《平面向量知识点.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面向量知识点.docx（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.向量得有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向得量;向量得大小叫做向量得长度(或称模 )平面向量就是自由向量零向量长度为0 得向量 ;其方向就是任意得记作 0单位向量长度等于 1 个单位得向量非零向量 a 得单位向量为 错误 !平行向量方向相同或相反得非零向量共线向量方向相同或相反得非零向量又叫做共线向量0 与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同得向量两向量只有相等或不等 ,不能比较大小相反向量长度相等且方向相反得向量0 得相反向量为 02、向量得线性运算向量运算定义法则 (或几何意义 )运算律(1）交换律：加法求两个向量与得运算a bb+、(2) 结合律 :(a b) c=a（
2、b c)、减法求 a 与 b 得相反向量 b 得a =a+(- b）与得运算叫做 与得差三角形法则( )a =|a|；(a)=（ )a;求实数 与向量 a 得积得数乘( )当 0 时 ,a 得方向与 a 得方运算向相同 ;当 时 ,a 得方向与 a( )a=a ;（ a+b） 得方向相反 ;当 =0 时 ,=0、共线向量定理向量 （ a）与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数,使 b a、。 平面向量基本定理如果 e 、 e2就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任意向量a,有且只有一对实数1 、 ,使 a e+2e2、其中，不共线得向量e1、 e2 叫做表示这一平面内所有向量得一
3、组基底。5.平面向量得坐标运算(）向量加法、减法、数乘及向量得模设 a (x ， 1 )， b (x2,y2),则 +( x1+x2, 1+y ),-b（ x x,y1 y2)， a (x1， 1）， |a 错误 ! 、(2) 向量坐标得求法若向量得起点就是坐标原点，则终点坐标即为向量得坐标设 A（ ,y1） ,B(x,2），则错误 ! =(2 x1， y2-y1） ,|错误 ! |=错误 ! 、6。 平面向量共线得坐标表示设 a (x1,y1)， b（ x,y ),其中 b 0、 ab? x1y2 - y1=、7。 平面向量得数量积已知两个非零向量a 与，它们得夹角为,则数量 |a|b|co
4、 叫做a 与 b 得数量积（或内积）,记作a a |b|c s、规定：零向量与任一向量得数量积为_ _、两个非零向量 a 与 b 垂直得充要条件就是ab 0，两个非零向量a 与 b 平行得充要条件就是ab=|a| |、8 平面向量数量积得几何意义数量积 ab 等于 a 得长度 |a|与 b 在 a 得方向上得投影 |b os 得乘积 .9.平面向量数量积得重要性质（ 1） ea a=a| os ;(2）非零向量 a， , b? ab 0;(3) 当与 b 同向时,ab=a|b;当 a 与反向时, 2|=错误 ! ;b |a|, a| ,ab(4） cos |a|b|;（ 5)|ab|_ _|a
5、|b、10。 平面向量数量积满足得运算律(1) b(交换律 );(2）（ a）b (b） a（ ） (为实数 )；（3）（+） = c+c、1 。平面向量数量积有关性质得坐标表示设向量 a（ x1,1),b=(x2,y2), 则b=x1x2y1y,由此得到(）若 a=（ x， y),则 a 2 x2+2 或 a =错误 ! 、(2) 设 A（ x ， 1 ),（ x ， y2 ),则 、 两点间得距离 A|=错误 ! =错误 ! 、（ 3)设两个非零向量 a,， a (x1，1 ),（ x ,y2), 则 b? x1x2+1y2=、 向量在平面几何中得应用(1）用向量解决常见平面几何问题得技巧
6、:问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理 ? a b? x1y2-x2y 0,其中 a（ 1,y1),b（ x2， y2）122ab? 0? xx +y y = ,垂直问题数量积得运算性质（ , )，b=（ x ,y） ,其中 ,b 为非零向量夹角问题数量积得定义cos =错误 ! (为向量 a,b 得夹角 )长度问题数量积得定义| |= r(a2） 错误 ! ，其中 a=(x,y）平面向量单元测试卷一、选择题 ：( 本题共 10 小题 , 每小题 4 分 , 共 4分 )1。下列命题中得假命题就是(）A、得长度相等 ; ?B、零向量与任何向量都共线;C、只有零向量得模等于零
7、; ?、共线得单位向量都相等。2。 若 a 是任一非零向量， b 是单位向量； | a | b |； a b ； | a |0 ； | b |1；A、B、?C、 ?D、。 设 a ，b ，c 是任意三个平面向量， 命题甲： abc0 ；命题乙：把 a ，b ， c 首尾相接能围成一个三角形。则命题甲就是命题乙得(）A、充分不必要条件?B、必要不充分条件C、充要条件 ?D、非充分也非必要条件4。A、?B、C、?D、5。A、?B、?D、6。如图 1，ABC中， D、E、分别就是边 B、 CA与 B 得中点， G就是ABC中得重心 , 则下列各等式中不成立得就是 (）A、?、 ?、 D、7。设a（，
8、），b（， 1），且ab，则锐角（）2 1 cos1 cos4A、?B、?C、?D、8A、? 、 3?C、? D、 29.A、?B、?C、 ?D、10。 设 a 与 b 都是非零向量，若 a 在 b 方向的投影为 3 ， b 在 a 方向的投影为 4，则 a的模与 b得模之比值为 (）A、?B、?C、?D、二、填空题（本题共4 小题，每题 5 分 , 共 0 分)11.113。 设 a( x3，x3y4)，若 a 与 AB 相等，且 A、B两点的坐标分别为 (1，2)和 (3，2) ，则 =。 4。三、解答题：本题共4 小题 , 每题 1分，共 0 分 . 已知记、（ 1）求得周期与最小值；（
9、 2) 若按平移得到 , 求向量、 6。已知、就是两个不共线得向量 , 且=（ o ,sin ）, = （ cos,sin ） ( ) 求证 : 与垂直；（ ) 若 （）， =，且 ，求 si 、17. 设 ae12 e2 ，b3 e12 e2 ，其中 e1e2 且 e1 e1e2 e21.(1 ）计算 8. 已知向量 错误 ! =（ cos错误 !x， sin 错误 !x）， 错误 ! ( c 错误 !, in 错误 !) ，其中 x 0, 错误 !?( ）求 错误 !错误 !及 错误 !+错误 !| ；（ 2）若( x)= 错误 ! 错误 ! -2 错误 ! 错误 !| 得最小值为 - 错
10、误 !, 求 得值参考答案一、 1。D2。B?。 B4?。 C5。A6。7 。 A8.A?9。D10?。 A二、 11。 0 ，2? 2. ?3。? 4。15三、 15。16. 解 :(1) =（4os,3s n）， ( cos， i ) | = =1又 (+) ( )= 2=| | = 0 (+ ） （-)（ 2) + 2 =( ) 2 2 + 2 2= 2 2 =又 =（cos）=0sin ()=snin()cs=17。解：（）2（222| a b |2 e14 e2）4 e116 e1 e2 16 e21又 e1e2 ， e1 e2e2 e21 .e1 e20 .| e1 | | e2
11、| 1 .| a b |220| a b |20 2 5 .（ ） （k a b）（a 3 b）k a2 （）221 3k a b 3 b又a225（ e1 2 e2 ）b2（3 e1 2 e2213）a b（ e12 e2 ）（3 e12 e2 ）3 4 1由（k ab）（ a3 b） 0即 5k （1 3k） 3 13 0得 k 19 .解:(1)错误 !错误 ! cos错误 !xcos 错误 ! s 错误 !xsin 错误 !os ，错误!错误 ! 错误 !cos1 .=2|=2?() f （ ) 错误 !错误 ! |错误 ! 错误 !|= os2x- cosx2 x -4 sx=2( cos - )2-+2co2-1注意到 x 0,（ ,2)，故 x ,1,若 , 当osx1 时 , f ( x）取最小值 4, 令 14=- 错误 !且 ，无解综上 : 错误 ! 为所求、