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1、最新资料推荐高中奥林匹克物理竞赛解题方法微元法方法简介微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。赛题精讲例 1：如图 3 1 所示，一个身高为 h 的人在灯以悟空速度 v 沿水平直线行走。设灯距地面高为
2、 H，求证人影的顶端 C 点是做匀速直线运动。解析 ：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。设某一时间人经过AB 处，再经过一微小过程 t（ t 0），则人由 AB 到达 A B，人影顶端C 点到达 C点，由于SAA =v t 则人影顶端的SCCHSAAHv移动速度 vClimlim H htt 0tt 0H h可见 vc 与所取时间 t 的长短无关，所以人影的顶端 C 点做匀速直线运动 .例 2：如图 32 所示，一个半径为R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为 .试求铁链 A 端受的拉力 T.
3、解析 ：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况 .在铁链上任取长为L 的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图3 2甲所示 .由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：TTG cosTTG c o sLg c o s1最新资料推荐由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大 T ，所以整个铁链对A 端的拉力是各段上T 的和，即TTLg c o sgL c o s观察L cos 的意义，见图3 2乙，由于
4、很小，所以 CD OC， OCE= Lcos 表示 L 在竖直方向上的投影R，所以L c o sR可得铁链 A 端受的拉力TgL cosgR例 3：某行星围绕太阳C 沿圆弧轨道运行，它的近日点A 离太阳的距离为a，行星经过近日点 A 时的速度为 vA ，行星的远日点B 离开太阳的距离为 b，如图 3 3 所示，求它经过远日点B 时的速度 vB 的大小 .解析： 此题可根据万有引力提供行星的向心力求解.也可根据开普勒第二定律，用微元法求解.设行星在近日点A 时又向前运动了极短的时间t，由于时间极短可以认为行星在t 时间内做匀速圆周运动，线速度为vA ，半径为 a，可以得到行星在t 时间内扫过的面
5、积Sa1 v Ata同理，设行星在经过远日点B 时也运动了相同的极短时间t，21则也有SbvB t b由开普勒第二定律可知： Sa=Sb2a即得vBv A此题也可用对称法求解 .b例 4：如图 34 所示，长为 L 的船静止在平静的水面上，立于船头的人质量为 m，船的质量为 M ，不计水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？解析： 取人和船整体作为研究系统，人在走动过程中，系统所受合外力为零，可知系统动量守恒.设人在走动过程中的 t 时间内为匀速运动，则可计算出船的位移.设 v1、 v2 分别是人和船在任何一时刻的速率，则有mv1Mv 2两边同时乘以一个极短的时间t， 有mv1
6、 tMv 2t由于时间极短，可以认为在这极短的时间内人和船的速率是不变的，所以人和船位移大小分别为s1v1t ，s2v2 t由此将式化为m s1Ms2 2最新资料推荐把所有的元位移分别相加有ms1Ms2 即ms1=Ms 2 此式即为质心不变原理.其中 s1、s2 分别为全过程中人和船对地位移的大小， 又因为 L=s 1+s2mL由、两式得船的位移s2M m例 5：半径为 R 的光滑球固定在水平桌面上，有一质量为 M 的圆环状均匀弹性绳圈，原长为 R，且弹性绳圈的劲度系数为 k，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水平停留在平衡位置上，如图3 5 所示，若平衡时弹性绳圈长为2 R ，求弹
7、性绳圈的劲度系数k.解析： 由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中每一小段 m 两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F.在弹性绳圈上任取一小段质量为m 作为研究对象， 进行受力分析 .但是 m 受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察.选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系 .从正面和上面观察， 分别画出正视图的俯视图，如图 3 5甲和 2 3 5乙 .先看俯视图 35甲，设在弹性绳圈的平面上，m 所对的圆心角是 ，则每一小段的质量mM m 在该平面上受拉力F 的作用，合力为2T2F cos(2)2F sin2
8、因为当 很小时， sin所以 T2F2F再看正视图 35乙， m 受重力 mg，支持力 N ，二力的合力与T 平衡 .即Tmg t a n现在弹性绳圈的半径为r2 R2 R22所以sinr245t a n1R2因此 T= mg2Mg、联立，2MgF ，3最新资料推荐解得弹性绳圈的张力为：MgF2设弹性绳圈的伸长量为 x则 x2 R R ( 2 1) R所以绳圈的劲度系数为：FMg( 21)Mgk2( 2 1) 2 R22 Rx例 6：一质量为 M 、均匀分布的圆环，其半径为r，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为 T，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.解析 ：因为向心力F=mr 2，
9、当 一定时， r 越大，向心力越大，所以要想求最大张力T 所对应的角速度 ， r 应取最大值 .如图 3 6 所示，在圆环上取一小段L，对应的圆心角为 ，其质量可表示为m2M ，受圆环对它的张力为 T ，则同上例分析可得2T sinmr 22因为 很小，所以 sin2，即22TMr22 T2解得最大角速度2Mr例 7：一根质量为 M ，长度为 L 的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上， 如图 3 7 所示， 求链条下落了长度 x 时，链条对地面的压力为多大？解析： 在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在地面上那部分
10、链条的重力.根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力，这个力的冲量， 使得链条落至地面时的动量发生变化.由于各质元原来的高度不同， 落到地面的速度不同，动量改变也不相同.我们取某一时刻一小段链条（微元）作为研究对象，就可以将变速冲击变为恒速冲击 .设开始下落的时刻t=0 ，在 t 时刻落在地面上的链条长为x，未到达地面部分链条的速度为v，并设链条的线密度为 .由题意可知， 链条落至地面后， 速度立即变为零 .从 t 时刻起取很小一段时间 t，在 t 内又有 M= x 落到地面上静止 .地面对 M 作用的冲量为(FMg ) tI因为Mgt 0所以 F tMv0v x解得冲力
11、：Fvx ，其中x 就是 t 时刻链条的速度 v，tt4最新资料推荐故 Fv 2链条在 t 时刻的速度 v 即为链条下落2F2gx长为 x 时的即时速度，即 v =2gx，代入 F 的表达式中，得此即 t 时刻链对地面的作用力，也就是t 时刻链条对地面的冲力 .所以在 t 时刻链条对地面的总压力为N 2 gxgx3gx3Mgx .L例 8：一根均匀柔软的绳长为L ，质量为m，对折后两端固定在一个钉子上，其中一端突然从钉子上滑落， 试求滑落的绳端点离钉子的距离为 x 时，钉子对绳子另一端的作用力是多大？解析： 钉子对绳子另一端的作用力随滑落绳的长短而变化，由此可用微元法求解.如图 3 8 所示，
12、当左边绳端离钉子的距离为 x 时，左边绳长为1 (lx) ，速度 v2gx ，1 (2右边绳长为l).又经过一段很短的时间t 以后，2x1 V左边绳子又有长度t 的一小段转移到右边去了，我们就分2析这一小段绳子，这一小段绳子受到两力：上面绳子对它的拉力 T 和它本身的重力 1 vt g(m/ l 为绳子的线密度） ，21 v tg) t 0 ( 1 v t v)根据动量定理，设向上方向为正(T22由于 t 取得很小，因此这一小段绳子的重力相对于T 来说是很小的，可以忽略，所以有T1 v2gx因此钉子对右边绳端的作用力为1 (l21 mg(13x )Fx) gT22l例 9：图 3 9 中，半径
13、为 R 的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长但质量可忽略，绳下悬挂的两物体质量分别为M 、 m.设圆盘与绳间光滑接触，试求盘对绳的法向支持力线密度.解析： 求盘对绳的法向支持力线密度也就是求盘对绳的法向单位长度所受的支持力 .因为盘与绳间光滑接触，则任取一小段绳，其两端受的张力大小相等，又因为绳上各点受的支持力方向不同，故不能以整条绳为研究对象，只能以一小段绳为研究对象分析求解 .在与圆盘接触的半圆形中取一小段绳元L ， L 所对应的圆心角为 ，如图 39甲所示，绳元 L 两端的张力均为 T，绳元所受圆盘法向支持力为 N，因细绳质量可忽略，法向合力为零，则由平衡条件得：5最新资料推荐NT sinT
14、 sin22T sin22当 很小时， sin2 N=T 2又因为 L=R 则绳所受法向支持力线密度为nNTTLRR以 M 、 m 分别为研究对象，根据牛顿定律有Mg T=Ma T mg=m a 由、解得：T2MmgMm将式代入式得：n2Mmg( Mm) R例 10：粗细均匀质量分布也均匀的半径为分别为R 和 r 的两圆环相切 .若在切点放一质点m，恰使两边圆环对 m 的万有引力的合力为零，则大小圆环的线密度必须满足什么条件？解析：若要直接求整个圆对质点m 的万有引力比较难， 当若要用到圆的对称性及要求所受合力为零的条件，考虑大、小圆环上关于切点对称的微元与质量m 的相互作用，然后推及整个圆环
15、即可求解 .如图 3 10 所示，过切点作直线交大小圆分别于P、Q 两点，并设与水平线夹角为 ，当 有微小增量时，则大小圆环上对应微小线元L1R 2L 2r2其对应的质量分别为m11 l11 R 2m22 l 22 r 2由于 很小，故 m1、 m2 与 m 的距离可以认为分别是r12R c o sr22r c o s所以 m1、 m2 与 m 的万有引力分别为F1Gm m1G 1R 2 mF2Gm m2G 2 R 2 m2( 2R cos )2 ,2(2r cos)2r1r2由于 具有任意性，若 F1 与 F2 的合力为零，则两圆环对 m 的引力的合力也为零，即G1R 2mG 2 r 2m(
16、2R cos)2( 2r cos) 2解得大小圆环的线密度之比为：1R2 r6最新资料推荐例 11：一枚质量为M 的火箭， 依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v，那么火箭发动机的功率是多少？解析 ：火箭喷气时， 要对气体做功，取一个很短的时间，求出此时间内， 火箭对气体做的功，再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率.选取在 t 时间内喷出的气体为研究对象，设火箭推气体的力为F，根据动量定理，有F t= m v因为火箭静止在空中，所以根据牛顿第三定律和平衡条件有F=Mg即 Mg t= m vt= mv/Mg对同样这一部分气体用动能定理，火箭对它做的功为：W1mv 22W1m
17、v21 MgV所以发动机的功率P2t( mV / Mg ) 2例 12：如图 311 所示，小环 O 和 O分别套在不动的竖直杆 AB 和 A B 上，一根不可伸长的绳子穿过环O，绳的两端分别系在 A 点和 O 环上，设环 O以恒定速度 v 向下运动，求当 AOO = 时，环 O 的速度 .解析 ：O、O之间的速度关系与 O、 O的位置有关，即与角有关，因此要用微元法找它们之间的速度关系.设经历一段极短时间t， O环移到 C， O 环移到 C，自 C与 C 分别作为 O O 的垂线 C D和 CD ，从图中看出 .OCOD , O CO D因此 OC+O C = OD O Dcoscoscos
18、因 极小，所以 EC ED ， EC ED ，从而 OD+O D OO CC 由于绳子总长度不变，故OO CC =O C由以上三式可得：OC+O C= O C即 OCO C (11)cos1cost 得环 O 的速度为v01)等式两边同除以v(c o s例 13： 在水平位置的洁净的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和表面张力的影响，水银近似呈现圆饼形状（侧面向外凸出） ，过圆饼轴线的竖直截面如图 3 12 所示，为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按 180计算 .已知水银密度13.6 103 kg / m 3 ，水银的表面张力系数0.49N / m. 当圆饼的半径很大时，试估算其厚度h 的数值大
19、约为多少？（取 1 位有效数字即可）解析 ：若以整个圆饼状水银为研究对象，只受重力和玻璃板的支持力，在平衡方程中，液体7最新资料推荐的体积不是 h 的简单函数，而且支持力N 和重力 mg 都是未知量，方程中又不可能出现表面张力系数，因此不可能用整体分析列方程求解h.现用微元法求解 .在圆饼的侧面取一个宽度为x，高为 h 的体积元，如图3 12甲所示，该体积元受重力G、液体内部作用在面积 x h 上的压力 F， FPS1hgxh1 gh2x ，22还有上表面分界线上的张力F1= x 和下表面分界线上的张力 F2= x.作用在前、后两个侧面上的液体压力互相平衡，作用在体积元表面两个弯曲分界上的表面
20、张力的合力，当体积元的宽度较小时，这两个力也是平衡的，图中都未画出.由力的平衡条件有：FF1 cosF20即 1gh 2xx cosx02解得： h2 (1cos)2.710 31cosg由于 0, 所以11cos2, 3 3故 2.7 10mhm ，碰撞弹力Ng ，球与车之间的动摩擦因数为 ，则小球弹起后的水平速度可能是（）A 2 ghB 0C 22ghD v06半径为 R 的刚性球固定在水平桌面上.有一质量为M 的圆环状均匀弹性细绳圈，原长2a， a=R/2 ，绳圈的弹性系数为 k（绳伸长 s 时，绳中弹性张力为ks）.将绳圈从球的正上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平，并最后停留在某个静力平衡位置.考虑重力，忽略摩擦 .（ 1）设平衡时弹性绳圈长2 b，b= 2a ，求弹性系数k；（用 M 、R、 g 表示， g 为重力加速度）（ 2）设 k=Mg/2 2R，求绳圈的最后平衡位置及长度.7一截面呈圆形的细管被弯成大圆环，并固定在竖直平面内，在环内的环底 A 处有一质量为 m、直径比管径略小的小球，小球上连有一根穿过环顶B 处管口的轻绳，在外力F 作用下小球以恒定速度 v 沿管壁做半径为 R 的匀速圆周运动，如图 3 23 所示 .已知小球与管内壁中位于大环外侧部分的动摩擦因数为，而大环内侧部分的管内壁是光滑