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1、线性代数期末试题及参考答案线性代数期末试题及参考答案一、单项选择题 每小题 3 分，共 15 分）1下列矩阵中， ）不是初等矩阵。001100100100010000020012010(C001(D0012设向量组1,2 ,3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是）。A） 12 , 23 , 31B） 1, 2 , 31C） 1 , 2 ,2 13 2D） 2 , 3 , 2 233设 A 为 n 阶方阵，且 A2A5E0 。则 ( A2E ) 1AE(BEA(C3(D34设A 为 mn 矩阵，则有）。A）若 mn ，则Axb 有无穷多解；B）若 mn ，则 Ax0 有非零解，且基础解系含有n
2、m 个线性无关解向量；C）若 A 有 n 阶子式不为零，则Axb 有唯一解；D）若 A 有 n 阶子式不为零，则Ax0 仅有零解。5若 n 阶矩阵 A，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则 ）A）A 与 B 相似B） A B ，但 |A-B|=0C）A=BA是n阶方阵，R ，则有AA 。 ）1 ，B是同阶方阵，且 AB0 ，则 ( AB) 1B 1 A 1。4若 A, B 均为 n 阶方阵，则当 A B 时， A, B 一定不相似。(5维向量组1 , 2 , 3 , 4 线性相关，则1 , 2 , 3 也线性相关。 ）n三、填空题 每小题 4 分，共 20 分）012On 1
3、1 n0。2 A 为 3 阶矩阵，且满足 A3, 则 A 1=_， 3A*。1021112234423向量组1，5，7，0是线性=2，则 a=。四、计算下列各题 每小题 9 分，共 45 分）。121A 3421已知 A+B=AB ，且122，求矩阵 B。2. 设(1, 1, 1,1),( 1,1,1,1)，而 AT，求 An 。线性代数期末试题及参考答案x1x2ax31x1x22x31xaxxa23. 已知方程组123有无穷多解，求 a 以及方程组的通解。4. 求一个正交变换将二次型化成标准型f (x, x, x ) x22x 22x 24 x x24 x x8x2x31231231135
4、A， B 为 4 阶方阵， AB+2B=0，矩阵 B 的秩为 2且 | E+A |=|2 E- A|=0 。1）求矩阵 A 的特征值； 2）A 是否可相似对角化？为什么？；3）求| A+3E| 。 fgMAHkwHrE五证明题 每题 5 分，共 10 分）。1若 A 是对称矩阵， B 是反对称矩阵，ABBA 是否为对称矩阵？证明你的结论。2设 A 为 m n 矩阵，且的秩 R( A) 为 n，判断 AT A 是否为正定阵？证明你的结论。线性代数试题解答一、1F） An A ）2T）100000A010B0103F）。如反例：000，001。4T）相似矩阵行列式值相同）5。选D。A错误，因为 m
5、n ，不能保证 R( A)R( A | b) ；B 错误， Ax0 的基4础解系含有 nR A 个解向量； C 错误，因为有可能 R( A) n R( A |b)n 1，Ax b 无解； D 正确，因为 R( A)n 。fgMAHkwHrE5 选 A 。 A 正 确 ， 因 为 它们 可 对 角化 ， 存 在 可逆 矩 阵 P, Q ， 使 得PAP 1diag ( 1,2 ,L ,n ) QBQ 1，因此A, B都相似于同一个对角矩阵。n 1三、 11n! 按第一列展开）122 3 ； 35 3A= 33 A ）3 相关 因为向量个数大于向量维数）。1 ,2 , 4 。因为32 12 ，A
6、| 124 |0 。4 1234 Tk 2024 T 。因为 R A3 ，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为232 1 ，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。fgMAHkwHrE5 a 6 R A2A0)四、1解法一： ABABAE BAB( AE ) 1 A 。将 A E 与 A 组成一个矩阵 ( AE | A) ，用初等行变换求 (E | ( AE) 1 A) 。021121100001332342332342A E | A=1 2 1 1 22(r1r3 )12 1 1 2 2100001100001032341011222r2 3r1 , r3r1
7、0 2 1 1 2 1r2r3 0 2 1 1 2 1uuuuuuuuuuuuuruuuuur线性代数期末试题及参考答案100001100001011222011222r32r2001325r3001325uuuuuuuruuur100001001010103B103r2r3 0 01 3 25。故3 25。uuuuur解法二： ABABAE BAB( AE ) 1 A 。021101001( A E) 13 3 21 13B ( A E) 1 A10 3121326，因此325 。1111AT111111112解：1111， A24A ，AnT )(T )L (T )( T )( T )L
8、( T) Tn 1Tn 1(44A 。3解法一：由方程组有无穷多解，得R( A)R( A | b)3 ，因此其系数行列式11a| A |11201a1。即 a1或 a4 。当 a1时，该方程组的增广矩阵10112111101302( A | b)112100001111于是 R( A)R( A | b)23 ，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个13T11 0 0T基础解系 221 时，方程，原方程组的一个特解，故 a线性代数期末试题及参考答案T13T1 0 01k22组有无穷多解，其通解为，fgMAHkwHrE11411141( A | b)11 21022 0当 a4 时 增 广 矩
9、阵1411600015，R( A)2R( A | b)3，此时方程组无解。解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。1 1a111a11 1a1( A | b)1121022 a0022 a01a1a20a 11 aa2 1001 (1 a)(4 a)a2 12由 于 该 方 程 组 有 无 穷 多 解 ， 得 R( A)R(A | b) 3 。 因 此1 (1a)(4a)a21 0，即 a1 。求通解的方法与解法一相同。24解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵122122A22 4| AE |224(2) 2 (7)242，242因此得到其特征值为122 ， 37 。再
10、求特征值的特征向量。解方程组 ( A2E) x 0 ，得对应于特征值为122 的两个线性无关的特TT征向量 1210 ， 22 01。解 方 程 组 ( A 7E)x0 得 对 应 于 特 征 值 为 37 的 一 个 特 征 向 量122T3。TT正 交 化 为 p1T再 将12 1 0， 22 0 12 1 0，线性代数期末试题及参考答案24Tp251。52T4最后将 p12 1 0Tp21， 31T，552 2 单位化后组成2525151535452515305233的 矩 阵 即 为 所 求 的 正 交 变 换 矩 阵， 其 标 准 形 为f2 y122 y227 y32 。5 解 ：
11、 1 ） 由 E A2E A 0 知 -1 ， 2 为 A 的 特 征 值 。AB2B0A 2E B0 ，故 -2 为 A 的特征值，又 B 的秩为 2，即特征值 -2有两个线性无关的特征向量，故A 的特征值为 -1，2，-2，-2。 fgMAHkwHrE2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2 各有一个特征向量，对应于特征值-2 有两个线性无关的特征向量，所以A 有四个线性无关的特征向量，故A 可相似对角化。 fgMAHkwHrE3） A3E 的特征值为 2，5， 1， 1。故 A3E =10。五、 1 ABBA 为对称矩阵。证明：ABBA TAB TBA T = BT ATAT BT = BA A B = AB BA ，所以 ABBA 为对称矩阵。2 AT A 为正定矩阵。证明： 由 AT AT0 ，由AT A 知 AT A 为对称矩阵 。 对任 意的 n 维向 量R A n 得 AT AT A = A20 ，0，由定义知 AT A 是正定矩阵。申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。