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1、最新资料推荐第三章平面与空间直线3.1 平面的方程1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（ 1 ）通过点M 1 (3,1, 1) 和点 M 2 (1, 1,0) 且平行于矢量 1,0,2 的平面（2 ）通过点M 1 (1, 5,1) 和 M 2 (3,2,2) 且垂直于 xoy坐标面的平面；（ 3）已知四点A(5,1,3) ， B(1,6,2)， C (5,0,4)D ( 4,0,6) 。求通过直线 AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC 平面垂直的平面。解： （ 1）M 1 M 22,2,1 ，又矢量 1,0,2 平行于所求平面，故所求的平面方程为：x32uvy1
2、2uz1u2v一般方程为： 4x 3y2z70（ 2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即 0,0,1 与所求的平面平行，又M 1M 2 2,7, 3 ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：x12uy 5 7uz 1 3u v一般方程为：7( x1)2( y5)0 ，即 7x2 y170 。（3）（）设平面通过直线AB ，且平行于直线CD ：AB 4,5, 1 ， CD 1,0,2从而的参数方程为：x54uvy15uz3u2v一般方程为：10 x9 y 5z 74 0 。（）设平面通过直线 AB ，且垂直于ABC 所在的平面AB 4,5, 1 ， ABAC 4,5, 1
3、0, 1,1 4,4,4 41,1,118最新资料推荐均与平行，所以的参数式方程为：x54uvy15uvz3uv一般方程为： 2xy3z2 0 .2.化一般方程为截距式与参数式：: x 2y z 40 .解：与三个坐标轴的交点为：( 4,0,0), (0 2,0), (0,0,4) ，所以，它的截距式方程为：xyz1.424又与所给平面方程平行的矢量为： 4,2,0, 4,0,4 ，所求平面的参数式方程为：x42uvy uz v3. 证 明 矢 量 v X ,Y, Z 平 行 与 平 面 AxByCzD0 的 充 要 条 件 为 ：AXBYCZ0 .证明：不妨设 A0 ，则平面 Ax ByCz
4、D0的参数式方程为：xDBCvAuyAAuzv故其方位矢量为：B ,1,0, C ,0,1 ，AA从而 v 平行于平面 AxByCzD0 的充要条件为：BCv ， ,1,0, ,0,1 共面AA19最新资料推荐X YZB001AC10AAX BY CZ0 .4. 已知连接两点 A(3,10,5), B(0,12, z) 的线段平行于平面 7x 4 y z 10 ，求 B 点的 z坐标 .解：AB 3,2,5z而 AB 平行于 7 x4 yz 10由题 3 知： ( 3)72 4( z 5) 0从而 z18 .5. 求下列平面的一般方程 .通过点12,1,1 和23, 2,1且分别平行于三坐标轴
5、的三个平面;过点3,2, 4 且在 x 轴和 y 轴上截距分别为2 和3 的平面 ;与平面5x y 2z 30 垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面;已知两点1 3, 1,2 ,24, 2,1 , 求通过1 且垂直于1 ,2 的平面 ;原点在所求平面上的正射影为2,9, 6;求过点13,5,1 和24,1,2 且垂直于平面x8 y3z10 的平面 .解: 平行于 x 轴的平面方程为x 2y1z11100 . 即 z10 .100同理可知平行于y 轴 , z 轴的平面的方程分别为z1 0, xy10 .设该平面的截距式方程为xyz1, 把点3,2,2423c4 代入得 c19故一般方程为 12 x
6、 8y 19 z 240 .若所求平面经过x 轴，则0,0,0为平面内一个点 ,5,1, 2和 1,0,0为所求平面的方位矢量,20最新资料推荐x0y0z0点法式方程为512 0100一般方程为2 yz0 .同理经过 y 轴 , z 轴的平面的一般方程分别为2x5z0, x5 y0 .121, 1,3 .12 垂直于平面,该平面的法向量n1,1,3, 平面通过点13,1,2,因此平面的点位式方程为x3y13 z20.化简得 xy3z20.(5)op2,9, 6 .pop4813611.oppn011 cos, cos, cos2,9,6 . cos2 ,cos9 ,cos6 .111111则该
7、平面的法式方程为296z110.:xy111111既 2x9 y6z121 0.（6）平面 x8y3z10的法向量为 n1,8,3， M 1M 21,6,1 ，点从 4,1,2x4y1z2831830 ，则 A写出平面的点位式方程为626,1611B312, C1314, D26422874 ，1111则一般方程 Ax ByCzD0, 即： 13 xy7 z370.6将下列平面的一般方程化为法式方程。1 .x2 y5z30. 2 xy10. 3 x20. 4 4x4y7 z0.解：D3.21最新资料推荐11A2B 2C 230将已知的一般方程乘上1. 得法式方程x2y5z30.30303030
8、302D 1.1 . 将 已 知 的 一 般 方 程 乘 上1 . 得 法 式 方 程221x1y10.2223 .D2.1.将已知的一般方程乘上1.得法式方程x20.4 .D0.1 .即1或1991 或91 . 得 法 式 方 程 为 4 x4 y7 z 0 或将 已 知 的 一 般 方 程 乘 上4 x4 y7 z999990.9997求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。1 .2x3 y6z350. 2 .x2 y 2z 210.解： 1 .D35.1 . 化为法式方程为2 x3 y6 z50 原点指向平面的单位法7777矢量为 u2 , 3 , 6, 它
9、的方向余弦为cos2, cos3, cos6. 原点 o 到平面777777的距离为 PD5.2 .D21.1 . 化为法式方程为 -1 x2 y2 z70 原点指向平面的单位法3333矢量为n012,2 ,cos122,它的方向余弦为,cos, cos.33333原点 o 到3平面的距离 pD7.第 20 页8已知三角形顶点A 0, 7,0 , B 2, 1,1 ,C 2,2,2 .求平行于ABC 所在的平面且与她相距为 2 各单位的平面方程。解：设 ABa, ACb. 点 A 0,7,0 . 则 a2,6,1 , b2,9,2 写出平面的点位式方程22最新资料推荐x y7z2610292设
10、一般方程 AxByCzD0.A 3.B2,C6, D140.则1 .pD2.7相距为2 个单位。则当 p4 时 D28.当 p0 时 D 0.所求平面为3x2 y6z280. 和 3x2 y6z0.9求与原点距离为6 个单位， 且在三坐标轴 ox, oy 与 oz 上的截距之比为a : b : c1:3:2的平面。解：设 ax, b3x, c2x.abc0.设平面的截距方程为xyz 1.abc即 bcxacyabzabc.又 原点到此平面的距离d6.abc6.b2c2a2 c2a2b2 x12x11a132, b, c.7777所求方程为xyz7.3210平面 xyz1 分别与三个坐标轴交于点
11、A, B, C .求ABC 的面积。abc解A( a,0 ,B(0, b,0),C (0,0, c) ABa, b,0,ACa,0, c.ABACbc, ca, ab ;ABACb2 c2c2a2a2b2. SABC =1b2c2c2 a2a2b2211设从坐标原点到平面的距离为。求证证明：由题知：1p.111111p2b2c2 .1aa2b2c21111从而有p2a22c2 .b23最新资料推荐3.2平面与点的相关位置1.计算下列点和平面间的离差和距离：（1） M (2,4,3) ，:2xy2z30 ；（2） M (1,2, 3) ，:5x3 y z40.解： 将的方程法式化，得：2x1y2
12、10 ，33z3故离差为：(M )(2(2)1423 11)33，33M 到的距离 d(M )1 .3（2）类似（ 1），可求得( M )56340，35353535M 到 的距离 d(M )0.2.求下列各点的坐标：（1）在 y 轴上且到平面22y2z20 的距离等于4 个单位的点；（2）在 z 轴上且到点 M (1, 2,0)与到平面3x2 y 6z90距离相等的点；（3）在 x 轴上且到平面 12 x16 y 15z10 和 2 x2 yz1 0 距离相等的点。解：（ 1）设要求的点为M (0, y0 ,0) 则由题意2y0249y016y05 或 7.即所求的点为（0， -5，0）及（
13、 0， 7， 0）。（2）设所求的点为(0,0, z0 ) 则由题意知：1222z02 6z0 97由此， z02 或 -82/13。24最新资料推荐故，要求的点为(0,0,2) 及 (0,0,82) 。13（3）设所求的点为( x0 ,0,0) ，由题意知：120 12x0 1253由此解得： x02 或 11/43。所求点即（ 2， 0， 0）及（ 11/43， 0， 0）。3.已知四面体的四个顶点为S(0,6,4), A(3,5,3), B( 2,11, 5), C (1, 1,4) ，计算从顶点S 向底面 ABC 所引的高。解： 地面 ABC 的方程为：2xy2z 50所以，高 h62
14、4533 。4.求中心在 C (3,5,2) 且与平面 2xy3z110 相切的球面方程。解：球面的半径为C 到平面： 2xy3z110 的距离，它为：235611282 14 ，R1414所以，要求的球面的方程为：(x 3) 2( y 5) 2(z 2) 256 .即： x2y 2z26x10 y4z 18 0 .5求通过x 轴其与点M 5,4,13 相距 8 个单位的平面方程。解：设通过 x 轴的平面为 ByCz0. 它与点 M 5,4,13相距 8 个单位，从而4B13C104BC105C 20.因此 12B35C 4B3C0.B28. 48B2C 2从而得 12B 35C0或4B3C0
15、. 于是有 B : C 35:12 或 B : C3:4 .所求平面为 35 y12z0或 3 y4 z 0.6. 求与下列各对平面距离相等的点的轨迹.25最新资料推荐 3x 6 y 2z 7 0和 4x 3y 5 0 ; 9x y 2z 14 0和9 x y 2 z 6 0 .解: 1362701:7xyz2: 1 4x3y50令 1514353x6y2z7y5x7化简整理可得 : 13x51y10z0 与 43x9 y 10 z 70 0 . 对 应 项 系 数 相 同 , 可 求D1D 21464 , 从 而 直 接 写 出 所 求 的 方D22程: 9xy2z40 .9 判别点 M （
16、 2-11）和 N （ 1 2 -3）在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，还是在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？（ 1） 1 : 3x y2 z 3 0 与 2 : x 2 y z 4 0（ 2） 1: 2 x y5z 1 0 与2 : 3x 2 y 6z 1 0解：（1）将 M（ 2-1 1）， N（ 1 2 -3）代入1 ，得：6123 03263 0则 M ，N 在1 的异侧再代入2 ，得：MN 在2 的同侧22147 014344 0MN 在相邻二面角内（ 2）将 M （ 2 -11） N（ 1 2-3）代入41519 01，得：21518 02则 MN 在1 的异侧。再代入2
17、 ，得：662113034181200则 MN 在2 的异侧26最新资料推荐MN 在对顶的二面角内10 试求由平面1 ： 2x y2z 30 与2 ： 3x 2y6z 10 所成的二面角的角平分方程，在此二面角内有点（1，2，-3）解：设 p（ xy z）为二面角的角平分面上的点，点p 到 12 的距离相等2xy2z33x2 y 6z 1 化简得5x3y32z190(1)22 122232226223xy4z240(2)把点 p 代入到1 2 上， 1020在（ 1）上取点（1800）代入1 2 ，0512 0。在（ 2）上取点（0 0-6）代入 1002 ， 12（ 2）为所求，解平面的方程
18、为：3x y4z2403.3 两平面的相关位置1.判别下列各对直线的相关位置：（1） x 2 y 4z 10与 x yz30；42（2） 2x y 2z 50 与 x 3y z 10 ；（3） 6 x 2 y 4z 50 与 9x 3 y 6z90 。11 : (2解：（ 1）1 : 2 : (4):1) ，（ 1）中的两平面平行（不重合） ；42（2）2 : ( 1) : (2)1 : 3 : ( 1) ，（ 2）中两平面相交；（3）6 : 2 : (4)9 : 3 : (6) ，（ 3）中两平面平行（不重合） 。2.分别在下列条件下确定l , m,n 的值：（ 1 ）使 (l3) x(m1
19、) y(n3) z80 和 (m3) x(n9) y (l3)z 16 0 表示同一平面；（2）使 2 xmy3z50与 lx6 y6z 2 0表示二平行平面；（3）使 lxy3z10 与 7 x2 yz0 表示二互相垂直的平面。解：（ 1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：27最新资料推荐l3m1n38m3n9l316即：m2l30n2m70l2n90从而： l713， n37。， m999（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：2m3l66所以： l4 ， m3 。（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：17l230所以： l。73.求下列两平行平面间的距离：（1） 19 x 4 y
20、8z21 0 ， 19 x4 y 8z 42 0 ；（2） 3x 6 y 2z7 0 ， 3x 6 y 2 z 14 0 。解：（ 1）将所给的方程化为：19 x4 y8 z1021212119 x4 y8 z20212121所以两平面间的距离为： 2-1=1 。（2）同（ 1）可求得两平行平面间的距离为1+2=3。4.求下列各组平面所成的角：（1） xy 11 0 ， 3x8 0 ；（2） 2x 3y 6 z12 0， x 2y 2z 7 0 。解：（ 1）设 1 ： xy110 ， 2 ： 3x80c o s (1 ,2 )32232(1 ,2 )或3。44（2）设1 ： 2x 3y 6z12 0 ，2 ： x 2 y 2z 7 028最新资料推荐cos(1 ,261282 )7321cos 1 8cos 1 8( 1 ,2 )或( 1 ,2 )。21215. 求下列平面的方程 :(1) 通过点 M 1 0,0,1 和 M 2 3,0,0 且与坐标面 xOy 成 60 0 角的平面 ;(2) 过 z 轴且与平面2xy5z70 成 600 角的平面 .解 设所求平面的方程为xyz3b1.1101011又 xoy 面的方程为 z=0, 所以 cos603b1212212