离散数学习题解答耿素云屈婉玲北京大学出版社(供参考).doc

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1、习题一1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？ （1）中国有四大发明.答：此命题是简单命题，其真值为1.（2）是无理数. 答：此命题是简单命题，其真值为1.（3）3是素数或4是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4） 答：不是命题.（5）你去图书馆吗？ 答：不是命题.（6）2与3是偶数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！ 答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！ 答：不是命题.（10）圆的面积等于半径的平方乘以.答：此命题是

2、简单命题，其真值为1.（11）只有6是偶数，3才能是2的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008年元旦下大雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四大发明.（2）p:是无理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的面积等于半径的平方乘以.（13）p:2008年元旦下大雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）是有理数.答：否定式：是无理数. ：是有理数.：是无理数.其否定式

3、的真值为1.（2）不是无理数.答：否定式：是有理数. ：不是无理数. ：是有理数. 其否定式的真值为1.（3）2.5是自然数. 答：否定式：2.5不是自然数. ：2.5是自然数. ：2.5不是自然数. 其否定式的真值为1.（4）ln1是整数.答：否定式：ln1不是整数. ：ln1是整数. ：ln1不是整数. 其否定式的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2与5都是素数答：2是素数，：5是素数，符号化为，其真值为1.（2）不但是无理数，而且自然对数的底e也是无理数.答：是无理数，：自然对数的底e是无理数，符号化为，其真值为1.（3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数.答：2是

4、最小的素数，：2是最小的自然数，符号化为，其真值为1.（4）3是偶素数.答：3是素数，：3是偶数，符号化为，其真值为0.（5）4既不是素数，也不是偶数.答：4是素数，：4是偶数，符号化为，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2或3是偶数.（2）2或4是偶数.（3）3或5是偶数.（4）3不是偶数或4不是偶数.（5）3不是素数或4不是偶数.答: ：2是偶数，：3是偶数，:3是素数，:4是偶数, :5是偶数(1) 符号化: ，其真值为1.(2) 符号化：，其真值为1.(3) 符号化：，其真值为0.(4) 符号化：，其真值为1.(5) 符号化：，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）

5、小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.答：小丽从筐里拿一个苹果，：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: .（2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.答：刘晓月选学英语，：刘晓月选学日语，符号化为: .7.设：王冬生于1971年，：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：pq0000011110111101根据真值表,可以判断出,只有当p与q同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p与q不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.8.将下列命题符号化,并指出真值.（1）只要,就有；（2）如果,则；（3）只有,才有

6、；（4）除非,才有；（5）除非,否则；（6）仅当.答:设p:,则:;设q:,则:.符号化真值（1）1（2）1（3）0（4）0（5）0（6）19.设p：俄罗斯位于南半球,q：亚洲人口最多,将下面命题用自然语言表述,并指出其真值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根据题意,p为假命题,q为真命题.自然语言真值（1）只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就最多1（2）只要亚洲人口最多,俄罗斯就位于南半球0（3）只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就最多1（4）只要俄罗斯位于南半球，亚洲人口就不是最多1（5）只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就位于南半球1（6）只要俄罗斯不位于南半球，亚洲人口

7、就不是最多0（7）只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就不位于南半球110设p：9是3的倍数,q：英国与土耳其相邻,将下面命题用自然语言表述,并指出真值：（1）；（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p为真命题,q为假命题.自然语言真值（1）9是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻0（2）9是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻1（3）9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻1（4）9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻011将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）若2+2=4,则地球是静止不动的；（2）若2+2=4,则地球是运动不止的；（3）若地球上没有树木,则人类不能生存；（4）若地球上没有水,则是

8、无理数.答:命题1命题2符号化真值（1）p:2+2=4q:地球是静止不动的0（2）p:2+2=4q:地球是静止不动的1（3）p:地球上有树木q:人类能生存1（4）p:地球上有树木q:人类能生存112.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2+2=4当且仅当3+3=6；（2）2+2=4的充要条件是3+36；（3）2+24与3+3=6互为充要条件；（4）若2+24,则3+36,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.符号化真值(1)1(2)0(3)0(4)113.将下列命题符号化,并讨论各命题的真值：（1）若今天是星期一,则明天是星期二；（2）只有今天是星期一,明天才是星期二；（3）

9、今天是星期一当且仅当明天是星期二；（4）若今天是星期一,则明天是星期三.答:设p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三.符号化真值讨论(1)不会出现前句为真,后句为假的情况(2)不会出现前句为真,后句为假的情况(3)必然为1(4)若p为真,则真值为0;若p为假,则真值为114.将下列命题符号化：（1）刘晓月跑得快,跳得高；（2）老王是山东人或者河北人；（3）因为天气冷,所以我穿了羽绒服；（4）王欢与李乐组成一个小组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他一面吃饭,一面听音乐；（8）如果天下大雨,他就乘班车上班；（9）只有天下大雨,他才乘班车上班；（10）除非天

10、下大雨,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2与4都是素数,这是不对的；（13）“2或4是素数,这是不对的”是不对的.答:命题1命题2命题3符号化(1)p:刘晓月跑得快q:刘晓月跳得高-(2)p:老王是山东人q:老王是河北人-(3)p:天气冷q:我穿羽绒服-(4)p:王欢与李乐组成一个小组-p:王欢与李乐组成一个小组(5)p:李辛与李末是兄弟-p:李辛与李末是兄弟(6)p:王强学过法语q:刘威学过法语-(7)p:他吃饭q:他听音乐-(8)p:天下大雨q:他乘车上班-(9)p:天下大雨q:他乘车上班-(10)p:天下大雨q:他乘车上班-(11)p:下雪q:路滑r:他迟到了(1

11、2)p:2是素数q:4是素数-(13)p:2是素数q:4是素数-15.设p：2+3=5. q：大熊猫产在中国. r:太阳从西方升起.求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q真值为1，r真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q的真值为0,r,s的真值为1时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下面一段论述是否为真：“是无理数.并且,如果3是无理数,则也是无理数.另外,只有6能被2整除,6才能被4整除.”解：p:是无理数q: 3是无理数r:是无理数s: 6能被2整除t：6能被4整除符号化为

12、: ，该式为重言式，所以论述为真。18.在什么情况下,下面一段论述是真的:“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的,而说如果小王会唱歌,小李就会跳舞是不正确的.”解：p:小王会唱歌。q:小李会跳舞。 真值为1.真值为0.可得，p真值为1，q真值为0.所以，小王会唱歌，小李不会跳舞。19.用真值表判断下列公式的类型:（1）（2）p（3）（4）（5）（6）（7）.解：（1）pqr00010011010101111001101111011111此式为重言式（2）pq（p001010101111此式为可满足式（3）qr000010100110此式为矛盾式（4）pq001011101111此式为重言式（5

13、）pqr00000010010101111001101011011110此式为可满足式（6）pqr00010011010101111001101111011111此式为重言式（7）pqrs00001000100010000111010010101001100011111000010010101011011111001110101110011111此式为可满足式20.求下列公式的成真赋值：（1）（2）（3）（4）解：pq000110011011101111111101由真值表得：（1）的成真赋值是01，10,11（2）的成真赋值是00，10,11（3）的成真赋值是00，01,10 （4）的成真赋

14、值是01，10,1121.求下列各公式的成假赋值：（1）（2）（3）解：pqr000111001111010101011011100110101110110101111111由真值表得：（1）的成假赋值是011 （2）的成假赋值是010,110 （3）的成假赋值是100,10122.已知公式是矛盾式，求公式成真和成假赋值.解： 是矛盾式 也是矛盾式。由此可得：该式无成真赋值。而成假赋值为：000,001,010,011,100,101,110,11123.已知公式是重言式,求公式的成真和成假赋值.解：是重言式，也是重言式。由此可得：该式无成假赋值。而成真赋值为：000,001,010,011,

15、100,101,110,11124.已知是重言式，试判断公式及的类型.解：是重言式，而要使该式为重言式，其成真赋值只有11，都是重言式。25.已知是矛盾式，试判断公式及的类型.解：是矛盾式，而要使该式为矛盾式，其成假赋值只有00，都是重言式。26.已知是重言式，是矛盾式，试判断及的类型.解：是矛盾式。是重言式。27.设A、B都是含命题变量项p1,p2,pn的公式,证明:是重言式当且仅当A和B都是重言式.解：AB000010100111由真值表可得，当且仅当A和B都是重言式时，是重言式。28. 设A、B都是含命题变量项p1,p2,pn的公式,已知是矛盾式,能得出A和B都是矛盾式的结论吗?为什么?

16、解：AB000010100111同样由真值表可得，的成假赋值有00,01,10.所以无法得到A和B都是矛盾式。29. 设A、B都是含命题变量项p1,p2,pn的公式,证明:是矛盾式当且仅当A和B都是矛盾式.解：AB000011101111由真值表可得，当且仅当A和B都是矛盾式时，是矛盾式。30. 设A、B都是含命题变量项p1,p2,pn的公式,已知是重言式,能得出A和B都是重言式的结论吗?解：AB000011101111由真值表可得的成真赋值有01,10，11.所以无法得到A和B都是重言式。习 题 二1.设公式,，用真值表验证公式和适合德摩根律： 0 0 1 0 1 10 1 1 0 0 01

17、 0 0 1 001 11 0 0 02.公式和同题（1），用真值表验证公式和适合蕴涵等值式. 0 0 1 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 1 111 11 0 0 03用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.（1）答：原式= = = 0是矛盾式.4.用等值演算法证明下面等值式.（1）答：右式=（2）答：右式=左式（3）答：左式= （4）答：左式= =5.求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（1）答：成真赋值为00,10,11.（2）答：所以为矛盾式。（3）答所以是重言式，真值为000,001,010,011,100,101,110,11

18、1.6.求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（1）答：，是矛盾式，所有赋值均为成真赋值。（2）答：，成假赋值为100.（3）答：，所以为重言式。所有赋值均为成真赋值。7.求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：（1）答：（2）答： 8.求下列公式的主合取范式，再用主合取范式求主析取范式：（1）答：为重言式。（2）答：（3）答： 因此为矛盾式.9.用真值表求下面的公式的主析取范式.（1） 答：公式的真值表如下：00010000011011010110101111111000101101010111001011110101其成真赋值为001,010,011,100,101,110,1

19、11，所以其主析取范式为（2）答：公式的真值表如下：001100010111101011110100 故其成真赋值为001，010. 所以其主析取范式为.10.用真值表求下面公式的主合取范式.（1）答： （2） 答： 11.用真值表求下面公式的主析取范式和主合取范式. （1） （2）（3） 0 0 00100 0 10100 1 00100 1 11101 0 00101 0 11101 1 00101 1 1110答：（1）由真值表可得成真赋值为011,101,111，故主析取范式为，主合取范式为 （2）由真值表可得无成假赋值，故主析取范式为，主合取范式为1. （3）由真值表可得无成真赋值，

20、故主析取范式为0，主合取范式为.12.已知公式含3个命题变项，并且它的成真赋值为000，011，110，求的主合取范式和主析取范式.答：由题意得，的主主合取范式为，主析取范式.13. 已知公式含3个命题变项，并且它的成真赋值为000，011，110，求的主合取范式和主析取范式.答：由题意得，的主主合取范式为，主析取范式.14.已知公式含个命题变相，并且无成假赋值，求的主合取范式.答：的主合取范式为1.15.用主析取范式判断下列公式是否等值：（1）与 答： 所以上述公式不等值.（2）与 答： 16.用主合取范式判断下列公式是否等值.（1）与答： （2）与 答： 17.将下列公式化成与之等值且仅含

21、中联结词的公式： （1） 答： （2） 答：，原式已满足题目要求. （3） 答： 18.将下列公式化成与之等值且仅含中联结词的公式： （1）答：此公式已经符合题目要求.（2） 答： （3）答： 19.将下列公式化成与之等值且仅含中联结词的公式.（1） 答：（2） 答：（3）答：20将下列公式化成与之等值且仅含中联结词的公式：（1）（2）（3）答：(2)答：(3)答：21证明：（1）（2）证明：(1)；(2)令则，可知22.从表2.6中，找出与下列公式等值的真值函数：（1）（2）（3） （4）答：23设A、B、C为任意的命题公式，证明：（1）等值关系有自反性：（2）等值关系有对称性：（3）等值关

22、系有传递性： 答：(1)(2)(3)24设A、B为任意的命题公式，证明：答：因此。25设A、B、C为任意的命题公式，（1）若，举例说明不一定成立。（2）若，举例说明不一定成立。由（1）、（2）可知，联结词不满足消去率。答：(1)设，则，但，二者不等价。（2）设，则，但，二者不等价。26在上题（25）中，若已知，在什么条件下，一定成立？又若已知，在什么条件下，一定成立？解：若则，一定成立。若；则，一定成立。27某电路中有一个灯泡和三个开关A、B、C。已知在且仅在下述四种情况下灯亮：（1）C的扳键向上，A、B的扳键向下。（2）A的扳键向上，B、C的扳键向下。（3）B、C的扳键向上，A的扳键向下。（

23、4）A、B的扳键向上，C的扳键向下。设F为1表示灯亮，p、q、r分别表示A、B、C的扳键向上。（a）求F的主析取范式。（b）在联结词完备集上构造F。（c）在联结词完备集上构造F。 答：（a）由题意知，灯亮的情况如下： （b） （c）28.一个排队线路，输入为A、B、C，其输出分别为、.本线路中，在同一时间只能有一个信号通过，若同时有两个或两个以上信号申请输出时，则按A、B、C的顺序输出，写出、在联结词完备集中的表达式.答：输入，：输入，：输入.有题意可得： 29.在某班班委成员的选举中，已知王小红、李强、丁金生3位同学被选进了班委会.该班的甲、乙、丙三名学生预言：甲说：王小红为班长，李强为生活

24、委员.乙说：丁金生为班长，王小红为生活委员.丙说：李强为班长，王小红为学习委员.班委会分工名单公布后发现，甲、乙、丙三人都恰好猜对了一半.问王小红、李强、丁金生各任何职（用等值等演求解）？答：设：王小红为班长，：李强为生活委员 ：丁金生为班长，：王小红为生活委员 ：李强为班长，：王小红为学习委员由题意得，、有且只有一个为真，、有且只有一个为真，、有且只有一个为真.若为真，则为假，那么为假，则为真，这样与矛盾，因此这种假设行不通.若为假，则为真，那么为假，则为真，则为假，所以为真，因此王小红、李强、丁金生的职位分别是：学习委员、生活委员、班长.30.某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生

25、中选派一些人出国学习.选派必须满足以下条件：（1）若赵去，钱也去.（2）李、周两人中必有一人去.（3）钱、孙两人中去且仅去一人.（4）孙、李两人同去或同不去.（5）若周去，则赵、钱也同去.用等值演算法分析该公司如何选派他们出国？答：设：派赵去，：派钱去，：派李去，：派孙去，：派周去首先以条件（2）为基础，有三种情况： 若周去，李不去，由条件（5）得则赵、钱同去，由条件（3）得那么孙不去，符合5个条件，即. 若李去，周不去，由条件（4）得则孙去，从而由条件（3）得钱不去，而由条件（1）得赵也不去，即. 若周、李都去，那么由条件（4）得则孙去，由条件（5）得赵、钱都去，这样孙和钱都去，与条件（3）

26、矛盾，因此这种情况不存在.习题三1. 从日常生活或数学中的各种推理中，构造两个满足附加律的推理定律，并将它们符号化。例如：“若2是偶数，则2是偶数或3是奇数”。令p:2是偶数，q:3是奇数，则该附加律符号为。解：（1）“若3是素数，则3是素数或5是奇数”。令p：3是素数，q：5是奇数，则该附加律符号化为（2）“若明天不下雨，则明天不下雨或明天下雪”。令p：明天下雨，q：明天下雪，则该附加律符号化为。2. 从日常生活或数学的各种推理中，构造两个满足化简律的推理定律，并将它们符号化。例如：“我去过海南岛和新疆，所以我去过海南岛”。令p：我去过海南岛，q:我去过新疆，则该化简律符号化为。解：（1）“

27、6能被2和3整除，所以6能被2整除”。令p：6能被2整除，p：6能被2整除，q：6能被3整除，则该化简律符号化为。（2）“小明会弹琴和跳舞，所以小明会弹琴”。令p：小明会弹琴，q：小明会跳舞，则该化简律符号化为。3. 随意构造三个满足假言推理定律的推理，并将它们符号化。例如：“如果2是素数，则雪是黑色的，2是素数，所以雪是黑色的”。令p:2是素数，q：雪是黑色的，该假言推理定律符号化为。解：（1）“如果小明会跳舞，则他会弹琴，小明会跳舞，所以他会弹琴”。 令p：小明会弹琴，q：小明会跳舞，该假言推理定律符号化为。（2）“如果3是奇数，则明天下雨，3是奇数，所以明天下雨”。令p：3是奇数，q：明

28、天下雨，该假言推理定律符号化为。（3）“如果明天晴天，则小明去游泳，明天晴天，所以小明去游泳”。令p：明天晴天，q：小明去游泳，该假言推理定律符号化为。4. 参照1,2,3题，请构造满足拒取式、析取三段论、假言三段论、等价三段论、构造性二难等推理定律的实例各一个，并将它们符号化。解：（1）拒取式：“明天是周末，小明就休息，小明没有休息，所以明天不是周末”。令p：明天周末，q：小明休息。该拒取式定律符号化为。（2）析取三段论：“小明会弹琴或跳舞，小明不会跳舞，所以小明会弹琴”。令p：小明会弹琴，q：小明会跳舞，该析取三段式定律符号化为。（3）假言三段论：“明天要是周末，小明明天休息，小明要是明天

29、休息，他就会去游泳，所以，明天要是周末，小明就去游泳”。令p：明天是周末，q：小明明天休息，t：小明去游泳，该假言三段论定律符号化为。（4）等价三段论：“2是素数当且仅当3是奇数，3是奇数当且仅当4是偶数，所以2是素数当且仅当4是偶数”。令p：2是素数，q：3是奇数，t：4是偶数，该等价三段论定律符号化为。（5）构造性二难：“明天是周一，小明就要上学，明天是周末，小明就要去游泳，明天是周末或者周一，所以小明去上学或者去游泳”。令p：明天是周一，q小明要上学，s：明天是周末，t：小明要去游泳，该构造性二难定律符号化为。（6）破坏性二难：“明天是周一，小明就要上学，明天是周末，小明就要去游泳，小明

30、没有去上学或者小明没有去游泳，所以明天不是周一或者明天不是周末”。令p：明天是周一，q小明要上学，s：明天是周末，t：小明要去游泳，该构造性二难定律符号化为。5. 分别写出德摩定律、吸收律所产生的推理定律（每个等值式产生两条推理定律）。解：的摩定律1：产生的推理定律：（1） （2）的摩定律2：产生的推理定律：（1） （2）吸收律1：产生的推理定律：（1） （2）吸收律2：产生的推理定律：（1） （2）6. 判断下列推理是否正确。先将简单命题符号化，再写出前提、结论、推理的形式结构（以蕴涵式的形式给出）和判断过程（至少给出两种判断方法）：（1） 若今天是星期一，则明天是星期三。今天是星期一，所以

31、明天是星期三。（2） 若今天是星期一，则明天是星期二。明天是星期二，所以今天是星期一。（3） 若今天是星期一，则明天是星期三。明天不是星期三，所以今天不是星期一。（4） 若今天是星期一，则明天是星期二。今天不是星期一，所以明天不是星期二。（5） 若今天是星期一，则明天是星期二或星期三。（6） 今天是星期一当且仅当明天是星期三。今天不是星期一，所以明天不是星期三。解：（1）设p：今天是星期一，q：明天是星期三，推理的形式结构为，判断该推理是否正确，即判断是否为重言式，不难看出，该式满足假言推理定律，所以推理正确。（2）设p：今天是星期一，q：明天是星期二，推理的形式结构为。等值演算法： ，可见该

32、式不是重言式，所以推理不正确。主析取范式法：，从而可知不是重言式，故推理不正确。（3）设p：今天是星期一，q：明天是星期三，推理的形式结构为，判断该推理是否正确，即判断是否为重言式，不难看出，该式满足拒取式定律，所以推理正确。（4）设p：今天是星期一，q：明天是星期二，推理的形式结构为。等值演算法： ，可见该式不是重言式，所以推理不正确。主析取范式法：，从而可知不是重言式，故推理不正确。（5）设p：今天是星期一，q：明天是星期二，r：明天是星期三。推理的形式结构为。，由此可知不为重言式，故推理不正确。显然该式不是重言式，所以推理不正确。（6）设p：今天是星期一，r：明天是星期三，推理的形式结构

33、为。 ，由此可知不为重言式，故推理不正确。7. 在下面各推理中没给出结论。请对于每个推理前提给出两个结论，使其中之一是有效的，而另一个不是有效的：（1） 前提：，（2） 前提：，（3） 前提：，解：（1）结论1：为有效的（假言三段论）结论2：为无效的。（2）结论1：是有效的（拒取式）结论2：是无效的（3）结论1：是有效的（假言三段论）结论2：r是无效的8. 在下面各推理中没给出结论，请对于每个推理前提给出两个结论，使其中之一是有效的，而另一个不是有效的。（1） 只有天气热，我才去游泳。我正在游泳，所以（2） 只有天气热，我就去游泳。我没去游泳，所以（3） 除非天气热并且我有时间，我才去游泳。天

34、气不热或我没时间，所以解：（1）设p：天气热，q：我去游泳前提：结论1：，有效结论（假言推理）结论2：，无效结论（2）设p：天气热，q：我去游泳。前提：结论1：，有效结论（拒取式）结论2：，无效结论（3）设p：天气热，q：我有时间，r：我去游泳。前提：结论1：，有效结论（拒取式）结论2：，无效结论。9. 用三种方法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）证明下面推理是正确的：若a是奇数，则a不能被2整除。若a是偶数，则a能被2整除。因此，如果a是偶数，则a不是奇数。解：设p：a是奇数，q：a能被2整除，r：a是偶数。推理的形式结构为（*）。下面用三种方法证明该式为重言式：（1） 真值表法： p

35、q r*0 0 00110 0 11110 1 00110 1 10111 0 00111 0 11011 1 01 111 1 1101由真值表可知（*）为重言式，故推理是正确的。（2） 等值演算法：（3） 构造证明法：前提：结论：证明： 前提引入 置换 前提引入 假言三段论主析取范式法由方法2可以得知推理的形式结构（*）的主析取范式为 ，则（*）为重言式，推理正确。10. 用两种方法（真值表法，主析取范式法）证明下面推理不正确：如果a,b两数之积是负数，则a,b之中恰有一个是负数。a,b两数之积不是负数，所以a,b中无负数。真值表法：p q rA0 0 001110 0 111000 1

36、011000 1 101001 0 000111 0 111011 1 011011 1 10001推理不正确主析取范式法：由于主析取范式只含有5个极小项，所以（3.8）不是重言式，推理不正确。11. 填充下面推理证明中没有写出的推理规则。前提：，p结论：s证明:p 前提引入 前提引入q 析取三段论 前提引入r 析取三段论 前提引入s 假言推理12. 填充下面推理证明中没有写出的推理规则。前提：，结论：证明： 附加前提引入p 化简规则q 化简规则 前提引入 前提引入r 假言推理 前提引入 假言推理s 假言推理13. 前提：，结论1：r结论2：s结论3：（1） 证明从此前提出发，推出结论1，结论2，结论3的推理都是正确的。（2） 证明从此前提出发，推任何结论的推理都是正确的。（1） 证明：结论1： 结论2：结论3：（2） 证明：设任何可能的结论为*, 则：14. 在自然系统p中构造下面推理的证明：（1） 前提：，p，q 结论：