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1、最新资料推荐第七章参数估计习题参考答案e x, x0，求的矩估计。1 设 f ( x)x00,解 EXxexdx, 设 ux, x1 u, dx1 du0则 EXue u ( 1 du)1ue u0e udu1 0 ( e ) 0 = 100故 1 ，所以 ? 1 。EXx2. 设总体 X 在 a,b 上服从均匀分布，求 a 和 b 的矩估计。解由均匀分布的数学期望和方差知E ( X )1 (a b)（1）122（2）D ( X )12 (b a)由（1）解得 b 2EXa ，代入（ 2）得 DX1 (2EX 2a)2 ， 整理得 DX1 ( EX a)2 ，123解得aE( X )3D (
2、X )bE( X )3D ( X )故得 a,b 的矩估计为a?x3 ?2?x2b3 ?21 n2。其中 ?(xix)n i 13设总体 X 的密度函数为 f ( x;)xe，求的最大似然估计。x!nnxin解 设 L( )i 1e，则f (xi , )( x1!)( x2!).( xn! )i 11最新资料推荐nnln L( )(xi )lnnln( xi !)i1i 1d ln L( )1n?1ndxi n0,n ixi xi114设总体 X 的密度函数为其中 (0), 求 的极,大似然估计量 .解 . 设 (X1, X2, Xn)是来自 X 的一样本 .由极大似然估计原理 , 参数 的似
3、然函数为 :,上式两边取对数似然方程为解似然方程得 的极大似然估计量是.5. 设总体 X 的密度函数 f ( x,)(a)xa 1ex a (a 已知），求参数的最大似然估计。nnxan an (x1x2.xn ) a 1ei解L( )i 1f (xi ,)i 1nnln L( )n lnn ln a(a 1)ln xixiai 1i 1d ln L( )nnxi a0di 12最新资料推荐n解得1xia 。n i 16设总体 X 的密度函数为求 的极大似然估计量,和矩估计量 .解 . 设(X1, X2, Xn)是来自 X 的样本 .(1)由矩估计法,.即参数 的矩估计量是.(2) 由极大似然
4、估计原理 , 参数 的似然函数为,上式两边取对数,似然方程为,解似然方程得到参数的极大似然估计量是.3最新资料推荐7. 设 ?1 和 ?2 为参数的两个独立的无偏估计量，且假定D ?1 2D?2 ，求常数 c 和d ，使 ?c ?1 d ?2 为 的无偏估计，并使方差 D ?最小。解 由于 E ?E(c ?1d ?2 ) cE ?1dE ?2(c d ), 且知 E ?，故得 c+d=1。又由于D ?D (c ?1 d ?2 ) c2 D ?1 d 2 D ?22c2 D ?2d 2 D ?2(2c2d 2 ) D ?2并使其最小，即使 f2c2d2 ，满足条件 c+d=1 的最小值。令 d=
5、1-c ，代入得 f2c2(1 c)2 ， fc4c2(1 c)0, 6c20解得 c1, d 1c2 。338对方差2 为已知的正态总体来说，问需取容量n 为多大的样本，才能使总体均值的置信水平为 1的置信区间的长度不大于L？解 由于 的 置 信 区 间为 (xu , xu ) ， 故 的 置信 区 间 长 度 为n2n22uL 。所以，有 n20 u，即 n(20 u) 2 。n2L2L 29. 设某电子元件的寿命服从正态分布 N ( , 2 ) ，抽样检查 10 个元件，得样本均值 x1200(h) ，样本标准差 s14(h) 。求(1) 总体均值 置信水平为 99% 的置信区间；(2)
6、 用 x 作为 的估计值，求绝对误差值不大于 10（ h）的概率。解 (1) 由于未知， s=14（h）, 根据求置信区间的公式得( xs t ( n 1), xs t (n 1)n 2n 2(120014 t0.005 (9),120014 t0.005 (9)1010查表得 t0.005 (9)3.25 ，故总体均值置信水平为 99% 的置信区间为4最新资料推荐(120014.388, 120014.388)(1185.612, 1214.388)(2)P( x10) P(x10) P( t (n 1)10 10)ss14nnP( t(9)2.2588)P( t(9)t0.025 (9)
7、12 1-0.05=0.9510.设 X1 , X 2 ,., X n 为正态总体N ( ,2 )的一个样本，确定常数c 的值，使n1xi )22 的无偏估计。Qc( xi 1为i1解n1xi )2n1) 2EQc( xi 1cE( xi1)( xii1i1n1)2)2 cE( xi 12( xi1)( xi)( xii1n1) 2)2 c E( xi 12E( xi 1)E( xi) E( xii1由于 E ( xi) Exi0 ，所以有n1n1EQ c Dx i 10 Dx i c (2 2 ) c2( n 1) 2i1i1由 EQ2 （无偏性），故有 2c(n1)1，所以 c1。2( n
8、1)11.为了解灯泡使用时数均值及标准差，测量了 10 个灯泡，得 x1650小时，s20 小时。如果已知灯泡使用时间服从正态分布，求和的 95%的置信区间。解 由 t(n 1)t0.025 (9)2.262 ，根据求置信区间的公式得2( xst (n1), xst(n1)(16502.262n1020)2n2(165014.31)(1635.69, 1664.31)查表知2(n1)2(9)19.023,2(n 1)2(9)2.70 ，根据求置信区间的公式0.02510.975225最新资料推荐得 2 的置信区间为( n 1)s2,(n1)s29 2029 2022(9)2) (,) (189
9、.24, 1333.33)0.0250.975 (9)19.0232.70而的置信区间为( 189.24,1333.33)(13.8, 36.5)12. 岩石密度的测量误差服从正态分布， 随机抽测 12 个样品，得 s 0.2 ，求 2 的置信区间 (0.1) 。解 查表得02.05 (11)19.675,02.95 (11)4.575 ，根据求置信区间的公式得2 的置信区间为(n 1)s2(n1)s2110.22110.22=(0.02,0.10)( 2 (n1),2(n 1)(19.675,4.575)21213 . 设两位化验员 A、 B 分别独立地对某种化合物各作10 次测定，测定值的
10、样本方差分别为 sA20.5419, sB220.6065 。设两个总体均为正态分布， 求方差比2A 的置信度B为 95%的置信区间。解 查表得 F (9.9)F0.025 (9.9)4.03, F (9.9)110.2481 ，根F(9.9)4.0321222据求置信区间的公式得A2的置信区间为BsA21,sA21)(sA21,sA24.03)(0.222, 3.601)( 2224.032sBF0.025 (9.9)sBF0.975 (9.9)sBsB14某种袋装食品的重量服从正态分布. 某一天随机地抽取9 袋检验 , 重量 ( 单位 : g)为5104855055054904955205
11、154902 2(1) 若已知总体方差 =8.6 , 求 的置信度为 90%的置信区间 ;(2) 若已知总体方差未知 , 求 的置信度为 95%的置信区间 .6最新资料推荐解. 设随机变量 X 表示此种袋装食品的重量.(1)由已知得n=9 , =0.1,由于 X N( ,8.62),可推得N(0,1),因此由得到(U/2 )- (-U/2)=0.90即(U0.05 )=0.95查表得U0.05=1.645所以 的 90%的置信区间为.(2) 由已知得 n=9 , =0.05,由于总体方差未知 , 选取统计量t(n-1).查表得到t/2 (n-1)=t0.025 (9-1)=2.306,并且计算
12、,所以 的 95%的置信区间为7最新资料推荐15. 为了估计在报纸上做一次广告的平均费用 ,抽出了 20 家报社作随机样本 ,样本的均值和标准差分别为 575(元)和 120(元 ),假定广告费用近似服从正态分布 ,求总体均值的 95%的置信区间 .解 . 设随机变量 X 表示做广告的费用 .则 XN( ,22选取统计量 总体方差 未知 ,)t(n-1)又已知 n=20 , =0.05 , s=120查表得到t/2(n-1)=t0.025 (20-1)=2.093,所以 的 95%的置信区间为.16. 某厂分别从两条流水生产线上抽取样本：X1, X 2 , X12 及 Y1, Y2 ,Y17
13、，测得X 10.6（克），Y9.5 （克）， s122.4,s224.7。设两个正态总体的均值分别为1 和2 ，且有相同方差，试求1 -2 的置信度 95%的置信区间。解 由 s2( n11) s12( n21) s22112.4164.73.763，得 s 3.7631.94 。查n1 n2 212 172表得 t ( n1 n22 ）=t0 .025 (27)2.0518 ， XY10.69.51.1（克），故2t 0.025(27)s112.05181.9411n1n2121.5017根据求置信区间的公式得1 -2 的置信度 95%的置信区间为(XYt0.025 ( 27)s11 ）(1.1 1.50)( 0.40,2.60)n1n28