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1、江西省大余中学2018-2019 学年高二数学下学期第二次月考试题理（B卷）一选择题1.设 i 是虚数单位，若复数 zi，则z（）1iA. 1 1 iB.1 1 iC.1 1 iD.1 1 i2222222.若复数 (a23a2)(a1)i 是纯虚数，则实数a 的值为（）A.1B.2C.1或 2D.13.在用反证法证明“已知a, b, cR，且abc3，则a，b，c 中至少有一个大于1”时，假设应为（）A，c中至多有一个大于1Ba， ，c全都小于 1abbC，c中至少有两个大于1Da， ，c均不大于 1abb4.已知双曲线 C： x2y21(a0,b0) 的离心率为5 ，则 C的渐近线方程为
2、( )a2b22A. y1 xB.y1 xC.y1 xD.yx4325.若角终边上的点 A3, a 在抛物线 y1 x2 的准线上，则 cos2（）4A 1B3C1D322226.已知椭圆 C :16 x24 y21 ，则下列结论正确的是（）A. 长轴长为 1B. 焦距为324C. 短轴长为 1D. 离心率为3427.过点 (e,e) 作曲线 y exx 的切线，则切线方程为（）A y ( 1 e) x e2B y (e 1)x e2C y (ee 1 1)x ee 2D y (ee1)x ee 1- 1 - / 68. 设 f(x) 是函数 f ( x) 的导函数， = f(x) 的图象如图
3、所示，则y= f ( x) 的图象最有可能的是 ()9. 将字母 a， a，b， b， c， c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 ()A 12 种 B 18 种C 24 种D 36 种10. 过点(0,1)且与曲线 y x1 在点 (3,2)处的切线垂直的直线方程为 ()xyx1A 2 1 0B 2 2 0xyC x2y 2 0D 2xy 1 011. 已知 m, n 是两条不同的直线，, 是两个不同的平面，则下列命题中正确的个数为若 m / / n, m，则 n；若 m,m / / n, n / /，则；若 m,m，则/ /；若 l, ml
4、, m则.A. 1B. 2C. 3D. 412. 如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图为正方形，俯视图是腰长为2 的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）A 4B 2 2C.8D 4 23333二填空题13.设复数 z 满足 (z 2i )i 1i ，其中 i 为虚数单位，则z14.已知等比数列an ，a2, a6是函数fxx39x212x3的两个极值点，则a415.现有 3个大人， 3 个小孩站一排进行合影. 若每个小孩旁边都不能没有大人，则不同的合影方法有 _种（用数字作答）16.从抛物线 y 24x 上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为M，且 |PM|=5 ，设抛物线的焦点为 F
5、，则 MPF的面积为 _- 2 - / 6三解答题17. 已知复数 z1a2i ， z234i （ aR ， i 为虚数单位）（ 1）若 z1z2 是纯虚数，求实数a 的值；（ 2）若复数 z1z2 在复平面上对应的点在第二象限，且z14 ，求实数 a 的取值范围 .18. 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，A 1A平面 ABC，ABC为正三角形， D是 BC边的中点， AA1=AB=1.（ 1）求证：平面 AD B1平面 BB1C1C；（ 2）求二面角 B- AB1- D的余弦值 .19. 已知函数 f ( x)(a1)ln xxa.x（ 1）当 a1 时，求曲线y f (x) 在点
6、(2,f (2) 处的切线方程；（ 2）讨论 f ( x) 的单调性与极值点 .20.(1) 若 a0， b0 ，求证：ab114 ；ab(2)设 a， b， c， d 均为正数，且 abcd ，若 abcd ，求证：abcd 21. 已知椭圆 C： x2y21(ab0)的离心率为1 且经过点 P(1,3 ) .a2b222（ 1）求椭圆 C的方程；（ 2）过定点Q(2,3)的直线与椭圆C交于两点、 ，直线、的斜率为k1、 k2 ，求证：M NPM PNk1k2 为定值 .22. 如图，三棱柱-11 1 中，A1CB1 A1 ， ABAA1 ，BAA160.ABCA B C（ 1）求证： AC
7、=BC；（ 2）若平面 ABC平面 ABB1A1，且 AB=BC，求二面角 A1- CC1- B的正弦值。- 3 - / 6试卷答案1-5.ABDCA6-10:DCCAA11-12:DB13. 1014. 215.36016.1017. （ 1）依据 z1z2 = a2i 3 4i3a84a 6 i根据题意 z1 z2是纯虚数，故 3a+8=0 ，且 4a6 0故 a=8；3（ 2）依 | z1 | 4a24 16 a2122 3 a 2 3 ，根据题意 z1 z2 在复平面上对应的点在第二象限，可得3a80即a84a630综上，实数 a 的取值范围为a |23a8318. （ 1）证明：因为
8、三棱柱中 AA1平面 ABC ，所以 BB1平面 ABC ，又 BB1平面 BB1C1C ，所以平面 BB1C1C平面 ABC因为ABC 为正三角形， D 为 BC 的中点，所以 ADBC ，又平面 BB1C1C平面 ABC BC ，所以 AD平面 BB1C1C ，又 AD平面 ADB1所以平面 AB1 D平面 BB1C1C .（ 2）解：以 D 为坐标原点，DC 为 x 轴， DA 为 y 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0) ， A1 (0,3 ,1) ， C (1,0,0)， A(0,3 ,0) ， B1 (1 ,0,1)2222- 4 - / 6所以 AD(0,3 ,0) ，B1
9、D (1,0,1)22设平面 ADB1 的法向量 n1(x, y, z) 则n1AD0(x, y, z)(0,3 ,0)03 y02即2n2B1D0(x, y, z)( 1 ,0, 1)01 xz022令 z1，则 x2 得 n(2,0,1)1同理可求得平面AB1B 的法向量 n2 (3,1,0)设二面角 B AB1D 的大小为，所以 cosn1n215 .| n1 | n2 |519. 解：（ 1）当 a1时， f (x)1，则 f (2)5(x) 11，x， fx2x132所以所求切线的斜率为kf (1)1.53 ( x44故所求的切线方程为y2)，即 3x4 y40.24（ 2） yf
10、( x) 的定义域为 (0,) ，f (x)a11ax2(a1)xa(xa)( x1)xx2x2x2.当 a0 时，当 x(0,1) 时， f ( x)0 ；当 x(1,) 时， f (x)0 .所以 f( x) 在 (0,1)上单调递减，在 (1,) 上单调递增 .此时，f ( x) 的极小值点为 1.当 a0时，令 f ( x)0 ，得 xa 或 x1.（ i ）当 1 a0时， 0 a 1.当 x(0,a)(1,) 时， f ( x)0，当 x(a,1) 时， f ( x)0 .所以在和上单调递增，在上单调递减.- 5 - / 6此时，的极小值点为1，极大值点为 .（ ii ）当时，对恒成立，所以在上单调递增，无极值 .（ iii ）当时，当时，；当时， .所以在和上单调递增，在上单调递减.此时，的极小值点为，极大值点为1.20. 证明： (1) ，.5 分(2) 要证，只需证，只需证，由题设，有，故只需证，只需证，又由题设，显然成立，所以得证 10 分2122. （ 1）如图，设中点为，连接，又设 , 则，又，又，即，且，在，由三线合一可得，。（ 2）因为平面 ABC平面 , 平面平面，且，故如图建立空间直角坐标系，则，故，设面的法向量，则有，同理得：面得法向量，设所求二面角为，则，故- 6 - / 6