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1、第 1 页 浅论数学直觉思维及培养 特征码 YtMhQMghbcoejCSNSgsy 中学数学教学大纲(试验修订本)将培养学生的三大能力之一“ 逻辑思维能力“改为“思维能力“，虽然只是去掉两个字，概念的 内涵却更加丰富，人们在教育的实践中实现了认识上的转变。 在注重逻辑思维能力培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、 想象力的培养。特别是直觉思维能力的培养由于长期得不到重 视，学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解，认为数 学是枯燥乏味的；同时对数学的学习也缺乏取得成功的必要的 信心，从而丧失数学学习的兴趣。过多的注重逻辑思维能力的 培养，不利于思维能力的整体发展。培养直觉思维能力是社会 发
2、展的需要，是适应新时期社会对人才的需求。 一、数学直觉概念的界定 简单的说，数学直觉是具有意识的人脑对数学对象(结构及 其关系)的某种直接的领悟和洞察。 第 2 页 对于直觉作以下说明： (1)直觉与直观、直感的区别 直观与直感都是以真实的事物为对象，通过各种感觉器官 直接获得的感觉或感知。例如等腰三角形的两个底角相等，两 个角相等的三角形是等腰三角形等概念、性质的界定并没有一 个严格的证明，只是一种直观形象的感知。而直觉的研究对象 则是抽象的数学结构及其关系。庞加莱说：“直觉不必建立在感 觉明白之上感觉不久便会变的无能为力。例如，我们仍无法 想象千角形，但我们能够通过直觉一般地思考多角形，多
3、角形 把千角形作为一个特例包括进来。“由此可见直觉是一种深层次 的心理活动，没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考 的背景。正如迪瓦多内所说：“这些富有创造性的科学家与众不 同的地方，在于他们对研究的对象有一个活全生的构想和深刻 的了解，这些构想和了解结合起来，就是所谓直觉，因 为它适用的对象，一般说来，在我们的感官世界中是看不见的。 “ (2)直觉与逻辑的关系 从思维方式上来看，思维可以分为逻辑思维和直觉思维。 第 3 页 长期以来人们刻意的把两者分离开来，其实这是一种误解，逻 辑思维与直觉思维从来就不是割离的。有一种观点认为逻辑重 于演绎，而直观重于分析，从侧重角度来看，此话不无道理，
4、 但侧重并不等于完全，数学逻辑中是否会有直觉成分?数学直觉 是否具有逻辑性?比如在日常生活中有许多说不清道不明的东西， 人们对各种事件作出判断与猜想离不开直觉，甚至可以说直觉 无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界的反映，它是人们 对生活现象与世界运行的秩序直觉的体现，再以数学的形式将 思考的理性过程格式化。数学最初的概念都是基于直觉，数学 在一定程度上就是在问题解决中得到发展的，问题解决也离不 开直觉，下面我们就以数学问题的证明为例，来考察直觉在证 明过程中所起的作用。 一个数学证明可以分解为许多基本运算或许多“演绎推理元 素“，一个成功的数学证明是这些基本运算或“演绎推理元素“的 一个成功
5、的组合，仿佛是一条从出发点到目的地的通道，一个 个基本运算和“演绎推理元素“就是这条通道的一个个路段，当 一个成功的证明摆在我们面前开始，逻辑可以帮助我们确信沿 着这条路必定能顺利的到达目的地，但是逻辑却不能告诉我们， 为什么这些路径的选取与这样的组合可以构成一条通道。事实 上，出发不久就会遇上叉路口，也就是遇上了正确选择构成通 道的路段的问题。庞加莱认为，即使能复写出一个成功的数学 第 4 页 证明，但不知道是什么东西造成了证明的一致性，这些 元素安置的顺序比元素本身更加重要。笛卡尔认为在数学推理 中的每一步，直觉力都是不可缺少的。就好似我们平时打篮球， 要靠球感一样，在快速运动中来不及去作
6、逻辑判断，动作只是 下意识的，而下意识的动作正是在平时训练产生的一种直觉。 在教育过程中，老师由于把证明过程过分的严格化、程序 化。学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳，直觉的光环被掩盖住 了，而把成功往往归功于逻辑的功劳，对自己的直觉反而不觉 得。学生的内在潜能没有被激发出来，学习的兴趣没有被调动 起来，得不到思维的真正乐趣。 中国青年报曾报道，“约 30的初中生学习了平面几何推理之后，丧失了对数学学习的 兴趣“，这种现象应该引起数学教育者的重视与反思。 二、直觉思维的主要特点 直觉思维具有自由性、灵活性、自发性、偶然性、不可靠 性等特点，从培养直觉思维的必要性来看，笔者以为直觉思维 有以下三个主
7、要特点： (1)简约性 第 5 页 直觉思维是对思维对象从整体上考察，调动自己的全部知 识经验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设，猜想或判 断，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了“跳跃式 “的形式。它是一瞬间的思维火花，是长期积累上的一种升华， 是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化，但是它却清 晰的触及到事物的“本质“。 (2)创造性 现代社会需要创造性的人才，我国的教材由于长期以来借 鉴国外的经验，过多的注重培养逻辑思维，培养的人才大多数 习惯于按部就班、墨守成规，缺乏创造能力和开拓精神。直觉 思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节的推敲，是 思维的大手笔。正是由于
8、思维的无意识性，它的想象才是丰富 的，发散的，使人的认知结构向外无限扩展，因而具有反常规 律的独创性。 伊恩斯图加特说：“直觉是真正的数学家赖以生存的东西 “，许多重大的发现都是基于直觉。欧几里得几何学的五个公设 都是基于直觉，从而建立起欧几里得几何学这栋辉煌的大厦； 哈密顿在散步的路上进发了构造四元素的火花；阿基米德在浴 室里找到了辨别王冠真假的方法；凯库勒发现苯分了环状结构 第 6 页 更是一个直觉思维的成功典范。 (3)自信力 学生对数学产生兴趣的原因有两种，一种是教师的人格魅 力，其二是来自数学本身的魅力。不可否认情感的重要作用， 但笔者的观点是，兴趣更多来自数学本身。成功可以培养一个
9、 人的自信，直觉发现伴随着很强的“自信心“。相比其它的物资 奖励和情感激励，这种自信更稳定、更持久。当一个问题不用 通过逻辑证明的形式而是通过自己的直觉获得，那么成功带给 他的震撼是巨大的，内心将会产生一种强大的学习钻研动力， 从而更加相信自己的能力。 高斯在小学时就能解决问题“1+2+ +99+100?“，这 是基于他对数的敏感性的超常把握，这对他一生的成功产生了 不可磨灭的影响。而现在的中学生极少具有直觉意识，对有限 的直觉也半信半疑，不能从整体上驾驭问题，也就无法形成自 信。 三、直觉思维的培养 一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维 能力的高低。徐利治教授指出：“数学直觉是
10、可以后天培养的， 第 7 页 实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。“数学直觉是可以通 过训练提高的。 (!)扎实的基础是产生直觉的源泉 直觉不是靠“机遇“，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不 是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。若没有深 厚的功底，是不会进发出思维的火花的。阿提雅说：“一旦你真 正感到弄懂一样东西，而且你通过大量例子以及通过与其它东 两的联系取得了处理那个问题的足够多的经验对此你就会产 生一种关于正在发展的过程是怎么回事以及什么结论应该是正 确的直觉。“阿达玛曾风趣的说：“难道一只猴了也能应机遇而 打印成整部美国宪法吗?“ (2)渗透数学的哲学观点及审美观念 直觉的产
11、生是基于对研究对象整体的把握，而哲学观点有 利于高屋建邻的把握事物的本质。这些哲学观点包括数学中普 遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。例如 （a+b）2= a2+2ab-b2 ，即使没有学过完全平方公式，也可以 运用对称的观点判断结论的真伪。 第 8 页 美感和美的意识是数学直觉的本质，提高审美能力有利于 培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识，审 美能力越强，则数学直觉能力也越强。狄拉克于 1931 年从数学 对称的角度考虑，大胆的提出了反物质的假说，他认为真空中 的反电子就是正电子。他还对麦克斯韦方程组提出质疑，他曾 经说，如果一个物理方程在数学上看上去不美，那么
12、这个方程 的正确性是可疑的。 (3)重视解题教学 教学中选择适当的题目类型，有利于培养，考察学生的直 觉思维。 例如选择题，由于只要求从四个选择支中挑选出来，省略 解题过程，容许合理的猜想，有利于直觉思维的发展。实施开 放性问题教学，也是培养直觉思维的有效方法。开放性问题的 条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因，由因索果， 提出猜想，由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。 (4)设置直觉思维的意境和动机诱导 这就要求教师转变教学观念，把主动权还给学生。对于学 第 9 页 生的大胆设想给予充分肯定，对其合理成分及时给予鼓励，爱 护、扶植学生的自发性直觉思维，以免挫伤学生直觉思维的积
13、极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导，解除学生 心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。 “跟着感觉走“是教师经常讲的一句话，其实这句话里已蕴 涵着直觉思维的萌芽，只不过没有把它上升为一种思维观念。 教师应该把直觉思维冠冕堂皇的在课堂教学中明确的提出，制 定相应的活动策略，从整体上分析问题的特征；重视数学思维 方法的教学，诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等， 对渗透直觉观念与思维能力的发展大有稗益。 四、结束语 直觉思维与逻辑思维同等重要，偏离任何一方都会制约一 个人思维能力的发展，伊思斯图尔特曾经说过这样一句话，“ 数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，受控 制的精神和富有灵感的逻辑。“受控制的精神和富有美感的逻辑 正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。