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1、线性代数B 期末试卷及答案2008 2009 学年第二学期线性代数B试卷2009 年 6 月 22 日一二三四五六总分得 分一、填空题（共6 小题，每小题 3分，满分 18 分）10001.0100.设 A01，则 A 0003082. A 为 n 阶方阵 , AA T= E 且 A0,则 A E.1223设方阵 A 4t3, B 为三阶非零矩阵，且 AB=O，则 t.3114. 设向量组 1 , 2 , , m 线性无关，向量 不能由它们线性表示， 则向量组1 ,2 ,m ,的秩为.5设 A 为实对称阵，且 |A|0，则二次型 f =x T A x 化为 f = yT A-1 y 的线性变换
2、是 x= 设 R3 的两 组基 为 a1T1,0, 1 ， a3 1,0,11,1,1 ， a2；1 (1,2,1, ) T， 22,3,4 ,3 3,4,3 ，则由基 a1, a2 , a3 到基 1 ,2 , 3的过渡矩阵为.得 分二、单项选择题（共6 小题，每小题3 分，满分 18 分）1.设 Dn 为 n 阶行列式，则 Dn0 的必要条件是 .( A) Dn 中有两行元素对应成比例；( B) Dn 中各行元素之和为零；(C) Dn 中有一行元素全为零；(D) 以 Dn 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解2若向量组， ，线性无关， ，线性相关，则(A)必可由， ，线性表示；.线性代数B
3、 期末试卷及答案(B) 必可由 ， ，线性表示；(C) 必可由 ， ，线性表示；(D) 必可由 ， ，线性表示 .设 3 阶方阵 A 有特征值 0， 1， 1，其对应的特征向量为P1，2， 1P3123AP .P ，令 P(P ， P ，P )，则 P100000(A)010；(B)010；000001000100(C)010；(D)000000011设 .1，2，3 线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) 1，2， 3 - 1；(B) 1， 1+2，1+3；(C)1+2，2+3，3+1；(D)1-2， 2-3， 3-1.若矩阵 A3 4 有一个 3 阶子式不为 0，则 A 的秩( A )
4、 =.(A)1；(B)2；(C)3；(D)4实二次型 fxTAx 为正定的充分必要条件是 .(A)A 的特征值全大于零；(B)A 的负惯性指数为零；(C)|A| 0 ；(D)R(A) = n .得 分5 小题，每道题8 分，满分 40 分）三、解答题（共1b1001. 求 D11b1b20的值 .011 b2b30011b3 . 求向量组1 (1,1,1,4) ,2(2,1,3,5), 3(1,1,3,2) , 4 ( 3,1,5,6) 的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.100 . 设 A、P 均为 3 阶矩阵，且 PT AP=010 , 若 P=(1,2,3),000Q
5、=(1+2,2,3),求 QTAQ线性代数B 期末试卷及答案4设 A 是 n 阶实对称矩阵， A 22AO ，若 R( A) k (0 kn) ，求A 3E .2205. 设矩阵 A= 82a 相似于对角矩阵，求 a.006x1a1 x2a12 x3a13，得 分四、（本题满分 10 分） 对线性方程组x1a2 x2a22 x3a23，x1a3 x2a32 x3a33，x1a4 x2a42x3a43 .(1) 若 a1 , a2 , a3 , a4 两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2)若a13b ,a2a4b(b0)， 且 已 知 方 程 的 两 个 解a1(1,1,1)T ,2 ( 1
6、,1,1)T ，试给出方程组的通解得 分五、（本题满分 8 分）设二次曲面方程axy2xz 2byz 1（ a 0 ）x经正交变换 yQ，化成 222 21 ，求 a 、 b 的值及正交矩z阵 Q.得 分六、（本题满分6 分）设 A 为 n 阶实矩阵， 为 A 的对应于实特征值 的特征向量， 为 AT 的对应于实特征值 的特征向量，且 ，证明 与 正交2008 2009 学年第二学期线性代数B试卷参考答案2009 年 6 月 22 日一二三四五六总分得 分一、填空题（共6 小题，每小题 3分，满分 18 分）线性代数B 期末试卷及答案10001.01002.设 A01，则 A 0003082.
7、A 为 n 阶方阵 ,AA T= E 且 A 0,则 AE0 .设方阵 A1224t3 ,B为三阶非零矩阵，且AB=O，则t3311-3 .4. 设向量组 1 , 2 , , m 线性无关，向量 不能由它们线性表示， 则向量组1 ,2 ,m ,的秩为m+1.5设 A 为实对称阵，且 |A| 0，则二次型 f =x TA x 化为 f =yTA-1 y 的线性变换是 x=_ A 1 y _ 设3 的两组基为aT1,0, 1 ， a1,0,1；R1,1,1 ， a2311(1,2,1,)T ,22,3,4 ,3 3,4,3，则由基 a1, a2 , a3 到基 1 , 2 ,3的过渡234矩阵 P
8、=010101得 分二、单项选择题（共6 小题，每小题3 分，满分 18 分）1.设 D n 为 n 阶行列式，则 D n 0 的必要条件是 D .(A)D n 中有两行元素对应成比例；(B)D n 中各行元素之和为零；(C) D n 中有一行元素全为零； (D) 以 D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解2若向量组， ，线性无关， ，(A)必可由， ，线性表示 . (B)线性相关，则 必可由， ，C.线性表示 .(C)必可由， ，线性表示 . (D)必可由， ，线性表示 .线性代数 B 期末试卷及答案设 3 阶方阵 A 有特征值0， 1，1，其对应的特征向量为P1， P2 ，P3，令
9、P( P1 ，P2，P3) ，则 P1 AP B .100000000100(A)010；(B)010 ；(C)010；(D)000000001000011设，线性无关，则下列向量组线性相关的是D 123（A ）1，2，3 - 1；（B）1，1+2，1+3；（C）， ，；（D） ， ，-1.1+22+33+11-22-33若矩阵 A34 有一个 3 阶子式不为 0，则 C.( A )=2；（ C）( A )=3；（D）( A )=4（ A） ( A )=1；（B）实二次型 fx Ax 为正定的充分必要条件是 A (A)A 的特征值全大于零；(B)A 的负惯性指数为零；(C)|A| 0 ；(D)
10、R(A) = n.得 分三、解答题（共5 小题，每道题 8 分，满分 40 分）1b10011 b1b201. 求 D11 b2的值0b30011 b31b1001b1001b10001b2001b2001 b20解： D1 1 b2b3001b30011.0b3001 1 b3001 1 b30001 . 求向量组1(1,1,1,4) ,2(2,1,3,5),3(1, 1,3, 2) ,4 ( 3,1,5,6) 的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.解：极大无关组1 ,2 ，32 2 31 ，42 21 .线性代数B 期末试卷及答案100 . 设 A、P 均为 3 阶矩阵，
11、且 PT AP=010 , 若0001231223TP=(,),Q=(+,),求 Q AQ解：由于100100Q=(1 2 2312,31 10P 1 1 0 ,+, )= (,)001001于是 QT AQ=100T100110100P 1 1 0A P 1 1 00 10 PT AP 1 10001001001001110100100210010010110110 .0010000010004设 A 是 n 阶实对称矩阵， A 22AO，若 R( A)k (0kn) ，求A3E .解 :由 A 22 A O 知 ,A 的特征值 -2 或0, 又 R( A) k (0k n) , 且 A2O
12、是 n 阶实对称矩阵 , 则 A 2，故( k个-2)0O0A3E3n k 2205. 设矩阵 A= 82a 相似于对角矩阵，求 a.006线性代数B 期末试卷及答案解： 由|A-E|=0，得 A 的三个特征值 1=2=6，3= -2.由于 A 相似于对角矩阵， R（ A-6E） =1，即42021084a 00a ，000000显然，当 a=0 时， R（ A-6E）=1， A 的二重特征值 6 对应两个线性无关的特征向量x1a1x2a12 x3a13，得 分x ax2a2 x3a3，四、（本题满分 10 分） 对线性方程组1222xaxa2xa3，313233xaxa2 xa3 .1424
13、34(1) 若 a1 , a2 , a3 , a4 两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2) 若 a1a3b ,a2 a4b (b0) ， 且 已 知 方 程 的 两 个 解1(1,1, 1)T ,2(1,1,1)T ，试给出方程组的通解解：（ 1）因为1a1a12a131a2a22a23( a2a1 )(a3a1 )(a3a2 )(a4 a1 )( a4 a2 )(a4 a3 ) 0 ，1a3a32a331 a4 a42 a34故 R( AMb)R( A) ，无解（ 2） R( A)2 ， n 3 ，故通解21xk( )k01,(kR) 21121得 分五、（本题满分8 分） 设二次曲面的
14、方程axy2xz2byz1 ）线性代数B 期末试卷及答案xa 0 经正交变换yQ，化成22221 ，求 a 、 b 的值及z正交矩阵 Q.0a12a0b，由 AE 0, A2E0知 a 2, b1解：设 A21b0111111当1 时 ， A E111 000 ，1 (1,1,0) t ，1110002 (1,1,2)T101当2 时， A 2E 0113(1,1,1)T .000111263111故正交阵 Q6.23021得 分63六、（本题满分 6 分）设 A 为 n 阶实矩阵， 为 A 的对应于实特征值 的特征向量，为 AT 的对应于实特征值 的特征向量，且 ，证明 与 正交TTTT证
15、：依题意得 A=， A =，将 A=的两边转置得， A =，TTTTTT在上式的两边右乘得，A =，即 =，亦即（ -）=0，T由于 ，所以 =0，故 与 正交线性代数B 期末试卷及答案庄子云： “ 人生天地之间，若白驹过隙，忽然而已。”是呀，春秋置换，日月交替，这从指尖悄然划过的时光，没有一点声响，没有一刻停留，仿佛眨眼的功夫，半生已过。人活在世上，就像暂时寄宿于尘世，当生命的列车驶到终点，情愿也罢，不情愿也罢，微笑也罢，苦笑也罢，都不得不向生命挥手作别。我们无法挽住时光的脚步，无法改变人生的宿命。但我们可以拿起生活的画笔，把自己的人生涂抹成色彩靓丽的颜色。生命如此短暂，岂容随意挥霍！只有在
16、该辛勤耕耘的时候播洒汗水，一程风雨后，人生的筐篓里才能装满硕果。就算是烟花划过天空，也要留下短暂的绚烂。只有让这仅有一次的生命丰盈充实，才不枉来尘世走一遭。雁过留声，人过留名，这一趟人生旅程，总该留下点儿什么！生活是柴米油盐的平淡，也是行色匆匆的奔波。一粥一饭来之不易，一丝一缕物力维艰。前行的路上，有风也有雨。有时候，风雨扑面而来，打在脸上，很疼，可是，我们不能向生活低头认输，咬牙抹去脸上的雨水，还有泪水，甩开脚步，接着向前。我们需要呈现最好的自己给世界，需要许诺最好的生活给家人。所以，生活再累，不能后退。即使生活赐予我们一杯不加糖的苦咖啡，皱一皱眉头，也要饮下。人生是一场跋涉，也是一场选择。
17、我们能抵达哪里，能看到什么样的风景，能成为什么样的人，都在于我们的选择。线性代数B 期末试卷及答案如果我们选择面朝大海，朝着阳光的方向挥手微笑，我们的世界必会收获一片春暖花开。如果我们选择小桥流水，在不动声色的日子里种篱修菊，我们的世界必会收获一隅静谧恬淡。选择临风起舞，我们就是岁月的勇者；选择临阵脱逃，我们就是生活的懦夫。没有淌不过去的河，就看我们如何摆渡。没有爬不过去的山，就看我们何时启程。德国哲学家尼采说：“ 每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。”让我们打开朝着晨光的那扇窗，迎阳光进来，在每一个日出东海的日子，无论是鲜衣怒马少年时，还是宠辱不惊中年时，都活出自己的明媚和精彩。时间会带来惊喜，只要我们不忘记为什么出发，不忘记以梦为马，岁月一定会对我们和颜悦色，前方也一定会有意想不到的惊喜。人生忽如寄，生活多苦辛。短暂的生命旅程，别辜负时光，别辜负自己。愿我们每一个人自律、阳光、勤奋，活成自己喜欢的模样，活成一束光，线性代数B 期末试卷及答案