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1、2017-2018 学年莆田第六中学高一下期中考数学科试卷试卷满分 150分考试时间120 分钟第卷（选择题共 60分）一、选择题 ( 本大题共有12 小题 , 每小题 5分, 共 60分 , 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题意 )1. sin120=（）A 1B1C3D322222. 如图所示，在矩形ABCD 中， AB2a， ADa ，图中阴影部分是以AB 为直径的半圆，现在向矩形 ABCD 内随机撒 4000 粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是（）A 1000B 2000C 3000D 40003. 如果
2、2 弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）A sin2B 2C 2sin1D tan1sin14. 袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，设事件 P ：取出的都是黑球；事件 Q ：取出的都是白球；事件 R ：取出的球中至少有一个黑球则下列结论正确的是（）A P 与 R 互斥B 任何两个均互斥C Q 和 R 互斥D任何两个均不互斥5. 执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为 ()A30B32C 62D 646. 总体有编号为 01,02, ,19,20 的 20 个个体组成。利用下面的随机数表选取6 个个体，选取方法是从随机数表第1 行的第 5 列DCAB开始
3、k=1,s=0s = s+2 kk= k+1否k4?是输出 s结束和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6 个个体的编号为（）- 1 - / 107816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A 14B 07C 04D 017. 某初级中学有学生270 人，其中七年级108 人，八、九年级各81 人，现要利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按七、八、九年级依次统一编号为1，2， 270；使用系统抽样时，将
4、学生统一随机编号1，2， 270，并将整个编号依次分为10 段. 如果抽得号码有下列四种情况： 7， 34， 61， 88， 115， 142，169， 196，223， 250； 5， 9， 100， 107， 111， 121，180， 195， 200，265； 11， 38，65， 92， 119 ， 146， 173， 200， 227， 254； 30， 57，84， 111，138， 165， 192， 219， 246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A、都不能为系统抽样B、都不能为分层抽样C、都可能为系统抽样D、都可能为分层抽样8. 现行普通高中学生在高一升高二
5、时面临着选文理科的问题，某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是正确的（）A样本中的女生数量少于男生数量；B样本中有理科意愿的学生数量少于有文科意愿的学生数量；C样本中的男生偏爱理科；D样本中的女生偏爱文科9. 下列不等式中，正确的是（）A. tan 13tan13B. sin5cos457C. sin(1) sin10D. cos7cos255- 2 - / 1010. 已知 sin()3 ，则 sin(3) 的值为 () 424A.3B3C.1D1222211. 甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠4 小时，假定它们在一昼夜
6、的时间段中随机到达, 试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率（）A、 25B、 11C、 9D、 73636161612. 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是 1 ,25则 sin 2cos2的值等于（）A 1B24C7D 7i=1252525S=0第卷（非选择题共 90 分）WHILE i=5二、填空题 ( 本大题共有4 个小题 , 每题 5 分 , 共 20 分)S=S+i13. 已知tan5i=i+1是第四象限角，则 sin；WEND12PRIN
7、T S=“”； S14. 执行如图所示的程序，输出的结果是_ _；END15. 已知sin()sin(2)2 ，则 2sin2sincos =_ ；cos(3cos(2)216. 已知样本： x1 、 x2 、 x3 、 x4 、 x5N ，该样本的平均数为7，样本的方差为4，且样本的数据互不相同，则样本数据中的最大值是.三解答题：本大题共6 小题， 17 题 10 分 ,18 22 题各 12 分。17. （本小题满分10 分）y已知 f (x) 1 2sin(2 x).4（ 1）O, 3x画出函数 f ( x)在 x上的简图；44（ 2）求 f (x) 的单调递增区间 .- 3 - / 1
8、018. （本小题满分 12 分）已知函数 f (x)x24xp2, ，正数 p 在集合 M 上的随机取值 .2(1)设 MxZ 0x5，求方程f (x) 0 有实数根的概率；(2)设 MxR 0x5，求 f ( x)1恒成立的概率 .19. （本小题满分 12 分）某种产品的广告费支出 x 与销售额 y ( 单位：万元）具有较强的相关性， 且两者之间有如下对应数据 :x24568y2836525678（ 1）求y关于 x 的线性回归方程?；bxya（ 2）根据（ 1）中的线性回归方程，当广告费支出为10 万元时，预测销售额是多少？参考数据：52525xi145,yi14004,xi yi14
9、20.i1i 1i 1?中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：附：回归方程 ybxann? i 1xixyiyxi yinxyi 1，bn2nxixxi2nx2i 1i 1? ?a y bx .20. （本小题满分 12 分）2015 年我国将加快阶梯水价推行，原则是“保基本、建机制、促节约” ，其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变为响应国家政策，制定合理的阶梯用水- 4 - / 10价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5 户和 20 户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如下（单位：吨）：（ 1）在郊区的这5 户居民中随机抽取2 户，求其年人均用
10、水量都不超过30 吨的概率；（ 2）设该城市郊区和城区的居民户数比为1: 5 ，现将年人均用水量不超过30 吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一梯次的居民用户用水价格保持不变试根据样本估计总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策21. （本小题满分 12 分）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：现对某城市30 天的空气质量进行监测，获得30 个 API 数据（每个数据均不同） ，统计绘得频率分布直方图如右下图 .（ 1）请由频率分布直方图来估计这30 天 API 的平均值；（ 2）若从获得的“空气质量优”和“空气质量中重度污染”的数据中随机选取2 个数据进
11、行复查，求“空气质量优”和“空气质量中重度污染”数据恰均被选中的概率；（ 3）假如企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位： 元）与空气质量指数API （记为）的0,0100关系式为 S4400,100200，4.8600,200300若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天的经济损失S 不超过 600 元的概率- 5 - / 1022. （本小题满分 12 分）已知函数f ( x)Asinx ( A0,03), 且满足条件：f ( x)f (x)0 ；f 1.4(1) 求 f (x) 的表达式；(2) 当 x0,4时，证明 : f ( x) 2x0 ；(3) 若函数 g(x)f 2
12、 ( x)af ( x)a(a0) ，讨论 g ( x) 在 0,2018上的零点个数 .- 6 - / 10莆田第六中学2017-2018( 下 ) 高一期中考试数学试题评分标准一、选择题： CCBCAC DCDBBD二、填空题：5； S=15；3 ； 10.132三解答题：17. 解：（ 1）如图： ( 列表、描点、连线可得) 5 分（ 2）由 2k2x2k ,k Z 化简得， k3k , k Z2x2488f ( x) 的单调递增区间为3，k（k） 10k8Z8分18. 解：（ 1） p 的全部取值为 1， 2， 3， 4， 5，即有 5 个基本事件， 1 分记事件 A方程 f ( x)
13、0有实数根2分则16 4 p200p4 ， 42分满足方程 f ( x)0 有实数根的p 为 1， 2， 3， 4.因此事件 A 含有 4 个基本事件， 5分4，6所以 P A分5p1恒成立， 知 p（ 2）由 f (x)(x 2)2221 p 2 922分正数 p 的所有可能取值构成集合xR 0x5，满足 f ( x)1恒成立的正数p 构成集合x 2x5，- 7 - / 10记 Bf ( x)1恒成立，10分（ ） 523P B05 125分19. 解：（ 1） x245685，1 分5y2836525678550 ，2分55?xixyiyxi yinxy55 50i 1i11420b525
14、2145528.5xix2nx5xii1i15 分?ybx508.557.57分a因此所求回归直线方程为y? 8.5 x7.5 8分（法二：利用前半个公式求解相应给分）(2)当 x10时， y?8.5107.5 92.5万元 10 分答：当广告费支出为 10 万元时，预测销售额大约为92.5万元 . 12分【说明：没有答题和估计的扣两分】20 解：（1）从 5 户郊区居民用户中随机抽取2 户，其年人均用水量构成的所有基本事件是：（ 19,25 ），（19,28 ），（ 19,32 ），（ 19,34 ），（ 25,28 ），（ 25,32 ），（ 25,34 ），（ 28,32 ），（ 28,
15、34 ），（ 32,34 ）共 10 个3分其中年人均用水量都不超过30 吨的基本事件是: （19,25 ），（ 19,28 ），（ 25,28 ）共 3 个。设“从 5 户郊区居民用户中随机抽取2 户，其年人均用水量都不超过30 吨”的事件为A，则所求的概率为 P( A)3610分（ 2）设该城市郊区的居民用户数为a ，则其城区的居民用户数为 5a依题意，该城市年人均用水量不超过 30 吨的居民用户的百分率为：3a17 5a97故此方案符合国家“保基本”政策 12 分5206a12080%API 的平均值为21. 解：（ 1）该城市这30 天空气质量指数- 8 - / 10（25275 51
16、25 9175 72254275 3） 301503分（ 2）空气质量优有 2 个数据，记为 A， B；空气质量中重度污染有 3 个数据 C， D，E；从中选取两个有 AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE, 共有 10 种可能，空气质量优和空气质量中重度污染数据恰均被选中有 6 种可能，记“空气质量优和空气质量中重度污染数据恰均被63选中”为事件M，则 P( M );7 分105（ 3）设“在本月30 天中随机抽取一天，该天经济损失不超过600元”为事件 N，分三种情况：当 0100时，s 0，此时其概率为25730309716当 100200时，由 s600, 得 10
17、0200 ，此时其概率为3030当 200300时，由 s600,得 200250，此时其概率为443030综上由互斥情况可得716427P( N )30303030279答：估计这天的经济损失S 不超过600 元的概率. 12 分301022. 解：（ 1）因为 f (x)Asinx 是奇函数，图像关于（0， 0）成中心对称， 1 分又因为 f (x)f (x)0 ，图像关于 (,0) 成中心对称，2 分2则 k Tk2，即2k( k Z) ，且 03 ，故2 ，32分（另： f (x)f ( x)sin(x)sin(x)sinx ，则2 ）又 f1 ，即 Asin(2)1，故 A1，综上f
18、 ( x)sin 2x 。 444分（ 2）当 x0,， 2x(0,) ，设 2x(0,) ，即证 sin，5422分如图：在单位圆中，由三角函数线知sinMP,AP ， 6 分则在 Rt AMP 中， APAPMP ，7 分即 sin，所以 f ( x)2x0 。（另：也可以利用S扇形 OAPS OAP 证明！）8 分（ 3）设 sin 2xt 1,1 , g (t )t 2ata , 注意到 g ( 1)10 ， g(0)a0 ，- 9 - / 10当时，得，即，则有2019 个零点； 9 分当时，令得，则有个零点；10 分当时，令得，则有个零点；11 分当时，令得，则有个零点；12 分- 10 - / 10