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1、 数学物理方程小结 第七章 数学物理定解问题数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。 7.1数学物理方程的导出一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在数学上为忽略高级小量.）第三 然后再把物理量u随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。（一） 三类典型的数学物理方程（1）波动方程： 此方程 适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.）（2）输运方程： 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。（3）Laplace 方程： 稳定的温度和浓度
2、分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。7.2定解条件定解条件包含初始条件与边界条件。（1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。例如波动方程应有二个初始条件, 一般选初始位移u（x,o）和初始速度ut（x,0）。而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u（x,o）,而Laplace 方程没有初始条件。（2） 三类边界条件第一类边界条件： u( r ,t)| = f （1）第二类边界条件： u n| = f （2）第三类边界条件： ( u+Hun)|= f （3） 其中H为常数.7.3 二阶线性偏微分方程分类 判别式 波动
3、方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的.7.4 达朗贝尔公式对一维无界的波动方程,当不考虑外力时,定解问题为对半无界问题作延拓处理:对第一类齐次边界条件作奇延拓,而对第二类齐次边界条件作偶延拓.第八章 分离变量法8.1 分离变量法 主要步骤: 1.边界条件齐次化,对非齐次边界条件首先把它化为齐次的.2.分离变量 u(x,t) =X(x) T(t) （1） 以后对三维问题也是如此3. 将（1）式代入原方程得出含任意常数的常微分方程, (称为本征方程) 而为本征值.4.由齐次边界条件确定本征值,并求出本征方程.(得出的解为本征函数)5.根据迭加原理把所有满足方程的线性无关解迭
4、加后,就能得通解.6.再由初始条件确定系数.一维波动方程在第一类齐次边界条件下的一维波动方程在第二类齐次边界条件下的通解: 一维输运方程在第一类齐次边界条件下的通解:一维输运方程在第二类齐次边界条件下的通解: 对其他的齐次边界条件,如本征函数已知也可直接求解,而对本征函数不熟则只能用分离变量法来求解.8.2 非齐次边界条件的处理 常用方法有 1) 直线法 :对边界条件为: u(0,t)=g(t), u(L,t)=h(t) .令 ,可把边界条件化为齐次,但一般情况下方程变为非齐次. 只有当g,h为常数时,方程才不变.2) 特解法把 u化为两部分,令 u=v+w 使v满足齐次边界条件与齐次方程,而
5、使w满足齐次方程与非齐次边界条件.下面通过实例来介绍此方法. 例题 求解下列定解问题 Utta2 Uxx = 0 U|x=0 =0, U|x=L= ASint U|t=0 = 0 , Utt=0 = 0( 其中A 、为常数, 0xL , 0 t ）解：令 u=v+w ,使w满足波动方程与非齐次边界条件,得出 第九章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题 一.拉普拉斯方程与亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分 离变量结果.1. 拉普拉斯方程在球坐标下的通解:其中Ylm为球函数,拉普拉斯方程在球坐标下的解不依赖于边界条件.在轴对称时(1)式退化为2. 拉普拉斯方程在柱坐标下:(5)式其解为m阶Bess
6、el函数,解依赖于边界条件,当上下底为边界条件是齐次时,0.对应的解是虚贝塞尔函数.3） 亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.在球坐标下: 其中Y为球函数,R为球贝塞尔函数.在柱坐标下: . (5)式其解为m阶Bessel函数,二、常微分方程的级数解法1. 掌握常点邻域的级数解法.2. 掌握正则奇点邻域的级数解法. 3.知道无穷级数退化为多项式的方法.三. 知道Sturm-Livouville本征值问题的共同性质当k(x),q(x)和(x)都只取非负的值(0), Sturm-Livouville方程共同性质为:1)当k(x),k(x)和q(x)连续且x=a和x=b最多为一阶极点时,存在
7、无限多个本征值及对应的本征函数: 2)所有本征值n03)对应于不同本征值的本征函数带权正交4)本征函数族构成完备系第十章 球函数1. 轴对称的球函数当物理问题绕某一轴转动不变时,选此轴为z轴这时物理量u就与无关,m=0.此时球函数Y(,)就为L阶勒让德多项式.即Y=Pl (cos)1) 勒让德多项式1. 勒让德多项式级数形式:2. 勒让德多项式微分形式:3.前几项为:P0(x)= 1, P1(x) =x=cos,P2(x)=(3x2-1)/2, .一般勒让德多项式的幂次取决L当L为偶数时都为偶次幂项,L为奇数时都为奇次幂项. 对特殊点x=1,0.4.勒让德多项式正交关系 (3) 5.勒让德多项
8、式的模 (4)6.广义傅里叶级数 :当f(x)在-1,1连续可导,且在x=-1与1有限时. (5)7.在球坐标下Laplace方程: u= 0的通解为: 轴对称 (6)式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有两自然边界条件,r=0与r,球内解包含r=0,u有限, (7)而Al由球面的边界条件确定,同样对球外区域两系数由球面的边界条件与r, 两个条件确定.8. 母函数 (8)9. 递推公式二.连带勒让德函数在一般情况下,物理量u与有关,故球函数Y是连带勒让德函数与周期函数的乘积.1. 连带勒让德函数 (1)2.连带勒让德函数的微分表示 (2)从(2)可得当L一定时,m的取值为 m=0,1,2L.共
9、有L+1个值.而三角形式球函数Y（,）中,cosm,sinm为不同态,共有2L+1个态.3.正交关系4. 球函数Y的两种表示形式. 第十一章 柱函数一、 掌握三类柱函数的基本性质一般我们称Bessel函数Jm(x)为第一类柱函数.而把Neumann函数Nm(x)称为第二类柱函数 .1）对于第一类柱函数与第二类柱函数的线性组合.称为第一种与第二种汉克尔函数.而汉克尔函数称为第三类柱函数 2) x0和x时的行为3) 递推公式4） 贝塞尔函数的零点对m阶贝塞尔方程 对第一类齐次边界条件 得出第n个零点对第二类齐次边界条件二贝塞尔函数的正交关系. 对于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区间 0,0上带权重正
10、交. 2）广义傅里叶- 贝塞尔级数 3）Laplace在柱坐标下的通解 轴对称m=0,柱内解为 在侧面为第一类齐次边界条件时 其中系数An,Bn由上下底边界条件确定. 在上下底为齐次边界条件时, 0,R的解为虚宗量贝塞尔函数.记为Im(x) 同样可得Laplace方程在柱内解 当轴对称时m=0 上下底满足第一类齐次边界条件时解为 输运方程与波动方程在柱坐标下的解 1) 解的形式: u(r,t)=T(t)v(r) V满足亥姆霍兹方程.在侧面与上下底齐次边界条件下能完全确定本征值,例如上下底满足第一类齐次边界条件. 在轴对称情况下m=0对输运方程柱内的解:上下底满足第一类齐次边界条件波动方程在柱内
11、的解: 在上下底满足第一类齐次边界条件下 二维极坐标下的解: 侧面满足第一类齐次边界条件 （3） 侧面满足第二类齐次边界条件 第十二章 积分变换法 一、傅里叶变换法 1。掌握傅里叶变换法的适用条件，即方程中的一个变量是在 (-,)范围内时,可用Fourier 变换法. 2。能用傅里叶变换法求解一些筒单的偏微分方程。 二、Laplace变换法 1。掌握Laplace变换法的适用条件，即方程有初值情况,且一个变量 的变化范围在 (0, ) 2。能用Laplace变换法求解一些筒单的偏微分方程。 第十三章 格林函数法 1。知道格林函数的定义及物理意义 2。知道泊松方程解的积分形式 3。能用电像法求解泊松方程的格林函数。