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1、最新资料推荐样本平均数的方差的推导：假定从任意分布的总体中抽选出 一个 相互 独立 的样本x1 , xn ，则有E(xi ) X ,22xiX即每一个样本单位都是与总体同分布的。在此基础上，证明样本平均数以总体平均数为期望值。E(x ) E( x1x2xn )n1 E(x1x2xn )n1E( x1 ) E( x2 )E(xn )n1( XXX )Xn接着，再以此为基础，推导样本平均数的方差。在此，需要注意方差的计算公式为：2E( X E( X )2X以下需要反复使用这一定义：1最新资料推荐2E(xE(x )2xE(x1x2xnX )2n1 E( ( x xx ) nX ) 2n212n12n
2、2 E ( x1X ) ( x2X )( xnX )12 E ( x1X )2( x2X )2( xnX )2(xi X )( xj X )nij1E(x1X )2E(x2X )2E( xn X )2E (xi X )( x j X )n2i j12n 22nn在证明中，一个关键的步骤是E( xiX )( x jX )0 ，其原ij因在于这一项事实上是xi 与 x j 的协方差。由于任意两个样本都是相互独立的，因此其协方差均为0。如果采用的是无放回的抽样，则样本间具有相关性，协方差2Nn小于 0。此时样本均值的方差为2XxN1n样本方差的期望：证明了样本平均数的方差公式后，我们可以来分析一下样
3、本方差的情况。n(xix)2先构造一个统计量为 Si 1，我们来求它的期望。n2最新资料推荐根据方差的简捷计算公式：2X 22XX，可得11nE( S )Exi2nx 2E(xi ) nE( x 2 )nn其中，同样运用简捷计算公式，可以得到：2)2( E(xi )222E( xixiXX；22222)( E(x )XXE( xxn原式化为12E( S )n( X2X 2 ) n( XX 2 )nn2( X2X 2 ) ( XX 2 )nn 1n2X等式的两端同除以右侧的系数项，得到nE(S )2Xnnn Sn( xi x )2( xix ) 2令 Si 1i 11n1n 1nn则有 E(S)2X3