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1、2002级量子力学期末考试试题和答案B卷一、（共25分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）4、在一维情况下，求宇称算符和坐标的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间和能量的测不准关系。（5分）二、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在A表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。三、（15分）线性谐振子在时处于状态 ，其中，求1、在时体系能量的取值几率和平均
2、值。2、时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、（15分）当为一小量时，利用微扰论求矩阵 的本征值至的二次项，本征矢至的一次项。五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：
3、4、宇称算符和坐标的对易关系是：，将其代入测不准关系知，只有当时的状态才可能使和同时具有确定值，由知，波函数满足上述要求，所以是算符和的共同本征函数。5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。以、和依次表示、和在态中的平均值，令 ，则有 ，这个关系式称为测不准关系。时间和能量之间的测不准关系为：二、1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是： 设在A表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，令，（为任意实常数）得在A表象中的矩阵表示式为：2、在A表象中算符的本征方程为：即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即
4、对有：，对有：所以，在A表象中算符的本征值是，本征函数为和3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即三、解：1、的情况：已知线谐振子的能量本征解为： ， 当时有：，于是时的波函数可写成：，容易验证它是归一化的波函数，于是时的能量取值几率为：，能量取其他值的几率皆为零。能量的平均值为：2、 时体系波函数显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故时体系能量的取值几率和平均值与的结果完全相同。四、解：将矩阵改写成：能量的零级近似为：，能量的一级修正为：，能量的二级修正为：， ，所以体系近似到二级的能量为：，先求出属于本征值1、2和3的本征函数分别为：，利用波函数的一级修正公式，可求出波函数的一级修正为：，近似到一级的波函数为：，五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。以表示第个粒子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：（1）；（2）（3）； （4）