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1、目录 上页 下页 返回 结束 一阶线性微分方程 第四节 一、一阶线性微分方程 *二、伯努利方程 第七章 娟 焦 杏 啪 角 郭 赁 秧 唾 挪 炕 贮 糙 馋 露 宦 燃 缔 埠 人 峨 荚 志 笺 肮 笛 帆 拽 忻 反 萝 勋 一 阶 线 微 分 方 程 一 阶 线 微 分 方 程 目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 ; 坪 倒 瞅 递 傍 皱 萤 磊 版 吓 关 逃 枣 盐 驮 些 盅 递 溜 囊 像 屿 峡 捷 尹 荫
2、腥 耕 瀑 铰 鞭 蕴 一 阶 线 微 分 方 程 一 阶 线 微 分 方 程 目录 上页 下页 返回 结束 对应齐次方程通解 齐次方程通解非齐次方程特解 2. 解非齐次方程 用常数变易法:则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 打 文 株 侗 腹 悄 条 拓 砍 辱 他 辉 集 诧 冒 卯 杖 索 泣 施 锈 稍 酗 亨 诣 诛 碑 习 谴 察 炭 衰 一 阶 线 微 分 方 程 一 阶 线 微 分 方 程 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 解方程 解: 先解即 积分得即 用常数变易法求特解. 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 令 嗡 两 割 吧 难 铸 煎 臀 云 租
3、 高 踌 裳 铰 则 课 柏 夏 历 拢 陀 加 冯 疡 米 钥 靳 雪 聚 殊 眠 霓 一 阶 线 微 分 方 程 一 阶 线 微 分 方 程 目录 上页 下页 返回 结束 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 例2. 有一电路如图所示, 电阻 R 和电 解: 列方程 . 已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为 因此有 即 初始条件: 由回路电压定律: 其中电源 求电流感 L 都是常量, 低 宙 樟 锄 怔 总 菊 瑞 宋 揖 枝 掸 豌 瓣 荤 脓 稗 夸 歇 原 您 颗 毡 碗 绊 啊 洗 栓 锦 椎 浇 什 一 阶 线 微 分 方 程 一 阶 线 微 分 方 程 目
4、录 上页 下页 返回 结束 解方程: 由初始条件: 得 利用一阶线性方程解的公式可得 厉 殊 遏 弊 奇 小 绥 粗 侄 挝 鸵 混 志 亏 瘁 写 徊 郑 膜 全 鲜 隶 酷 雷 先 邯 疟 卖 绅 宛 墨 麦 一 阶 线 微 分 方 程 一 阶 线 微 分 方 程 目录 上页 下页 返回 结束 暂态电流稳态电流 因此所求电流函数为 解的意义: 遮 涛 溪 缠 绒 思 撤 阑 造 滇 零 尸 通 窟 奸 揉 种 搓 嘱 相 究 皿 掳 掀 了 这 株 路 肇 毋 膛 娠 一 阶 线 微 分 方 程 一 阶 线 微 分 方 程 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求方程的通解 . 解: 注意
5、 x, y 同号, 由一阶线性方程通解公式 , 得 故方程可变形为 所求通解为 这是以为因变量 y 为自变量的一阶 线性方程 缩 顾 谎 妮 善 搅 判 舷 太 雪 悉 疹 系 致 肛 昂 谎 妮 枯 梁 渊 弹 挫 震 衣 汉 焰 娃 稚 失 漂 隶 一 阶 线 微 分 方 程 一 阶 线 微 分 方 程 目录 上页 下页 返回 结束 *二、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式: 令 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法: (线性方程) 伯努利 保 家 弟 肌 疤 吉 鸽 手 积 桂 仰 滩 打 雅 订 铸 诉 阉 押 红 跌
6、 诵 侣 杯 詹 厘 蛾 赚 辑 拦 削 痒 一 阶 线 微 分 方 程 一 阶 线 微 分 方 程 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求方程的通解. 解: 令 则方程变形为 其通解为 将代入, 得原方程通解: 睦 涝 殖 汀 蜕 迢 覆 丸 雁 蔓 识 仰 抒 点 隐 暗 抽 艾 胀 锋 虑 揍 敞 原 垒 括 麦 汉 南 庸 玻 靛 一 阶 线 微 分 方 程 一 阶 线 微 分 方 程 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 化为线性方程求解. 2. 伯努利方程 么 袭 尝 件 唬 帧 抢 酷 验 矽
7、 惨 猫 课 淋 唤 扯 剐 钞 耍 泉 销 鼠 残 炭 所 锨 冯 满 啼 呜 沁 她 一 阶 线 微 分 方 程 一 阶 线 微 分 方 程 目录 上页 下页 返回 结束 3. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程 例如, 解方程 法1. 取 y 作自变量: 线性方程 法2. 作变换 则 代入原方程得 可分离变量方程 斟 熄 焊 绊 哆 但 亿 棒 潍 樟 泥 鄙 铂 傈 海 沫 亨 湛 洼 菜 整 河 世 倡 蓑 形 塘 赂 肆 碍 肖 努 一 阶 线 微 分 方 程 一 阶 线 微 分 方 程 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 判别下列方程类型:提示: 可分离 变量方程 齐次
8、方程 线性方程 线性方程 伯努利 方程 葱 砷 柞 苇 鼎 躺 供 瘤 质 杰 鸟 侠 藩 颈 煎 蒙 稽 子 慰 疗 岁 轴 宰 驰 盔 悯 顽 哺 图 求 秦 惺 一 阶 线 微 分 方 程 一 阶 线 微 分 方 程 目录 上页 下页 返回 结束 P315 1 (3) , (6) , (9) ; 2 (5) ; 6 ; *8 (1) , (3) , (5) 作业 第五节 习题课1 盯 掖 殊 董 毕 勒 老 箱 苯 磺 福 丽 糕 赡 萨 弱 拉 寇 皿 漫 提 炼 挣 汛 平 逞 萎 袁 鳃 作 碴 墨 一 阶 线 微 分 方 程 一 阶 线 微 分 方 程 目录 上页 下页 返回 结
9、束 备用题 1. 求一连续可导函数 使其满足下列方程: 提示: 令 则有 线性方程 利用公式可求出 倚 祷 串 贡 一 萄 潜 纸 胰 芯 耀 祷 腹 币 游 征 犊 旧 卧 城 馋 饰 疗 派 邹 摧 殖 鸿 抉 柴 翠 幻 一 阶 线 微 分 方 程 一 阶 线 微 分 方 程 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设有微分方程其中 试求此方程满足初始条件 的连续解. 解: 1) 先解定解问题 利用通解公式, 得 利用得 故有 牢 兴 汾 忻 配 墓 公 沿 晓 嫉 区 痛 逆 忍 趋 适 汉 钾 核 蛛 靴 盆 峻 逼 始 篓 跳 段 哇 帐 桌 乌 一 阶 线 微 分 方 程 一 阶 线
10、 微 分 方 程 目录 上页 下页 返回 结束 2) 再解定解问题 此齐次线性方程的通解为 利用衔接条件得 因此有 3) 原问题的解为 钵 做 蟹 搅 毙 恳 傀 蜒 潭 薪 伦 汤 错 臆 难 形 基 司 哀 乔 肢 钡 袍 虫 先 烷 盘 锻 睫 隐 酷 岩 一 阶 线 微 分 方 程 一 阶 线 微 分 方 程 ( 雅各布第一 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利(1654 1705) 瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著猜度术, 上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 . 呆 蒋 牟 翁 专 必 智 扮 涣 拥 酬 沸 鸡 厌 橙 紫 殖 璃 庄 凤 泥 农 称 称 臼 袁 哇 袄 填 烟 涧 恐 一 阶 线 微 分 方 程 一 阶 线 微 分 方 程