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1、【巩固练习巩固练习】 一、选择题一、选择题 1. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1） ， （-1，1，2） ，则下列向量中是平面的法向 量的是( ) A. （-1，-2，5） B. （-1，1，-1） C. （1， 1，1） D. （1，-1，- 1） 2. 如图，是正方体，则与所成角的余弦值是 1111 ABCDABC D 11 1111 4 AB B E =D F= 1 BE 1 DF （ ） A B 17 15 2 1 CD 17 8 2 3 3. 如图，是直三棱柱，点分别是的中点， 111 ABCABC90BCA 11 DF、 1111 ABAC、 若，则与所成角的余弦值是（
2、） 1 BCCACC 1 BD 1 AF AB 10 30 2 1 CD 15 30 10 15 4. 若向量与的夹角的余弦值为，则( )(12)a，(21 2)b， 8 9 A B C或D2 或222 2 55 2 55 5. 在三棱锥中，点分别是的中点，PABC、ABBC 1 2 AB=BC=PAOD、ACPC、 底面，则直线与平面所成角的正弦值（ ）OPABCODPBC A B 6 21 3 38 C D 60 210 30 210 6.（2015 秋 湛江校级期末）在正四棱锥 SABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧 棱 SD 的中点，且 SO=OD，则直线 BC 与平面 P
3、AC 的夹角是（ ） A30 B45 C60 D75 7. 在三棱锥中，点分别是的中点，PABC、ABBC 1 = 2 AB BCPAOD、ACPC、 底面，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）OPABCODPBC A B C D 21 6 8 3 3 210 60 210 30 二、填空题二、填空题 8若平面的一个法向量为，直线 的一个方向向量为，则 与所成330n、l111=b、l 角的余弦值为 _ 9正方体中，分别为的中点，则异面直线与所 1111 ABCDABC DEF、 1 ABCC、EF 11 AC 成角的大小是_. 10. 已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于 2 的等边三角
4、形，SA垂直于底面 ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 . 11. 如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等 腰直角三角形，,45ABAE FAFEAEF ，则平面和平面的夹角余弦BDFABD 值是_. 三、解答题三、解答题 12. 如图，点在正方体的对角线上，.P 1111 ABCDABC D 1 D B60PDA （）求与所成角的大小；DP 1 C C （）求与平面所成角的大小.DP 11 A ADD 13. 如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线，FABCD ABCD 2AC 2BD AE 都与平面垂直，求平面与平面的夹角大小.CF
5、 ABCD 1AE 2CF ABFADF 14. 如图（1） ，在 Rt中，90，3，6，分别是，ABCCBCACDE、AC 上的点，且，将沿折起到的位置，使ABDEBC2DE、ADEDE 1 A DE ，如图（2） 1 A CCD (1)求证：平面； 1 A CBCDE (2)若是的中点，求与平面所成角的大小；M 1 A DCM 1 A BE (3)线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由BCP 1 A DP 1 A BE 15(2016 浙江理)如图，在三棱台 ABC-DEF 中，平面 BCFE平面 ABC，ACB90， BEEFFC1，BC2，AC3 ()求证：EF平面 ACFD；
6、()求二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值. 【答案与解析答案与解析】 1.【答案】B 【解析】排除法. 平面的法向量与平面内任意直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零. 排除 A，C，D，选项为 B. 2.【答案】A 【解析】设正方体的棱长为 1，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则DD-xyz 11 31 (1,1,0),(1,1),(0,0,0),(0,1) 44 BEDF 所以， 1 31 (1,1)(1,1,0)(0,1) 44 BE ， 1 11 (0,1)(0,0,0)(0,1) 44 DF ， 1 17 4 BE ， 1 17 4 DF ， 11 1115 0 0() 1
7、 1 4416 BEDF 所以， 11 11 11 cos, 15 15 16 . 171717 44 BEDF BE DF BEDF 因此， 1 BE与 1 DF所成的角的余弦值是 15 17 3.【答案】A 【解析】如图所示，以为原点建立的空间直角坐标系，C 则 111 1,0,0 ,0,1,0 ,0,0,1 ,1,0,1 ,0,1,1 ,ABCAB 由中点公式可知， 11 1 11 101 2 22 DF 、 ， 11 111 101 222 BDAF 、 . 11 1 -1 30 4 cos 1035 24 BDAF A 、 4.【答案】C 【解析】由可得，即，cos=a ba bab
8、A、 2 5510840 25520 即或.2= 2 55 = 5.【答案】D 【解析】 . 22214214 ,0,0 ,0,0 ,0,00 0.,0, 222244 OPABCOAOCABBC OAOBOAOPOBOP OOPzOxyz ABa AaBaCaPDaa 平面， ， 以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图， 设，则 ， 214 ,0, 44 1 1,1, 7 210 cos,. 30 210 sincos, 30 210 . 30 ODaa PBCn OD n OD n ODn ODPBC OD n ODPBC 可求得平面的法向量 设与平面所成的角为， 则 与平面所成角
9、的余弦值为 6.【答案】A 【解析】如图，以 O 为坐标原点，以 OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，以 OS 为 z 轴，建立空间直 角坐标系 Oxyz。 设 OD=SO=OA=OB=OC=a， 则 A（a，0，0） ，B（0，a，0） ，C（a，0，0） ，(0,) 2 2 a a P 则，(2 ,0,0),(,),( , ,0) 2 2 a a CAaAPaCBa a 设平面 PAC 的一个法向量为，n 则，0,0n CAn AP ，可取， 20 220 ax ayaz (0,1,1)n ， 2 1 cos, 2| | 22 CB na CB n CBn a ，,60CB n 直线 BC
10、 与平面 PAC 的夹角为 9060=30 故选 A。 7.【答案】D 【解析】 . 222 ,0,0 ,0,0 ,0,0 . 222 0,0,. OPABCOAOCABBC OAOBOAOPOBOP OOPzOxyz ABaAaBaCa OPhPh 平面， ， 以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图， 设，则 设，则 2 , 7 , 2 214 ,0, 44 1 1,1, 7 210 cos,. 30 210 sincos, 30 . PAa ha ODaa PBCn OD n OD n ODn ODPBC OD n 可求得平面的法向量 设与平面所成的角为， 则 8.【答案】 3 3
11、 【解析】 由，知 与所成角的余弦值为 22 (3,3,0) (1,1,)6 cos 3 331 1 1 n,bl . 63 1 93 9.【答案】30 【解析】 以 A 为原点建立直角坐标系（如图所示） ，设 B（2，0，0） ， 则 E（1，0，0） ，F（2，2，1） ，C1（2，2，2） ，A1（0，0，2） ， ，(1,2,1)EF 11 (2,2,0)AC ， 11 11 11 (1,2,1) (2,2,0)3 cos, 2| |6 2 2 EF AC EF AC EFAC z y x P O D C B A . 11 cos,30EF AC 10.【答案】 3 4 【解析】本题考
12、查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角. 过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E，连结 SE，过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于 F，连 BF，正三角形 ABC， E 为 BC 中点， BCAE，SABC， BC面 SAE， BCAF，AFSE， AF面 SBC， ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角，由正三角形边长 3， 3AE ，AS=3， SE=2 3，AF= 3 2， 3 sin 4 ABF . 11.【答案】 3 11 11 【解析】 因为ABE 为等腰直角三角形，AB=AE， 所以 AEAB. 又因为平面 ABEF平面 ABCD，AE平面
13、ABEF， 平面 ABEF平面 ABCD=AB， 所以 AE平面 ABCD. 所以 AEAD. 因此，AD，AB，AE 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立 如图所示的直角坐标 系 A-xyz. 设 AB=1，则 B（0，1，0） ，D (1， 0， 0 ) ， E ( 0， 0， 1 )， C ( 1， 1， 0 ). 因为 FA=FE， AEF = 45，所以AFE= 90. 从而， 1 1 (0, ) 2 2 F. 所以， 设平面 BDF 的一个法向量为 1 n ，并设 1 n =（x，y，z）. ，1 10BD= 、 3 1 0 2 2 BF= 、 ， 由 得 0 0. n BD n B
14、F A A 、 0 31 0. 22 x y yz 、 取 y=1，则 x=1，z=3.从而 1 n113 （，）. 由 AE平面 ABCD 可知，平面 ABD 的一个法向量为 ， 0 01AE= 、 设平面和平面的夹角为，则BDFABD . 1 0033 11 coscos 1111 n AE= 、 12.【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设为单位长，则DDxyzDA =，=. 连结，在平面 BB1D1D 内，延长 DP，交于点 H，BD 11 B D 11 B D 设=( m 0 )， 由条件知 = 60. 由=|cos ， 可得 2m =. 解得 m =.所以=. （）因为 c
15、os=， 所以=，即与所成的角的大小是 45.DP 1 CC （）因为平面的一个法向量是， 又 cos=， 所以=. 即与平面所成角的大小为 60.DP 11 A ADD 注意：由于点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1的对角线 D1B 上且PDA=60，直接设点 P 的坐标则会出现多个变量，因为所求的两问都是求与 DP 相关的角度问题，因此根据点 P 的位置特征只确定 DP 所在的直线的位置即可，因此出现上面解法. 显然尽管求解过程是 用向量的坐标方法，但空间想象与思辨论证的要求并没有降低，体现了对学生全面的几何 方法的考查. 13.【解析】如图，以为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系
16、. 设平面的法向量为，ABF 则由得 令，得. 同理，可求得平面的法向量.ADF 因为，所以平面与平面垂直.ABFADF 所以平面与平面的夹角.ABFADF 2 14.【解析】 15.【解析】 ()延长 AD，BE，CF 相交于一点 K，如图所示 因为平面 BCFE平面 ABC，且 ACBC，所以 BFAC 又因为 EFBC，BEEFFC1，BC2， 所以BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则 BFCK 所以 BF平面 ACFD ()方法一： 过点 F 作 FQAK，连结 BQ 因为 BF平面 ACK，所以 BFAK，则 AK平面 BQF，所以 BQAK 所以，BQF 是二面角 B
17、-AD-F 的平面角 在 RtACK 中，AC3，CK2，得 3 13 13 FQ 在 RtBQF 中，得 3 13 3 13 FQBF， 3 cos 4 BQF 所以，二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值为 3 4 方法二： 如图，延长 AD，BE，CF 相交于一点 K，则BCK 为等边三角形 取 BC 的中点 O，则 KOBC，又平面 BCFE平面 ABC，所以，KO平面 ABC 以点 O 为原点，分别以射线 OB，OK 的方向为 x，z 的正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz 由题意得 ，(1 0 0)( 1 0 0)(0 03)BCK， 1313 ( 13 0)00 2222 AEF ， 因此，(0 3 0)(1 33)(2 3 0)ACAKAB ， 设平面 ACK 的法向量为，平面 ABK 的法向量为， 111 ()mxyz ， 222 ()nxyz ， 由，得，取； 0 0 ACm AKm 1 111 30 330 y xyz ( 3 01)m ， 由，得，取 0 0 ABn AKn 22 222 230 330 xy xyz (323)n ， 于是， 3 cos 4| | mn m n mn ， 所以，二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值为 3 4