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1、最新资料推荐一、函数、极限、连续重要概念公式定理（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列xn如果存在常数A对任给0,存在正整数 N ,使当nN时恒有,xn A,则称 A 是数列xn的当 n 趋于无穷时的极限,或称数列xn收敛于 A ,记为 lim xnA . 若nxn 的极限不存在 ,则称数列xn发散 .收敛数列的性质：(1)唯一性： 若数列xn收敛 ,即 lim xnA ,则极限是唯一的n(2)有界性： 若 lim xnA,则数列xn有界 即存在M0 ,使得对n 均有 xnM.n,(3)局部保号性：设lim xnA 且A0或A 0,则存在正整数当n N时有 n0或n0 .
2、n,N ,xx(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .（二）函数极限的定义名称表达式任给存在当 时恒有当 xx0 时 ,fx 以lim fxA000xx0fxAA 为极限xx0当 x时 ,fx以lim fxA0X0xXfxAA 为极限x当 xx 0 时 ,fxlim fxAx x0000x0xx0fxA以 A 为右极限def fx00当 xx 0 时 ,fxlim fxAx x0000x0xx0fxA以 A 为左极限def fx00当 x时 ,fxlim fxAx0X0xXfxA以 A 为极限def f当 x时,fx 以lim fxAx0X0xXfxAA 为极限def f（三）
3、函数极限存在判别法( 了解记忆 )1海涅定理：limfxA对任意一串nx0n01,2, 都有l i mf xnAxxx ,nnxx02.充要条件： (1)limf (x)Alim fxlim fxA ;x x 0xx0xx0(2) lim f (x)Alimf (x)limf (x)A .xxx1最新资料推荐3.柯西准则： lim fxA对任意给定的0 ,存在0,当xx00x1x0, 0x2x0时 ,有 f x1f x2.4.夹逼准则： 若存在0,当 0xx0时, 有 （x)f (x)(x) , 且 lim( x)lim(x) A, 则x x0x x0limf (x)A .x x05.单调有界
4、准则： 若对于任意两个充分大的x1 , x2 , x1x2 ,有 fx1f x2(或 fx1fx2 ),且存在常数 M ,使 fxM (或 f xM ),则 limfx存在 .x（四）无穷小量的比较(重点记忆 )1.无穷小量阶的定义 ,设 lim(x)0,lim( x)0 .(1)若 lim(x)0 ,则称( x) 是比 （x) 高阶的无穷小量 .(x)(2)若 lim( x),则 (x)是比（ x)低阶的无穷小量 .( x)(3) 若 lim( x)c( c0), 则称 (x)与（ x) 是同阶无穷小量 .( x)(4)若 lim(x)1,则称 ( x)与（ x)是等价的无穷小量 ,记为(
5、x)( x) .( x)(5)若 lim( x)c(c 0),k0,则称 (x)是（ x)的k阶无穷小量k(x)2.常用的等价无穷小量( 命题重点 ,历年必考 )当 x0 时,sin xarcsin x1tan x1c oxs2 x,xarctanx2( 1 x)1 x是实常数ln(1x)ex1（五）重要定理(必记内容 ,理解掌握 )定理 1limf (x)Af(x0 )f (x0 )A .xx0定理 2limf (x)Af ( x)Aa( x), 其中 lim a( x)0 .xx0x x0定理 3(保号定理 ) ： 设 limf ( x)A,又A0(或A0),则 一个0, 当xx0x (
6、x0, x0), 且xx0时， f ( x)0(或f ( x) 0) .定理 4单调有界准则： 单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限 .定理 5(夹逼定理 ) ：设在 x0的领域内 ,恒有 （x) f ( x)( x) ,且lim(x)lim(x)A, 则 limf ( x)A x x0x x 0xx02最新资料推荐定理 6无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量;(2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量;(3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量定理 7在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量定理 8极限的运算法则：设 lim f x
7、A,lim g xB ,则(1)lim( f ( x)g( x) AB(2)lim f (x)g(x)A B(3)limf ( x)A(B 0)Bg (x)定理 9数列的极限存在 ,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限定理 10初等函数在其定义域的区间内连续定理 11设 fx连续 ,则 fx也连续（六）重要公式(重点记忆内容 ,应考必备 )(1)sin x1limxx 011(2)lim(1 x) xe,lim(1) ne .( 通 过 变 量 替 换 , 这 两 个 公 式 可 写 成 更 加 一 般 的 形 式 ： 设x 0nnlim fx0 ,且 fxsin fx, lim1 f
8、 x0 则有 lim1f x0,nm(3)lima0 xna1xn 1an 1 x ana0, nm b0 xmb1xm 1bm 1x bmb0x,nm1f xe )(4)函数fx 在 xx0 处连续f x0f x0f x0 .(5)当 x时, 以下各函数趋于的速度ln x, xaa 0 , a x (a 1),xx速度由慢到快ln n, naa0,a n (a1),n!, n n速度由慢到快(6)几个常用极限lim na a0 1,lim n n 1,lim arctan xnnx2limarctan x2lim arccot x0,limarccot xxxxlim ex0,lim ex,
9、lim xx1 .xxx0（七）连续函数的概念1.f x在 xx0 处连续 ,需满足三个条件：3最新资料推荐 fx 在点 x0 的某个领域内有定义 fx当 xx0 时的极限存在 lim fxf x0limylim fx0 xfx00 .xx0x 0x x02.fx在 x0 左连续： fx在 x0,x0 内有定义 ,且 limfxfx0 .x x03.fx在 x0 右连续： fx在 x0, x0内有定义 ,且 limfxfx0 .x x04.fx在 a, b 内连续： 如果 fx在 a,b内点点连续5.fx在 a, b 内连续： 如果 fx在 a,b内连续 ,且左端点 xa 处右连续 ,右端点
10、xb 处左连续（八）连续函数在闭区间上的性质(重点记忆内容 )1 有界性定理：设函数fx在a,b上连续 , 则 fx在a,b上有界 ,即常数 M0 , 对任意的xa,b ,恒有fxM 2最大最小值定理： 设函数 fx在 a,b 上连续 ,则在a, b 上 fx至少取得最大值与最小值各一次,即,使得：fmaxfx ,a,b;fm i nfx,a , ba x bax b.3介值定理： 若函数 fx在 a, b 上连续 ,是介于 fa与 fb(或最大值 M 与最小值 m )之间的任一实数 ,则在 a,b上至少一个,使得f.ab4 零点定理：设函数fx在 a, b上连续 , 且 fafb0 ,则在a
11、, b 内至少一个, 使得f0ab .（九）连续函数有关定理1连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商( 分母在连续点处的数值不为零 ) 仍为连续函数2反函数的连续性： 单值、单调增加 (减少 )的连续函数 , 其反函数在对应区间上也单值、单调增加( 减少) 且连续3复合函数的连续性：ux 在点 x0 连续 ,x0u0 ,而函数 yfu 在点 u0 连续 ,则复合函数yfx在点 x0 连续4初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数4最新资料推荐（十）间断点的定义及分类1定义： 若在x x0处 , lim f x 不存在 , 或 f x无定义 , 或 lim f xf x ,
12、则称 fx 在 xx 处间0x x000x x0断 , x x0 称为 f x 的间断点2间断点的分类间断点的类型可去型间第一断点类间跳跃断点型间断点无穷型间第二断点类间振荡断点型间断点条件例子x0 是 fxsin xf x00f x00的可f x0x去型间断点x0 是 fx1fx00fx0arctan 的0x跳跃型间断点x0 是 fx1fx00, fx00的无穷之一是无穷大x型间断点fx00, fx00之一不存在且x0 是 fx1sin 的振x不是无穷大荡型间断点一、函数、极限、连续（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义： 给定数列xn ,如果存在常数 A ,对任给0,存在正整数
13、N ,使当 nN 时 , 恒有xn A,则称 A 是数列xn的当 n 趋于无穷时的极限,或称数列xn 收敛于 A ,记为 lim xnA . 若nxn 的极限不存在 ,则称数列xn发散 .收敛数列的性质：(1)唯一性： 若数列 xn收敛 ,即 lim xnA ,则极限是唯一的n(2)有界性： 若 lim xnA ,则数列 xn有界 ,即存在 M0 ,使得对n 均有 xnM .n(3)局部保号性： 设 lim xnA ,且 A0 或 A 0 , 则存在正整数 N ,当 n N 时,有 xn 0或xn0 .n(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .（二）函数极限的定义名称表达式任给
14、存在当 时恒有当 xx0 时 , fx 以AfxAlim f x000 xx0A 为极限x x0当 x时 , fx 以Alim f x0X 0xXfxAA 为极限x5最新资料推荐名称表达式任给存在当 时恒有当 x x00 时 ,f xlim fxAx x000x0xx0fxA以 A 为右极限def fx00当 x x00 时 ,f xlim fxAx x000x0x x0fxA以 A 为左极限def fx00当 x时 ,fxlim fxAx0X0xXfxA以 A 为极限def f当 x时, fx以lim fxAx0X0xXfxAA 为极限def f（三）函数极限存在判别法( 了解记忆 )1海涅
15、定理： limfxA对任意一串 xnx0xnx0 ,n 1,2, 都有l i mfxnAxx0n2.充要条件： (1)limf (x)Alim fxlim fxA ;xx 0xx0xx0(2) limf (x)Alimf (x)limf (x)A .xxx3.柯西准则： limfxA对任意给定的0 ,存在0,当xx00x1x0, 0x2x0时 ,有 f x1f x2.4.夹逼准则： 若存在0 ,当 0xx0时, 有 （x)f (x)(x) , 且 lim( x)lim(x)A, 则x x0x x0limf (x) A .x x05.单调有界准则： 若对于任意两个充分大的x1 , x2 , x1
16、x2 ,有 fx1fx2 (或 fx1fx2 ),且存在常数 M ,使 fxM (或 fxM ),则 limfx存在 .x（四）无穷小量的比较(重点记忆 )1.无穷小量阶的定义 ,设 lim (x) 0,lim( x)0 .(1)若 lim(x)0 ,则称( x) 是比 （x) 高阶的无穷小量 .(x)(2)若 lim( x),则 (x)是比（ x)低阶的无穷小量 .( x)(3)若 lim( x)c( c0), 则称 (x)与（ x) 是同阶无穷小量 .( x)(4)若 lim(x)1,则称 ( x)与（ x)是等价的无穷小量 ,记为( x)( x) .( x)(5) 若 lim( x)c(
17、c0),k0,则称 (x)是（ x)的k阶无穷小量k (x)6最新资料推荐2.常用的等价无穷小量( 命题重点 ,历年必考 )当 x0 时,sin xarcsin x1tan x1c oxs2 x,xarctanx2( 1 x )1 x是实常数ln(1x)ex1（五）重要定理(必记内容 ,理解掌握 )定理 1limf (x)Af(x0 )f (x0 )A .x x0定理 2limf (x)Af ( x) Aa( x), 其中 lim a( x)0 .x x0x x0定理 3(保号定理 ) ： 设 limf ( x)A,又A0(或A0),则 一个0 , 当xx0x ( x0, x0), 且xx0时
18、， f ( x)0(或f ( x) 0) .定理 4单调有界准则： 单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限 .定理 5(夹逼定理 ) ：设在 x0的领域内 ,恒有 （x) f ( x)( x) ,且lim (x)lim(x) A, 则 limf ( x)A x x0x x 0xx0定理 6无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量;(2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量;(3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量定理 7在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量定理 8极限的运算法则：设 lim f xA,lim g x B ,则(1)lim( f ( x)g( x)AB(2)lim f (x)g(x) A B(3)limf ( x)A0)g (x)(BB定理 9数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限定理 10初等函数在其定义域的区间内连续定理 11设 fx 连续 ,则 fx也连续（六）重要公式(重点记忆内容 ,应考必备 )(1)limsin x1x