高中数学必修2空间几何典型例题及讲解.docx

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1、最新资料推荐数学必修 2 第一章一、学习目标：1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图与直观图，能识别上述三视图与直观图所表示的立体模型。二、重点、难点：重点： 空间几何体中的棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；空间几何体的三视图与直观图的画法。难点： 柱、锥、台、球结构特征的概括；识别三视图所表示的空间几何体 ;几何体的侧面展开图，计算组合体的表面积和体积。三、考点分析：三视图是新课程改革中出现的内容， 是新课程高考的热点之一， 几乎每年都考， 同

2、学们要予以足够的重视。 在高考中经常以选择、填空题的形式出现，属于基础或中档题，但也要关注三视图以提供信息为目的， 出现在解答题中。 这部分知识主要考查学生的空间想象能力与计算求解能力。1. 多面体棱柱、棱锥、棱台2. 旋转体圆柱、圆锥、圆台、球3. 三视图（ 1）正视图、侧视图、俯视图（ 2）三种视图间的关系4. 直观图水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法4. 多面体的面积和体积公式名称侧面积（ S 侧 ）全面积（ S 全）棱棱柱直截面周长 lS 侧+2S 底柱直棱柱ch棱棱锥各侧面面积之和1S 侧 +S 底锥正棱锥ch 2棱棱台各侧面面积之和1S 侧 +S 上底 +S 下底台正棱台(c+

3、c )h 2体 积（ V ）S 底 h=S 直截面 hS 底h1S 底 h31h(S 上底 +S 下底3+S上底S下底 )表中 S 表示面积， c、 c 分别表示上、下底面的周长， h 表示高度， h表示斜高， l 表示侧棱长。5. 旋转体的面积和体积公式1最新资料推荐名称圆柱S 侧2 rlS 全2 r(l+r)V22rh（即 rl）圆锥圆台球 rl (r1+r 2)l r(l+r)l+ 2(r 22 (r+r1 21+r2)4R12122433rh3 h(r1 +r1r2 +r 2)3R表中 l、 h 分别表示母线长、高， r 表示圆柱、圆锥与球冠的底面半径， r1、r2 分别表示圆台上、下

4、底面的半径， R 表示半径。知识点一柱、锥、台、球的结构特征例 1. 下列叙述正确的是（）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台。有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。直角三角形绕其一条边旋转得到的旋转体是圆锥。直角梯形以它的一条垂直于两底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成的旋转体叫圆台。用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分是圆台。通过圆锥侧面上一点，有无数条母线。以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成球体。A. B. C. D. 思路分析 ：遇到概念判断问题，一定要在理解透彻相关概

5、念的基础上，仔细分析，如果判断它是正确的，必须能紧扣定义， 而不是模棱两可地去作判断； 如果判断它是错误的，只需找到一个反例即可。解答过程 ：如图所示，由图（1）可知是错误的；由图（2）可知是错误的；由图（ 3）可知是错误的；由图（ 4）可知是错误的。因为通过圆锥侧面上一点和圆锥的顶点只能连一条射线，所以“通过圆锥侧面上一点，有无数条母线。 ”是错误的，即是不正确的。以半圆的直径所在直线为旋转轴， 半圆旋转一周形成的应该是球面， 半圆面旋转一周形成的才是球体。所以是错误的。所以只有是正确的。故应选D。解题后的思考 ：在作判断的时候没有严格的根据定义进行多角度分析， 而是只抓住定义中的某一点就作

6、出判断，容易导致错误。知识点二组合体2最新资料推荐例 2. 如图，下列组合体是由哪几种简单几何体组成的？解答过程：（ 1）由一个三棱锥和一个四棱锥组成，为左右结构（ 2）由两个三棱锥组成，为上下结构（ 3）由圆锥和圆台组成，为上下结构知识点三柱、锥的侧面展开图例 3. 小明在一个正方体盒子的每个面都写有一个字母，分别是：A 、B 、C、 D、 E、 F，其平面展开图如图所示，那么在该正方体盒子中，和“A ”相对的面所写的字母是哪一个？思路分析 ：在每个格子中标明你所想象的面的位置，如将A 格标明“上”，将 B 格标明“前”等等。解答过程： 为字母“ E”解题后的思考：本题突出考查了学生将正方体

7、各面展开图复原为正方体的空间想象能力。例 4. 如图所示，为一个封闭的立方体，在它的六个面上标出A ，B ，C，D，E，F 这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A ， B， C 对面的字母分别是（）A. D ，E， FB. F， D， EC. E， F， DD. E ， D， F思路分析 ：本题处理方法比较灵活，要将几个图结合起来一起分析。解答过程 ：由（ 1）（2）两个图知， A 与 B， C，D 相邻，结合第（3）个图知， B， C与 F 共顶点，所以A 的对面为F，同理 B， C 的对面分别为D， E，故选择B。解题后的思考：本题考查推理能力以及空间想

8、象能力。也可先结合图（1）（ 3）进行判断。3最新资料推荐例 5. 用长和宽分别是 3 和 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱的底面半径？思路分析 ：要注意哪条边是圆柱的母线，哪条边是圆柱底面的圆周。解答过程 ：设圆柱底面圆的半径为r ，由题意可知矩形长为底面圆的周长时， 3解得 r32 r ，解得 r1。矩形宽为底面圆的周长时，。故圆柱的底面半径为1 。222解题后的思考 ：本题学生经常会丢解，即主观认为只有图中所示的情况，即以3底面周长，而忽视了它也可作为母线这种情况。知识点四旋转体中的有关计算例 6. 一个圆台的母线长12cm4 cm和 25cm，求：，两底面面积分别为22（ 1）圆台的高

9、；（ 2）截得此圆台的圆锥的母线长。思路分析 ：通过作截得此圆台的圆锥的轴截面，构造直角三角形与相似三角形求解。解答过程 ：（ 1）作 A1HOAr 24r2R 22 5R5AH3A1 H122323 15（ 2）VA1O1 与VA O 相似VA1A1O1VAAOVA20解题后的思考：通过构造旋转体的轴截面，将立体问题转化为平面问题。2 r ，3 或2作为例 7. 已知球的两个平行截面的面积分别为5和 8，且距离为3，求这个球的半径。思路分析 ：两截面的相互位置可能出现两种情况，一种是在球心O 的同侧，另一种是4最新资料推荐在球心 O 的异侧。解答过程 ：（ 1）当两截面在球心O 的同侧时，如

10、图所示，设这两个截面的半径分别为 r1, r2 ，球心 O 到截面的距离分别为 d1 , d 2 ，球的半径为 R。r125 ,r228 , r125, r228。又 R 2r12d12r22d 22 ，d12d22r22r123 ，即 (d1d 2 )(d1d2 ) 3 。又 d1 d2 3 ，d1d 23,d12,解得d1d21,d21.又 d 2 0, 这种情况不成立。（ 2）当两截面在球心O 的异侧时，d1d 2 3 ，由上述解法可知 (d1d2 )( d1 d 2 )3，d1d23,d12,解得d1d 21,d21.Rr12d125 4 3 。综上所述，这个球的半径为3。解题后的思考

11、 ：同学们要注意不要只对同侧的情况进行讨论， 而忽略对另一种位置关系的讨论。知识点五画几何体的三视图例 8. 画出如图所示的三棱柱的三视图。思路分析 ：在正视图中， 中间的竖线看不到，应画成虚线；侧视图是从左侧看三棱柱投射到竖直的正对着的平面上的正投影，所以不是三棱柱的一个侧面，而应该是过底面正三角形的一条高线的矩形。解答过程 ：5最新资料推荐解题后的思考 ：画三视图的时候要做到“长对正、宽相等、高平齐” ，还要注意实线与虚线的区别。知识点六三视图中的推测问题例 9. 根据下列三视图，说出各立体图形的形状。思路分析 ：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。正视图反映物体的主要形状特

12、征， 主要体现物体的长和高， 不反映物体的宽。 而俯视图和正视图共同反映物体的长相等。侧视图和俯视图共同反映物体的宽相等。据此就不难得出该几何体的形状。解答过程 ：（ 1）圆台；（ 2）正四棱锥； （3）螺帽。解题后的思考 ：三视图的画法里要注意“长对正” ，“高平齐”，“宽相等”，另外，还要熟悉基本空间几何体的三视图。七、直观图的还原与计算问题例 10. 已知 AB是C水平放置的边长为a 的正三角形ABC 的斜二测水平直观图，那么AB的C面积为 _。6最新资料推荐思路分析 ：先根据题意，画出直观图，然后根据AB直C观图的边长及夹角求解。解答过程 ：如图甲、乙所示的实际图与直观图。A B AB

13、 a, O C1 OC3 a 。 在 图 乙 中 作 CD A B于 D， 则24C D2 O C6 a 。 所 以 S A B C1 A B C D1a6 a6 a2 。 故 填28228166 a2 。16解题后的思考 ：该题求直观图的面积， 因此应在直观图中求解， 需先求出直观图的底和高，然后用三角形面积公式求解。本题旨在考查同学们对直观图画法的掌握情况。例 11. 如图所示，正方形 OABC的边长为 1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 _。思路分析 ：先根据题意，由直观图画出原图形解答过程 ：逆用斜二测画法的规则画出原图如下图所示，由BC/OA 且 BC=O

14、A ，易知OABC 为平行四边形。在上图中，易求OB=2 ，所以 OB= 2 2 。又 OA=1 ，所以在Rt BOA 中， AB( 2 2 ) 2123 。故原图形的周长是2(31)8(cm) ，应填 8cm 。解题后的思考 ：该题考查的是直观图与原图形之间的关系，及逆用斜二测画法的规则。例 12：已知正三棱台 （上、下底是正三角形， 上底面的中心在下底面的投影是下面底中心）7最新资料推荐的上、下底面边长分别是2cm 与 4cm，侧棱长是6 cm，试求该三棱台的体积。思路分析： 利用棱台的体积计算公式，求出棱台的高，上、下底面的面积，代入公式即可。解答过程： 如图所示， O 、 O 是上、下

15、底面的中心，连结OO 、 O B 、 OB ，在平面 BOO B 内作 B EOB 于 E 。A B C 是边长为2 的等边三角形，O 是中心，O B22323323，43，则 BEOBO B23同理 OB33。在 RtB EB 中， BB236 ， BE，3B E42 ，即棱台高为42cm。33所以三棱台的体积为V棱台1423 16343 16347 14（ cm3）。3344443解题后的思考：将求体积的立体问题转化为平面问题求解，是立体几何中的常用方法。例 13：一个球内有相距 9cm 的两个平行截面， 它们的面积分别为 49 cm2 和 400 cm2，求球的表面积和体积。思路分析：

16、求球的表面积和体积关键是求出球的半径，可考虑球的轴截面。解答过程：（ 1）当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面。由球的截面性质，知 AO1 / BO2 ，且 O1 、 O2 分别为两截面圆的圆心，则 OO1 AO1 ， OO2 BO2 。设球的半径为R 。O2 B 249，O2 B7 。同理，O1 A2400，O1 A20 。8最新资料推荐设 OO1x ，则 OO2x9 。在 Rt OO1 A 中， R 2x 220 2 ，在 Rt OO2 B 中， R 22x 97 2 ，x 220 272x2，解得 x15 。9R 2x220 2252 ，R 25 。4 R 362500S球4 R2

17、2500（ cm2）， V球（ cm3），33球的表面积为 2500cm2，体积为 62500cm3。3（ 2）当截面位于球心O 的两侧时，如图所示为球的轴截面。由球的截面性质，知O1 A / O2 B ，且 O1 、 O2 分别为两截面圆的圆心，则OO1AO1 ， OO2 O2 B 。设球的半径为 R 。O2 B 249 ， O2 B 7 。同理，O1 A2400，O1 A20 。设 O1Ox ，则 OO29 x 。在 Rt OO1 A 中， R 2x2400 。在 Rt OO2 B 中， R 29 x 249 ，x24009x 249 ，解得 x15 ，不合题意，舍去。综上所述，球的表面积

18、为2500cm2，体积为 62500cm3。3解题后的思考： 解题时要注意， 球的截面可能位于球心的同侧，也可能位于球心的两侧。例 14：求半径为 R 的球内接正方体的表面积。思路分析：正方体内接球时， 球与正方体关系如图 （ 1），过不相邻的两条棱的平面截球，所得截面如图（ 2），只有深刻理解其相互关系，才能画出正确的截面图进行解题。x B1 D为正方体的对角线， 那么221）所示，设正方体棱长为3x2R ，解答过程：如图（，9最新资料推荐x 2 3 R ，32S正方体表面积62 3 R8R2 。3即正方体的表面积为8R 2 。解题后的思考： 组合体问题，尤其是球与其他几何体的组合问题，一直

19、是高考中的热点，所以同学们在平时的解题中应注意观察，有关球的组合体中各图形的位置关系。10最新资料推荐（答题时间： 60 分钟）一、选择题：1. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A. B. C. D. 2. 将正三棱柱 （底面为正三角形， 侧面为矩形的棱柱） 截去三个角 （如图甲所示， A 、B、C 分别是 GHI 三边的中点） 得到几何体如图乙所示， 则该几何体按如图所示方向的侧视图为（ ）3. 如果用表示一个立方体， 用表示两个立方体叠加， 用表示三个立方体叠加，那么下图中由7 个正方体叠加而成的几何体的正视图是（）4. 下列说法正确的是（）A. 互相垂直的两条直线的

20、直观图一定是互相垂直的两条直线B. 梯形的直观图可能是平行四边形C. 矩形的直观图可能是梯形11最新资料推荐D. 正方形的直观图可能是平行四边形5. 已知正三棱锥V ABC 的正视图、俯视图如图所示，其中VA=4 ， AC= 23 ，则该三棱锥得到侧视图的面积为（）A. 9B. 6C.313D.3926. 若正方体的八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（）A. 3B. 223C.D.32二、填空题：6. 一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为1 的正三角形，则此三角形的面积是_7. 圆台的两底面半径分别为 2,5 ，母线长是 3 10 ，则其轴截面面

21、积是三、解答题：8. 画出下列几何体的三视图：9. 如下图所示， 梯形 A1 B1 C1 D1 是一平面图形 ABCD 的直观图。若 A1D1 / O1 y ，A1B1 / C1 D1 ，2A1B1C1 D12 ， A1 D1O1D11 。请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积.312最新资料推荐一、选择题：1. D解析：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D。2. A3. B4. D解析：梯形的上、下底互相平行，但其在直观图中的长度不相等。5. C解析：由三视图与原几何体之间的关系可知此几何体的侧视图不是一个等腰三角形，且此三角形的底边长等于正三角形ABC 的

22、高线 CF 的长，其高的长度等于原几何体的高。由所给数据易解得原几何体的高为13 ， CF=3 ，所以侧视图的面积为S1313313 ，故选 C。226. A 解析：如图所示，正方体的 A 、 C 、 D 、 B 的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为 a ，则正四面体边长为 2a 。正方体表面积S16a2 ，S24322 ，正四面体表面积为2a2 3a6a 24S13 。S22 3a 2二、填空题：66.27. 63解析：圆台的高=(3 10) 2(52)29 ，故其轴截面面积=63三、解答题：13最新资料推荐8. 解：这两个几何体的三视图如下图所示.9. 解：如图，建立平面直角坐标系xOy，在 x 轴上截取 ODO1 D11 ； OCO1C12 。在过点 D 的 y 轴的平行线上截取DA2D1 A12 。在过点 A 的 x 轴的平行线上截取ABA1 B12 。连接 BC ，即可得到原图形。由作法可知，原四边形 ABCD 是直角梯形，上、下底的长度分别为 AB 2, CD 3 ，直角腰的长度为 AD 2 ，所以面积为23。S2 5214