《高中数学必修5常考题型：简单的线性规划问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修5常考题型：简单的线性规划问题.docx（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、最新资料推荐简单的线性规划问题【知识梳理】线性规划的有关概念名称意义约束条件变量 x，y 满足的一组条件线性约束条件由 x， y 的二元一次不等式(或方程 )组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式线性目标函数目标函数是关于x， y 的二元一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x， y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题【常考题型】题型一、求线性目标函数的最值x 2y 2，【例 1】设变量 x， y 满足约束条件2x y 4，则目标函数z 3x y 的取值范围是4x y
2、 1，()A. 3， 6B. 3， 122C 1,6D 6， 32x2y 2， 解析 约束条件 2x y 4， 所表示的平面区域如图阴影部分，直线 y3x z 斜率为4x y 13.1最新资料推荐由图象知当直线y 3x z 经过 A(2,0)时， z 取最大值6，当直线y 3x z 经过 B1， 3时，23z 取最小值2， z 3x y 的取值范围为3， 6，故选 A.2 答案 A【类题通法】解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解 z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点【对点训练】x4y 3，1设 z 2x y，变
3、量 x、 y 满足条件3x 5y 25，求 z 的最大值和最小值x 1， 解 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示把z 2x y 变形为y 2x z，则得到斜率为2，在 y 轴上的截距为z，且随 z 变化的一组平行直线由图可以看出，当直线 z 2xy 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距 z 最小x4y 3 0，解方程组得 A 点坐标为 (5,2)，3x5y 25 0，解方程组x1，得 B 点坐标为 (1,1)，x 4y 30，2最新资料推荐 z 最大值 2 5 2 12， z 最小值 2 1 1 3.题型二、求非线性目标函数的最值x y 50，【例 2】设 x，
4、 y 满足条件x y 0，x 3.(1) 求 u x2 y2 的最大值与最小值；(2) 求 v y 的最大值与最小值x 5 解 画出满足条件的可行域如图所示，(1) x2 y2 u 表示一组同心圆 (圆心为原点 O)，且对同一圆上的点 x2 y2 的值都相等，由图可知：当 (x， y)在可行域内取值时，当且仅当圆O 过 C 点时， u 最大，过 (0,0)时， u 最小又C(3,8)，所以 u 最大值 73， u 最小值 0.(2) v y 表示可行域内的点 P(x，y)到定点 D (5,0)的斜率，由图可知， kBD 最大， kCD 最小，x 5又 C(3,8) ， B(3， 3)，所以 v
5、 最大值 33， v 最小值 8 4.3 523 5【类题通法】非线性目标函数最值问题的求解方法(1) 非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离( 或平方 )，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果(2) 常见代数式的几何意义主要有： x2 y2表示点 (x， y)与原点 (0,0)的距离；xa 2 y b 2表示点 (x， y)与点 (a， b)的距离 y表示点 (x， y)与原点 (0,0) 连线的斜率； y b表示点 (x， y)与点 (a，b)连线的斜率这些代xx a3最新资料推荐数式的几何意义能使所求
6、问题得以转化，往往是解决问题的关键【对点训练】x y2 0，则 y的最大值是2 已知变量x， y 满足约束条件x 1，_，最小值是x y7 0.x_ 解析 由约束条件作出可行域 (如图所示 )，目标函数y表示坐z x标 (x，y)与原点 (0,0)连线的斜率由图可知，点C 与 O 连线斜率最大；59B 与 O 连线斜率最小， 又 B 点坐标为 (， )，C 点坐标为 (1,6)，所以 kOB2295， kOC 6.故 y的最大值为6，最小值为 9x5. 答案 695题型三、已知目标函数的最值求参数x 2 0，【例 3】若实数 x， y 满足不等式组y 1 0，x 2y a0，目标函数t x 2
7、y 的最大值为2，则实数a 的值是 _ 解析 如右图，x 2，由x 2y a0.x2，得a 2代入 x 2y 2 中，解得 a 2.y2， 答案 2【类题通法】求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解同时要搞清目标函数的几何意义4最新资料推荐【对点训练】x y 5 0，3已知 x， y 满足x 3，且 z 2x 4y 的最小值为6，则常数k ()x y k0.A 2B 9C310D 0 解析 选 D由题意知，当直线z 2x4y 经过直线x 3 与 x y k 0 的交点 (3， 3 k)时， z
8、最小，所以6 2 3 4 ( 3 k)，解得 k 0.题型四、简单的线性规划问题的实际应用【例 4】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500 元/ 分钟和 200 元 /分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3 万元和 0.2 万元 问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ 解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和 y 分钟，总收益为z 元，由题意得x y 300，500x 200y 90 000，x
9、0，y 0.目标函数为z 3 000x 2 000y.xy300，5x2y 900，二元一次不等式组等价于x 0，y 0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图5最新资料推荐作直线 l ：3 000x 2 000y0，即 3x 2y 0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过 M 点时，目标函数取得最大值x y 300，联立解得 x 100， y 200.5x 2y900，点 M 的坐标为 (100,200) z 最大值 3 000x2 000y 700 000(元 )因此， 该公司在甲电视台做100 分钟广告， 在乙电视台做200 分钟广告， 公司的收益最大，最大收益是70 万
10、元【类题通法】利用线性规划解决实际问题的步骤是：设出未知数(当数据较多时， 可以列表格来分析数据 )；列出约束条件， 确立目标函数； 作出可行域； 利用图解法求出最优解； 得出结论【对点训练】4铁矿石A 和 B 的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2 的排放量b 及每万吨铁矿石的价格 c 如下表：ab(万吨 )c(百万元 )A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨 )铁，若要求CO2 的排放量不超过2(万吨 )，则购买铁矿石的最少费用为 _(百万元 )解析： 可设需购买A 矿石 x 万吨， B 矿石 y 万吨，6最新资料推荐x 0，y 0，则根据题意得到约束条件为：0.5x 0
11、.7y 1.9，x 0.5y 2，目标函数为z 3x6y，当目标函数经过(1,2) 点时目标函数取最小值，最小值为：z 最小值 3 1 6 2 15.答案： 15【练习反馈】2xy 1 0，1 z x y 在 x 2y 1 0，的线性约束条件下，取得最大值的可行解为()x y 1A (0,1)B ( 1， 1)11C(1,0)D 2，2解析： 选 C可以验证这四个点均是可行解，当x 0， y 1 时， z 1；当 x 1， y 1 时， z0；当 x1， y 0 时， z 1；当 x1， y 1时， z 0.排除选项 A ， B， D ，故选 C.22x y1，2已知变量x，y 满足约束条件x
12、 y1，则 z x 2y 的最小值为 ()x 1 0，A 3B 1C 5D 6解析： 选 C由约束条件作出可行域如图：1zzy 轴上的截距，由 z x2y 得 y x ，的几何意义为直线在2221z当直线 y x过直线 x 1 和 x y 1 的交点 A( 1， 2)时，22z 最小，最小值为5，故选 C.y 2x，3.已知实数 x、y 满足 y 2x，则目标函数z x 2y 的最小x 3，值是 _7最新资料推荐解析： 不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示目标函数可化为11y x z，作直22线 y1x 及其平行线，知当此直线经过点A 时，1z 的值最大，即z 的值最小又A 点坐标为22
13、(3,6) ，所以 z 的最小值为3 2 6 9.答案： 9x y4，4已知点P(x， y)的坐标满足条件 y x， 点 O 为坐标原点，那么 |PO|的最小值等于 x 1，_ ，最大值等于 _解析： 点 P( x， y)满足的可行域为ABC 区域， A(1,1)，C(1,3)由图可得，|PO|最小值 |AO | 2；|PO|最大值 |CO| 10.答案：210x y 35已知 x， y 满足约束条件，求 z x 2y 的最小值2x 3y 3xy3解： 作出不等式组的可行域，如图所示2x3y 3画出直线 l 0：x 2y0，平移直线 l 0 到直线 l的位置， 使 l 过可行域内某点，且可行域内其他点都在l 的不包含直线l0 的另外一侧，该点到直线 l0 的距离最小，则这一点使z x 2y 取最小值显然，点 A 满足上述条件，x y 3123解 2x 3y 3得点 A 5 ，5，12 3 18 z 最小值 5 2 5 5 .8