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1、最新资料推荐第六章要求与练习一、学习要求1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件. 掌握单位向量、 方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法.3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题 .7 、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程.二、练习1、一向量起点为A （ 2， 2， 5），终点为B（ 1， 6， 7），求（1） AB 分别在 x 轴、 y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量；（2） AB 的模；（ 3） AB 的方向余
2、弦； （4） AB 方向上的单位向量 .解：（ 1） AB3,8,2， AB 分别在 x 轴的投影为 -3，在 y 轴上的投影为8，在 z 轴上的分向量 2k；（ 2） AB77 ；（ 3） AB 的方向余弦为3,82；77,7777（4） AB 方向上的单位向量1 (3i 8 j2k ) .772、设向量 a 和 b 夹角为60o，且 | a | 5 ， | b |8 ，求 | ab |， | a b | .解： | a b |a2| a |2| b |2 2 | a |b | cos600129 ，b=| a b |a2| a |2| b |22 | a | b |cos600b=7.3、
3、已知向量 a2,2,1 ， b8,4,1 ，求（1）平行于向量 a 的单位向量；（ 2）向量 b 的方向余弦 .解（ 1） a2222123 平行于向量 a 的单位向量 2 , 2 , 1 ；333（2） b8242129 ，向量 b 的方向余弦为：8,4,1.99 94、一向量的终点为B（ 2， 1， 7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、 4 和 7.求该向量的起点 A 的坐标 .解： AB =(4， -4， 7)=(2 ， -1，7)-(x ， y， z),所以 (x， y， z)=（ 2， 3， 0）；5、已知 a2, 2,1 ， b3, 2,2 ，求（1）垂直于 a 和 b 的单
4、位向量；（2）向量 a 在 b 上的投影；1最新资料推荐（3）以 a 、 b 为边的平行四边形的面积以及夹角余弦.解（ 1） ca b6, 1,10 , c137 ， c01(6,1,10)；137（2） cosa, bab4；ab17（3） Sa bab sin a, b137 ， cos a,b417 ；516、设 a b c0 ， | a |3 ， | b |2 ， |c | 4 ，求 a b b c c a .解： a b2a2b 2c 22 a bb cc a0 ，所以 a b b cca = 29 / 2 ；c7、求参数 k ，使得平面 x ky2z9分别适合下列条件：（1）经过点
5、 (5,4,6) ；（ 2）与平面2 x4y3z3 垂直；（3）与平面 2x3 yz0 成的角；（4）与原点相距3 个单位；4解： 7、（ 1） 2； （2） 1； （3）70 ；（ 4）2；28、已知平面平行于y 轴，且过点 P(1, 5,1) 和 Q (3,2,1)，求平面的方程 .解 ： 设 平 面 方 程 为 ： AxByD0 ， 将 P( 1 , 5 ,和1Q(3,2,1)代 入 求 得A 1, B1, D2. 该平面方程为： xz20 .9、已知平面过 O (0,0,0) 、 A(1,0,1) 、 B(2,1,0)三点，求该平面方程 .解：设平面方程为：AxByCz0 ，将 A(1
6、,0,1) 、 B(2,1,0)代入平面方程得，A 1, B2, C1, ，该平面方程为x2 yz0 .10、求过点 M (1,2,1) ，且垂直于已知两平面xy0与 5 yz10 的平面方程 .解 ： 两 平 面 的 法 向 量 为 ： n11,1,0, n20,5,1， 所 示 平 面 的 法 向 量 为 ：n n1 n21,1,00,5,11, 1,5，则所示的平面方程为：x y 5z4 0 .11、把直线xyz 12xyz化为对称式方程及参数方程 .42最新资料推荐解 ： 两 平 面 的 法 向 量 为 ： n11,1,1 , n22,1,1， 则 直 线 的 方 向 向 量 为 ：s
7、n1n21,1,12,1,12,1,3，取直线上一点为：(1， 1， 1)，则直线对称式方程为： x 1y1z 1x12t1t, 参数方程为 :y1t .23z13t解二：若取点为：(0， -3/2,5/2) , 则直线对称式方程为：xy3 / 2z5 / 2参数21，3方程为 : x2t, yt3/ 2, z3t5 / 2 .12、求过点 (0,2,4)且与平面 x2 z 1及 y3z2都平行的直线方程 .解 ： 两 平 面 的 法 向 量 为 ： n1,2,2, n0,1, 3， 则 直 线 的 方 向 向 量 为 ：12sn1n11,2,20,1,32,3,1 ，则直线方程为：xy 2z
8、 4t ，或231x2ty23tz4t13、一直线过点A(2,3,4) 且和 y 轴垂直相交，求其方程.解：过点 A(2,3,4) 的直线与 y 轴垂直相交的交点为(0， -3，0)，直线的方向向量为：x 2y 3z 1y30x2z 1 .(2， 0， 4)，所以直线方程为：0，即242414将 xoz 坐标面上的抛物线 z25x 绕 x 轴旋转一周， 求所生成的旋转曲面的方程。解：由坐标面上的曲线绕一坐标轴旋转时生成的曲面方程的规律，所得的旋2转曲面的方程为y 2z25x ，即 y2z2 5x 。15画出下列各方程所表示的曲面：3最新资料推荐222z2(1) xay 2a；(2) x1 ；
9、(3) z 2 x 2 。2294zz2oy3a/2xyx(2)z(1)Oy2x（3）16指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？(1) x2 ；(2) yx1；(3) x 2y 24 ；(4) x 2y21 。方程在平面解几中表示在空间解几中表示x2平行于y轴的一直线与 yoz平面平行且过 2,0,0 的平面yx1斜率为 1，在 y 轴截距为1 的直线平行于 z 轴，过 (0,1,0) ， (-1,0,1)的平面x 2y24圆心在原点，半径为2 的圆以过 z 轴的直线为轴，半径为 2 的圆柱面x 2y21双曲线母线平行于 z 轴的双曲柱面17说明下列旋转曲面是怎样形成的
10、？(1) x2y 2z 21； (2) z a 2x2y 2 。44最新资料推荐解： (1)由 xoy 坐标面上的双曲线 x2 y 21 ，绕 y 轴旋转一周或是 yoz 坐标4面上的双曲线y2z 21，绕 y 轴旋转一周得到。4(2)是 yoz坐标面上关于 z 轴对称的一对相交直线 z a 2y 2 ，即 z y a 和z y a 中之一条绕 z 轴旋转一周；或是 xoz 坐标上关于 z 轴对称的一对相交直线 za 2x2 ，即 zxa 和 zxa 中之一条，绕 z 轴旋转一周。18指出下列方程组在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么图形？(1)y5x1 ；(2)x2y 21.49y2x
11、3y3解： (1)在平面解析几何中表示两直线的交点；在空间解析几何中表示两平面的交线；(2)在平面解析几何中表示椭圆与其一切线的交点；在空间解析几何中表示椭圆柱面 x2y 21与其切平面 y3 的交线。4919分别求母线平行于 x 轴及 y 轴而且通过曲线2x 2y 2z216x2z2y2的柱面方0程。解：10从方程组中消去 x 得： 3y22z216 ，此方程即母线平行于 x 轴且通过已知曲线的柱面方程；20从方程组中消去 y 得： 3x 22z216 ，此方程即母线平行于 y 轴且通过此曲线的柱面方程。20求球面 x2y 2z29 与平面 xz1 的交线在 xoy 面上的投影的方程。解 ： 由 x z1 ， 得 z 1x ， 代 入 x 2y 2z29 ， 消 去 z 得x2y 21x 29 ，即 2x 22xy 28 ，这就是通过球面 x 2y 2z29 与平面 xz1的交线，并且母线平行于z轴的柱面方程，将它与z 0 联系，得：5最新资料推荐2x 22x y 28，即为所求的投影方程。z06