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1、.关于素数有无穷多个的几个证明构造法：1.欧几里得证法：证：假设素数只有有限个，设为q1,q2,.q n，考虑 p=q 1q2.q n+1。显然， p 不能被 q1,q2,.q n 整除。故存在两种情况：p 为素数，或p 有除 q1,q2,.q n 以外的其它素因子。 无论何种情况， 都说明素数不止有限个。假设错误，所以素数有无穷多个5. |2.设 p1 ,.,p n 是 n 个两两不同的素数。再设Ar 是其中任意取定的 r 个素数的乘积。证明：任一pj(1 jn) 都不能整除p1 .p n /Ar+A r;由此推出素数有无穷多个。证：因为pj 若不是 Ar 的因子，必然是p1 .p n /A
2、 r 的因子；或者， pj 若是 Ar 的因子，必然不是p1 .p n/A r 的因子。因此，p1 .p n /Ar+A r 或者是素数，或者除 p1,.,p n 之外有其它素因子。无论何种情况，都说明素数不止有限个。假设错误，所以素数有无穷多个。3.级数法：假若素数只有有限个p1s 证明：对任意正整数N必有,.,p .N 111.(111(1)n 1 np1ps。由此推出素数有无穷多个。证：.N 111.(111（p1).(ps)(1)p1 1ps 1n 1 np1ps（ 1-11 ).(1 1 1 )p1ps(111.1 ).(11.1 )p1p12p1psps1( 因为任意正整数都可以表
3、示成素数或素数的乘积）n 1 n故上式成立。因 为 级 数1递 增 ， 趋 于 正 无 穷 大 ， 由 上 式n 1 nNn 11(11 ) 1.(11 ) 1np1ps可知：素数有无穷多个。 （否则，上式右侧为常值）4.Fermat数法：设 n0,F n= 22 n +1. 再设 mn. 证明：若 d1, 且 d|F n,则 d 不整除Fm.由此推出素数有无穷多个。证：设 2m/2n =r,2 n=p 则当 mn时，必有 Fn| 22m-1=( 22n+1)(p r-1 -p r-2 +.-1)=( 22n+1)r+1)q=F m-2.( 1)k 1 pr k =( 22nk 1由条件可得： d|F m-2, 又 d1, 且 d|F n,故 d3.则 d 不整除 Fm.当 m1,d不整除 Am .由此推出素数有无穷多个。证：当 mn 时必有 An|A m-1. 方法同上。综上所述：以上证明可以分为两类：第一类： 1.2.3. 同样用到了反证法，构造法。首先假设素数有有限个，通过构造数列，论证矛盾。第二类： 4.5. 用到了构造法，直接证明法。通过构造数列，证明素数有无穷多个。.