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1、最新资料推荐第二章轨迹与方程2.1 平面曲线的方程1.一动点 M 到 A (3,0)的距离恒等于它到点B(6,0)的距离一半， 求此动点 M 的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？解：动点 M 在轨迹上的充要条件是MA1MB 。设 M 的坐标 ( x, y) 有21 ( x(x 3) 2y 26)2y 2化简得 ( x6) 2y2362故此动点 M 的轨迹方程为 ( x6)2y 236此轨迹为椭圆2.有一长度为 2a (a 0）的线段，它的两端点分别在x 轴正半轴与y 轴的正半轴上移动，是 求 此 线 段 中 点 的 轨 迹 。 A ， B 为 两 端 点 ， M为 此 线 段 的 中 点 。解
2、：如图所示设.则xyA(x, o), B(o, y)M ( ,在AOB中有) . Rt22( x2y2 )(2 a)2 . 把 M 点的 坐标代入此式得 :( x2y2 )a2 ( x0, y0) .此线段中点的轨迹为 ( x2y2 )a2 .3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值m2 ,求此动点的轨迹 .解: 设两定点的距离为 2a ,并取两定点的连线为 x 轴 , 两定点所连线段的中垂线为y 轴.现有 :AMBMm2 .设 M (x, y) 在 Rt BNM 中(ax)2y2AM2(1)在 Rt BNM 中.(ax)2y2BM2(2)由 (1) (2) 两式得 :.(x2y2 )22a2
3、 ( x2y2 ) m4a4 .4.设 P, Q, R 是等轴双曲线上任意三点,求证 PQR 的重心H 必在同一等轴双曲线上 .证明 : 设等轴双曲线的参数方程为xctcP( x1, y1 ) , Q( x2 , y2 ) , R( x3 , y3 ) . 重心 Hyt1最新资料推荐( x1x2x3 , y1y2 y3 )335.任何一圆交等轴双曲线xyc2 于四点 P(ct1, c ) , Q (ct2, c ) ,R(ct3, c ) 及 S(ct4, c ) .那么t1t2t3t4一定有 t1t2t3t41.证明 : 设圆的方程x2y22Dx2EyF0 . 圆与等轴双曲线交点(ct ,
4、c ) , 则代入得t2 2c22Dct2EcF0.整 理 得 :2 42Dct3Ft22Ect c20. 可 知c tt 2tc t(i1, 2 , 是3它的四个根,则有韦达定理 t1 t2t3 t4(4 c21.1)2c8.把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程.111 y 2x 3; x 2y 2a 2 , a0 ; x 3y33axy0, a0 .2解: xt 3yt111令 xa cos4, 代入方程 x 2y 2a 21111得 y 2a 2a 2cos2a2sin 2, ya sin 4参数方程为xa cos4.ya sin 4令 ytx, 代入方程 x 3y 33axy 0得
5、1t 3x33atx 20x 21t 3x 3at0x0或x3at1 t 3当 x0时 , y0; 当 x3at3at 21 t 3 时 , y1 t 32最新资料推荐3atx3故参数方程为1t.3at 2yt312.2 曲面的方程1、 一动点移动时，与A(4,0,0) 及 xoy 平面等距离，求该动点的轨迹方程。解：设在给定的坐标系下，动点M ( x, y, z) ，所求的轨迹为C ，则 M ( x, y, z) CMAz亦即(x4) 2y 2z2z(x4) 2y20由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为(x 4) 2y 202、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：（ 1）到
6、两定点距离之比为常数的点的轨迹；（ 2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹；（ 3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；（ 4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。解：（ 1）取二定点的连线为x 轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为 m ，二定点的距离为2a ，则二定点的坐标为( a,0,0),(a,0,0) ，设动点 M (x, y, z) ，所求的轨迹为 C ，则M (x, y, z) C( xa) 2y 2z 2m( xa)2y 2z2亦即 (x a)2y 2z2m2 ( x a) 2y 2z2 经同解变形得： (1m 2 )( x 2y 2z2 )2a
7、(1m2 )x(1m2 )a 20上式即为所要求的动点的轨迹方程。（2）建立坐标系如 （ 1），但设两定点的距离为2c，距离之和常数为2a。设动点 M (x, y, z) ，要求的轨迹为 C ，则 M ( x, y, z) C( x c) 2y 2z2( x c) 2y 2z22a亦即 (x c) 2y 2z22a(xc) 2y 2z23最新资料推荐两边平方且整理后，得：(a2c2 ) x2a2 y 2a2 z2a2 (a 2c2 )（ 1）a c令 b 2a2c 2从而（ 1）为 b 2 x 2a2 y 2a2 z2a2 b2即： b 2 x 2a2 y 2a2 z 2a 2 b2由于上述过
8、程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。（3）建立如（2）的坐标系，设动点M ( x, y, z) ，所求的轨迹为C ，则 M ( x, y, z) C( x c) 2y 2z2( x c) 2y 2z22a类似于（ 2），上式经同解变形为：x2y2z2ab212c 2其中b2c 2a 2(c a )（ * ）（* ）即为所求的轨迹的方程。（4）取定平面为xoy 面，并让定点在z 轴上，从而定点的坐标为(0,0,c) ，再令距离之比为m 。设动点 M ( x, y, z) ，所求的轨迹为C ，则M ( x, y, z) Cx 2y 2z2m z将上述方程经同解化简为： x 2y 2(1m
9、2 ) z22czc 20（ * ）（* ）即为所要求的轨迹方程。3. 求下列各球面的方程：（1）中心 (2, 1,3) ，半径为；R6（2）中心在原点，且经过点(6, 2,3) ；（ 3）一条直径的两端点是 (2 3,5)与( 4,1, 3)（4）通过原点与 ( 4,0,0), (1,3,0), (0,0,4)解：（ 1）由本节例 5 知，所求的球面方程为：( x 2) 2( y 1) 2(z 3)236（2）由已知，球面半径 R62(2) 2327所以类似上题，得球面方程为4最新资料推荐x2y 2z249（ 3 ）由已知，球面的球心坐标243,b3153a221, c1 ，球的半径12R(
10、42) 2(13) 2(53) 221 ，所以球面方程为：2( x 3) 2( y 1) 2( z 1)221（4）设所求的球面方程为：x 2y2z 22gx2hy2kz l0因该球面经过点 ( 0,0,0),( 4,0,0), (1,3,0), (0,0,4) ，所以l0168g0（ 1）102g6h0168k0解（ 1）有l0h1g2k2所求的球面方程为x2y2z24x2 y4z02.3 母线平行于坐标轴的柱面方程1、画出下列方程所表示的曲面的图形。（1） 4x 29y 236解：各题的图形如下：（1） 4x 29y 236zyOx5最新资料推荐2.4 空间曲线的方程1x2y22 x0的公
11、共点组成怎样的轨迹。、平面 x c 与解：上述二图形的公共点的坐标满足x 2y 22x 0y2c(2c)xcxc从而：（）当 0c2时，公共点的轨迹为：yc(2c)及yc(2 c)xcxc即为两条平行轴的直线；（）当（）当c 0 时，公共点的轨迹为：y0即为 z 轴；x 0c 2 时，公共点的轨迹为：y0即过 (2,0,0) 且平行于 z 轴的直线；x2（）当 c2 或 c0 时，两图形无公共点。2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？（1） x2y 216 z264 ；（ 2） x 24 y216z264 ；（3） x24 y216 z264 ；（ 4） x 29 y210 z解：
12、（ 1）曲面与 xoy面的交线为：x2y 216z264x 2y 264z0z0此曲线是圆心在原点，半径R8 且处在 xoy面上的圆。同理可求出曲面 x2y 216z264 与 yoz面 (x0) 及 zox 面 ( y0) 的交线分别为：y 216z264x216z264x0，y0它们分别是中心在原点， 长轴在 y 轴上， 且处在 yoz面上的椭圆， 以及中心在原点， 长轴在 x 轴上，且处在 zox 面上的椭圆；（2）由面 x24 y 216 z264 与 xoy 面 (z0) ， yoz面 (x0) ， zox 面 ( y0) 的交线6最新资料推荐分别为：x 24y216z264x 24
13、 y 216z264x24 y216z264z0,x0,0y亦即：x24 y 264y 24z216 x 216z264z0,x0,0y即为中心在原点，长轴在x 轴上，且处在 xoy面上的椭圆；中心在原点，实轴在y 轴，且处在 yoz面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在x 轴，且处在 zox 面上的双曲线。（3）曲面 x24 y 216 z264 与 xoy 面 (z0) ， yoz面 (x0) ， zox 面 ( y0) 的交线分别为：x 24 y216z264x 24 y 216z264x24 y216z264z0,x0,0yx24 y 2644 y 216z264x 216z264亦即0
14、,0,y0zx即为中心在原点，实轴在 x 轴，且处在 xoy 面上的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴在 x 轴上，且处在 zox 面上的双曲线。（ 4）曲面 x 29 y 216z 与 xoy 面 (z0) ， yoz 面 ( x0) ， zox 面 ( y0) 的交线分别为：x 29 y216zx 29 y216zx29 y 216zz0,0,y0xx29 y 209 y 216zx 216z亦即0,x 0,y 0z即为坐标原点，顶点在原点以z 轴为对称轴，且处在yoz面上的抛物线，以及顶点在原点，以 z 轴为对称轴，且处在 zox 面上的抛物线。3. 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面
15、方程。x2y2z0x 2z23yz2x3z3 0 0（1）x 1;（ 2）yz10zx 2 y 6z5（ 4）x 2y2z21（3）x 21) 21) 23x2y10z 7( y(z1解：（ 1）从方程组x 2y 2z0zx1分别消去变量 x, y, z ，得： ( z1) 2y 2z0亦即：z 2y 23z10（）7最新资料推荐zx 10（）x 2y 2x 1 0（）（）是原曲线对yoz平面的射影柱面方程；（）是原曲线对zox 平面的射影柱面方程；（）是原曲线对xoy 平面的射影柱面方程。（2）按照与（ 1）同样的方法可得原曲线（）对 yoz平面的射影柱面方程；yz 10 ；（）对 zox
16、平面的射影柱面方程；x 22z22x6z30 ；（）对 xoy 平面的射影柱面方程。x 22 y 22x2 y10 。（3） 原曲线对 yoz平面的射影柱面方程：2 y7 z20原曲线对 zox 平面的射影柱面方程：xz30原曲线对 xoy平面的射影柱面方程：7x2 y230（4） 原曲线对 yoz平面的射影柱面方程：yz10原曲线对 zox 平面的射影柱面方程：x22z22z0原曲线对 xoy 平面的射影柱面方程：x 22 y 22 y0y24z06. 求空间曲线z2的参数方程 .x0解 : 令 y 2t , 代 入 方 程 y24z0 得 y20 得t再 将 所 得 结 果 代 入 方 程 x z24xtxt 4 .从而知曲线的参数方程为y2tzt 28