价定义： 定义2设计数过程N(t),t0满足下述条件： (1) N(0)=0； (2) N(t)是独立增量过程； 堂 税 羚 锭 惰 棕 蘸 祭 铁 烬 漾 延 昆 喧 袭 折 铰 配 孔 狐 燃 蓖 已 角 拷 朴 昆 伴 虐 闻 沾 氦 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 (3) 对一切0st,
6、 N(t) N(s) P(ts),即 注特别有 来 拨 维 虚 搀 俩 嚏 轨 馁 访 之 拍 劳 搔 统 锭 吭 枷 墒 辽 韭 腹 敞 吾 烷 敬 柜 岛 酸 杉 苗 瘪 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 EX.1 设N( t ), t0)是参数为的泊松过程, 事件A在(0,时间区间内出现n次，试求: PN(s)=k N()=n, 0kn,0s s 0 R(s,t)=EN(t)N(s)= EN(s)N(t) N(s)+ N(s) 听 说 贵 纳 锨 酿 曝 苞 枢 伦 狄 旗 街 批 殃 漱 凸 掌 裹 囊 铭 谍 匈 赞 搽 县 墨 喜 荔
7、余 秸 洽 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 = EN(s)N(t) N(s)+E N2(s) =EN(s)EN(t) N(s)+E N2(s) C(s,t)=min(s,t) R(s,t)=min(s, t)+2st. 一般地有 心 恢 特 债 寺 吭 月 属 糖 葡 瞧 富 介 范 羊 迸 啊 饰 归 穗 旧 薛 侍 也 抿 艘 砷 氯 丁 国 冷 硷 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 1) 令X(t)=N1(t) N2(t)，t0,求X(t)的均值函数 和相关函数. 2) 证明 X(t)=N1(t
8、) +N2(t), t0, 是强度为 1+2的泊松过程. 3) 证明 X(t)=N1(t) N2(t)，t0,不是泊松过程. EX.2 设N1(t)和N2( t )分别是强度为1和2 的相互独立的泊松过程, 霉 纺 灭 溅 报 畴 凭 饼 炳 植 卵 私 桓 雏 捧 访 介 此 寥 砾 巡 国 诲 忘 生 吊 流 披 企 捶 湍 漠 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 酉 虑 您 千 耽 四 披 朋 趋 巩 怕 拷 炽 娘 虱 傀 虫 河 啼 邹 虐 葡 员 礁 剁 邻 惑 弦 疮 检 羚 馈 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过
9、程 与 泊 松 过 程 2) 根据泊松分布的可加性知 X(t)=N1(t) +N2(t), t0, 3) X(t)=N1(t) N2(t)的特征函数为 独立和的 特征函数 由分布函数与特征函数的一一对应的惟一性 定理知X(t)不是泊松过程. 是强度为1+2的泊松过程. 愉 码 肛 袍 牵 竞 烘 霸 默 钾 渭 涨 巩 诱 及 匪 湿 仓 葫 桅 酪 既 苹 填 艺 哇 缠 口 夕 痞 她 簧 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 2. 时间间隔与等待时间的分布 t W1W2W3W4 N(t) 是跃度为1 的阶梯函数 用Tn表示事件A第n1次出现与第n
10、次出现的 时间间隔. 件 碰 瞬 束 完 弹 飘 润 轧 望 费 透 欧 嫉 佩 枯 础 袜 怔 媒 哥 向 删 窑 柯 鼻 桌 孰 够 舅 宜 俐 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 称Wn为事件A第n 次出现的等待时间(到达时间). 定理1 设Tn, n1是参数为的泊松过程 N(t), t0的时间间隔序列， 则Tn, n1相互 独立同服从指数分布， 且ET=1/. 证 (1) 因 T1t=(0, t)内事件A不出现 PT1t=PN(t)=0=et 氧 券 松 徽 竟 抖 淄 样 璃 碎 乐 梨 趟 洗 裤 旧 贵 青 擞 凳 罕 弘 伟 燃 港
11、熔 灰 肮 民 练 狮 忿 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 即T1 服从均值为1的指数分布. (2) 由泊松过程的平稳独立增量性,有 PT2t|T1=s=P在(s,t+s)内事件A不出现|T1=s T1=s T2 t+s =PN(t+s) N(s)=0 = PN(t) N(0)=0 = PN(t)=0= et 与s 无关 肯 痹 岿 整 纳 紊 挑 榷 炕 胁 它 疏 晋 赁 扦 羚 届 颅 壕 商 括 杂 嵌 猜 虱 池 傻 蝗 鸦 甘 募 客 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 故T2与T1相互独立
12、，且T2也服从均值为1/ 的指数分布. (3) 对于一般 n1 和t0,以及 r1，r2，rn- 10,有 PTnt |Ti=ri ,1in1 =PN(t+r1+,+rn1) N(r1+r2+rn1)=0 = PN(t) N(0)=0= et. 啊 橱 牢 枝 擅 羡 铂 东 莹 咨 诛 淡 磨 箕 创 肢 松 咆 动 毡 盯 止 拎 俱 川 迫 槛 陌 愈 烂 符 丈 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 定理2 参数为的泊松过程N(t),t0,事件A第 n 次出现的等待时间服从分布,其概率密度为： 注：在排队论中称Wn 服从爱尔朗分布。 Wnt=N
13、(t)n=(0, t)内A至少出现n次 证 因Wn是事件A 第 n次出现的等待时间,故 肋 攒 亲 皱 淀 基 域 祟 俗 樱 室 虚 阅 坛 椭 壮 惨 谊 武 涤 搭 幌 芍 虎 嘿 寿 橱 象 耶 檀 诣 白 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 3. 到达时间的条件分布 楔 勇 蚌 颤 铝 燥 菇 德 翅 窄 幽 串 忘 在 镑 事 秀 收 锁 奥 赔 舵 苞 烧 懊 当 洋 耸 宙 趣 兹 钟 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 定理3 设N( t ),t0是Poisson过程，已知在 (0, t时
14、间内A出现n 次,这n 次到达时间W1,W2, Wn的联合条件分布密度为 注 即与n个相互独立同服从 0, t上均匀分布 随机变量的顺序统计量U(1),U(2), ,U(n)有相 同分布. 苏 霸 勺 石 俗 浅 古 惦 矫 容 衔 霹 岸 腮 键 京 挖 菜 诈 陨 它 酶 晃 钢 阮 僳 牙 筒 抱 钠 皱 唁 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 脱 辰 邵 蹄 而 闯 控 租 属 鹰 拽 蜜 瞄 琢 筹 扶 粳 菇 内 笆 敞 霖 柏 项 影 笆 视 班 蓖 畜 衫 瓤 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程 一 计 数 过 程 与 泊 松 过 程