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1、最新资料推荐巧用旋转法解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时， 可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点， 旋转另一位置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参考。例 1 如图 , 在 Rt ABC中， C=90， D是 AB 的中点， E，F 分别 AC和 BC上，且 DE DF，求证： EF2=A
2、E2+BF2分析：从 所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到EF， AE， BF 三条线段不在同一个三角形中，由于 D 是中点，我们可以考虑以D 为旋转中心，将BF 旋转到和 AE相邻的位置，构造一个直角三角形，问题便迎刃而解。证明：延长 FD到 G，使 DG=DF，连接 AG， EG AD=DB， ADG= BDFC ADG BDF（ SAS） DAG=DBF， BF=AGEF AG BC C=90 EAG=90ADB22222 EG=AE +AG=AE+BF DE DFG EG=EF2 2 EF =AE +BF2例 2，如图 2，在 ABC中， ACB=90， AC=BC， P 是
3、ABC内一点，且PA=3， PB=1， PC=2，求BPC的度数 .分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于ACB是等腰直角三角形，宜以直角顶点C 为旋转中心。解：作 MC CP，使 MC=CP，连接 PM， BM1最新资料推荐 ACB=90， PCM=90 1= 2 AC=BC， CAP CBM（ SAS） MB=AP=3 PC=MC， PCM=90 MPC=45MC由勾股定理 PM= PC 2MC 2=2PC 2=2 2 ，222 ）222P在 MPB中， PB +PM=（2+1 =9=BM MPB是直
4、角三角形AB BPC=CPM+ MPB=45 +90 =135例 3，如图 3，直角三角形 ABC中， AB=AC， BAC=90 , EAF=45，求证： EF2=BE2+CF2分析：本题求证的结论和例1 十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将BE， CF转移到同一个直角三角形中，由于BAC是等腰直角三角形，不妨以A 为旋转中心，将BAE和 CAF合在一起，取零为整。证明：过A 作 AP AE交 BC的垂线 CP于 P，连结 PFA EAP=90， EAF=45 PAF=45 BAC=90 BAE= PAC AB=AC， B= ACB=ACP=45 ABE ACP（ ASA） PC=
5、AE，AP=AE AEF APF（ SAS） EF=PF222222故在 Rt PCF中， PF =CF+PC, 即 EF =CF+AE例 4，如图 4，正方形 ABCD中， E，F 分别在 AD，DC上，且 EBF=45， BM EF 于 M，求证： BA=BM分析 : 本题与例 3相同之处在于直角三角形家夹有45角，可利用相同的方法，将ABE和 CBF“化散为整”来构造全等三角形。N证明：延长 FC到 N，使 CN=AE，连结 BNBCF2AED最新资料推荐四边形ABCD是正方形 AB=AC， BAC=90 EBF=45 ABE+ CBF=45由 ABE CBN知 BE=BN， CBN=
6、ABE CBN+ CBF=45，即 EBF= NBF又 BE=BN，BF=BF EBF NBF（ SAS） BM=BCBM=BA例 5、如图 6，五边形 ABCDE中， AB AE， BC DE CD， ABC AED 180。求证： ADE ADC。解析：条件中有共点且相等的边AE和 AB，可将 ADE以点 A 为中心，顺时针方向旋转BAE的角度到 AFB的位置，如图7。这就使已知条件ABC AED 180和 BC DE CD 通过转化得到集中，使解题思路进一步明朗。由 ADE AFB，得 AED ABF， ADE AFB， ED BF， AF AD。由 ABC AED 180，得 ABC
7、ABF 180。所以 C、 B、 F 三点共线。又 CD BCDE BCBF CF，故 CFD CDF。由 AF AD，得到 DFAFDA。 ADE AFB CFD DFA CDF FDA ADC 。例 6、如图， P 是等边三角形 ABC内的一个点， PA=2， PB=2 3 ，PC=4，求 ABC的边长。分析： PA、PB、 PC比较分散，可利用旋转将PA、 PB、 PC放在一个三角形中，为此可将BPA绕 B点逆时针方向旋转60可得 BHC。解：把 BPA绕 B 点逆时针方向旋转60得到 BHC。因为 BP=BH， PBH=60所以 BPH是等边三角形所以 BPH=60，所以BP=PH 2
8、3又因为 HC=PA=2， PC=4所以所以 HCP是 Rt ，所以 CHP=903最新资料推荐又因为 HC=2， PC=4所以 HPC=30又因为 BPH=60，所以 CPB=90在 Rt BPC中，=12+16=28,BC2 7 ，那么 ABC的边长为 2 7 。例 7、如图 2， O是等边三角形ABC内一点，已知：AOB=115， BOC=125，则以线段OA、 OB、OC为边构成三角形的各角度数是多少？解：可将 BOC绕 B点按逆时针方向旋转60可得 BMA。因为 BO=BM， MBO=60所以 BOM是等边三角形，所以 1=2=60又因为 AOB=115，所以 MOA=55又因为 A
9、MB= COB=125所以 AMO=65又因为 AM=OC， MO=BO所以 AMO正好是以AO、 OC、BO为边组成的三角形，所以 MAO=180（ 55 +65） =180 120 =60即：以线段 OA、 OB、OC为边构成三角形的各角的度数分别为55、 65、 60。例 8、如图 4，P 是正方形 ABCD内一点，将 ABP绕点 B 顺时针方向旋转能与CBP 重合，若PB=3，求 PP 的长。分析：将 ABP绕点 B 顺时针方向旋转能与CBP 重合，实际上就是把ABP顺时针方向旋转90可得CBP ，即PBP90。解：因为 BPBP ,PBP90。所以PP BP 2P B232323 2
10、 。4最新资料推荐例 9、如图 5， P 为正方形 ABCD内一点，且 PA：PB： PC=1： 2： 3，求 APB的度数。分析： PA：PB： PC=1： 2： 3，不妨设 PA=1，PB=2，PC=3，而这些条件较分散，可设法把PA、PB、PC相对集中起来即把BCP绕 B点顺时针方向旋转90得到 BAE。解：因为 BP=BE， PBE=90所以 PE 22222 ，所以 PE22又在 APE中， AECP 3, PA2PE 2AE 2即 12(22) 232所以 APE=90即 APB=90 +45 =135所以 APB=135。例 10、如图，正方形 ABCD的边长为 1，AB、 AD
11、上各存一点 P、Q，若 APQ的周长为 2，求 PCQ的度数。解：把 CDQ绕点 C旋转 90到 CBF的位置， CQ=CF。因为 AQ+AP+QP=2又 AQ+QD+AP+PB=2所以 QD+BP=QP又 DQ=BF，所以 PQ=PF所以QCPFCP所以 QCP= FCP又因为 QCF=90，所以 PCQ=45。由上例可知，利用旋转的概念及性质，把图中的一部分图形通过旋转，可把题化难为易，它为题设和结论的沟通架起了桥梁，同学们在做题时多练，多观察，增强解答几何题的能力从以上几例来看，都巧妙地运用了旋转的方法构造全等三角形，或借助中点，或旋转一角，通过将相关线段和有关的角转移到一个直角三角形中，运用勾股定理及它的逆定理来达到解题的目的。5