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1、数学竟赛培训资料 (理工 )第六讲曲线积分（一）内容要点及重要方法提示1.第一型 (对弧长 )曲线积分 . 弧微分 dsdx 2dy 2dz2dl .注意无方向问题 ,一般计算程序 : 画出积分路径的图形;将路径用参数式表示 ;表 dl 为参变量的微分式后化成定积分计算 .(1) 化成参变量的定积分计算 .例 6.1.设 c0 为常数x2y 2cz,L:y.求 L 上从原点到点 A(x0 , y0 , z0 ) 的弧长 .x tan czz,sinz,弧微分 d2 z cd , 因此所求弧长解 . L 的参数方程是 :cosxczcycz czzs4cz zz02z0）（sdscz0 13c.
2、0例 6.2.计算均匀密度的球面x 2y2z2a 2 (a0) 在第一卦限部分的边界曲线的重心坐标.解 .边界曲线的三段弧分别有参数方程:x=a cos, y=a sin, z=0,0 2; x=a cos , y=0, z=asin,0 2; x= 0, y= a cos, z=asin ,0 2 .2曲线周长s=3a 2,及 sx0(2) 第一型曲线积分的对称性用法a cos ad2a cos ad , 于是重心坐标 x y z34a .0.例 6.3.计算积分 I=d ,其中 : (22)22(22),a0 .ylLxyaxyL解 .用极坐标 , L: r 4a 2 r 2 (cos 2
3、sin 2)r 2a 2 cos2.根据对称性得积分I=44r 2r( )2 d4a2 (122 ) .r sin0例 6.4.设 L 是顺时针方向椭圆x2y21,周长为 l ,则( xyx22)ds =.(2001天津赛 )44 yL2y 21x24 y 24, 根据对称性得积分 =4l .解 . x42.第二型 (对坐标 )曲线积分 .PdxQdyRdzFdlCC注意有方向问题,一般计算方法有:化成参变量的定积分计算;应用格林公式或斯托克斯公式;利用与路径无关条件计算 .(1) 化成参变量的定积分计算 .例 6.5.设 L 为正向圆周x2y22在第一象限中的部分,则曲线积分xdy 2 yd
4、x=.L解 . L: x2 cos , y2 sin,: 0 2 . 于是有积分 =3 2 .例 6.6.设 C 是从球面 x 2y2z 2a2上任一点到球面 x2y 2z2b 2上任一点的任一光1 / 5滑曲线 (a0,b0),计算积分 I=r 3 (xdx ydy zdz) ,其中 rx 2y 2z2.Lb3r dr 51 (b5a5 ) .解 . rdr=x dx+ y dy+ zdz , I= ra(2) 格林公式的应用 (注意条件 ) .当 L不闭合时 ,应添加光滑曲线使其闭合后再用格林公式.例 6.7.设 L 是分段光滑的简单闭曲线, (2,0) 、( 2,0)两点不在 L 上 .
5、试就 L 的不同情形分别计算如下曲线积分的值:y22y2 d2x22 x2 d .(1991 上海竞赛 )222IL(2 x)y( 2 x )yx(2 x)y( 2 x )yy解 .令 A(2,0) ,B(2,0) , L 包围的平面区域内部为D ,记G D L, P1y, P2y2x,Q2( 2x), P P1P2 ,Q Q1 Q2 .( 2 x) 2y 2( 2 x) 2y 2 , Q1 ( 2 x ) 2 y2( 2 x ) 2y2P( 2 x) 2y 2Q1 ,P( 2 x) 2y 2Q2 .则 1( 2 x)2y22x22y22yy( 2 x)x、B 均为 G 的外点 ,根据格林公式
6、有I= 0 .(1) A(2) A 为 G 的内点 , B 为 G 的外点 ,则以 A 为中心作半径r 充分小的闭圆盘E 含于 D 内 ,记 E 的正向边界为 C ,有I=CC( QxyP )dCPdxQdy0P1dx Q1 dyP2 dx Q2 dyLDECC= P1dx Q1dy, 且 C :x= 2+r cos , y=r sin,0 0 上的向量 A (x, y)=2xy ( x 4y2 ) i x2 ( x4y 2 ) j 为某二元函数 u(x, y)的梯度 ,并求 u(x, y) . (1998研)解 .令 P(x, y)=2xy (x 4y 2 ) , Q( x, y)x2 (
7、x4y 2 ) ,由 QxPy解得 = 1 .然后有( x, y)Carctan y2 C.u(x, y)=P( x, y)dx Q( x, y)dy(1,0)x(5) 曲线积分的证明题 .例 6.11.设 P(x, y), Q(x, y)具有连续的偏导数, 且对以任意点x0 , y0 为圆心 ,以任意正数 r 为半径的上半圆 L:cos ,sin(0), 恒有( ,) d( , )d 0.x x0ry y0rP x y x Q x y yL证明 :(,)0,Q( x, y )0 .(2004天津竞赛)xP x y证 .记上半圆直径为AB, 取 AB+L为逆时针方向 ,其包围的区域为D,由格林
8、公式与积分中值定理ABABLLABL(QxPy )dxdy( QxPy ) M2 r 2 , M D,且Dx0r x0 r , x0r , 于是ABP( x, y0 ) dx P( , y0 ) 2r ,x0 r( QxPy ) M2 r2P(, y0 ),令 r0得 : lim P(, y0 )0, P( x0 , y0 )0.由 (x0 , y0 ) 的任意性x0知 P(x, y) 0,且 QxM0,Qx ( x0 , y0 )0, Qx0 .例 6.12.设函数 (y)具有连续导数 ,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上 ,曲线积分( y)d x2xydy的值恒为同一常数 .L2 x
9、2y4(1) 证明 :对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线C,有 C( y) dx2 xydy0;2 x2y4(2) 求函数 (y) 的表达式 . (2005 研 )解 . (1)设 C 是半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 ,在 C 上任取两点 M、N, 围绕原点作闭曲线 (如图 )进行积分即得证明 .(2) 由 (1) ,在半平面 x0 内积分与路径无关 ,得QPy ,( y)2 y, ( y) y44 ( y) y35,( y)y22.x2 yC, C 0, ( y)y例 6.13.设在上半平面D= ( x, y)| y0 内 , 函数 f(x, y)具有连续偏导数 , 且
10、对任意的 t0 都有f(tx, ty)= t2 f (x, y).证明 : 对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有Lyf (x, y)dxxf ( x, y)dy0.(2006 研)证 .0( , )( , )2 ( , )( , )( , ) 0.又Ly yf x yxxf x yf x yyf 2 x yxf 1 x yf(tx, ty)= t2 f (x, y)t 2 f (tx , ty )f ( x, y),对 t 求导后 ,令 t=1,即可得结果 .3.曲线积分的应用题 .3 / 5例 6.14.若悬链线 yach ax 上每一点的密度与该点的纵坐标成反比,且在点 (0
11、,a)的密度等于 b.试求曲线在横坐标 0 到 a 的点之间弧段C 的质量 m .解 .由条件知曲线上点(x, y)处的密度为 ab y,于是aba ab2a12xm= Cy ds0 y1 ( y )dxab0ach ax1 sha dxab.例 6.15.质点 P 在力 F 作用下从点A(1,2)沿着直径 AB 的半圆周 ( 见图 )运动到 B(3,4) , F 的大小等于点 P(x, y)与原点间的距离 ,方向垂直于线段OP 且与 y轴正向夹角为锐角.求变力 F 所作的功 W .解 . F=yi+xj,令 L 是所述 AB 弧 : x22 cos , y32 sin, :434 .于是W=
12、F dlLydx xdy 2( -1) .L4.两类曲线积分的联系 .PdxQdyRdz( P cosQ cosRcos)ds,LL其中 cos , cos , cos为有向曲线L 的正向切线的方向余弦.（二）习题6.1.填空题 :设当 x 0 时 , I nydxxdy2 (其中 C为有向圆周 x2y2n为同阶无穷小 ,C ( x2y2xy)12 )与aa则 n=. (2002 北京竞赛 )6.2.设曲线 是平面 x+y+z= 1与球面 x2y 2z21的交线 ,试求积分( x y2 ) ds.6.3.设 L 是平面区域 D :0 x , 0 y , 的正向边界 .证明 :(1) xesin
13、 y dyye sin x dxxe sin y dyyesin xdx .(2) xesin y dyye sin x dx2 2 .LLLxdyydx6.4.计算曲线积分I=L 4x 2 y2, 其中 L 是以点 (1, 0)为中心 , 为半径的圆周 (R1), 取逆时针方向 .6.5. I=(esin yb( x y)dx(e cos yax)dy,其中a, b为正的常数,L 为从点(2a, 0)求xxAL沿曲线 y2ax x2到点 O(0, 0)的弧 . (1999研 )6.6.设二元函数 u(x, y)在有界闭区域D 上可微 ,在 D 的边界曲线上u( x, y)=0,并满足u ux
14、y= u(x, y),求 u(x, y)的表达式 . (2005 天津竞赛 )6.7.设二元函数 f( x,y)具有一阶连续偏导数 ,且(t , t 2 )x cos ydy t 2 , 求 f(x, y) . (2005 津 )f (x, y)dx(0, 0)6.8.设 f(x)连续可导 , f(1)=1,G 为不包含原点的单连通域,任取 M, NG, 在 G 内曲线积分N1( ydxxdy) 与路径无关 ,2M 2xf ( y)1( ydx xdy),其中222(1) 求 f(x); (2) 求2 x2为 x 3y3a 3 ,取正向 . (2004 江苏竞赛 )f ( y)6.9.计算 I
15、=( xy) dx( xy) dy, 其中 L 是绕原点两周的正向闭路 .Lx2y24 / 5（三）习题解答或提示6.1.应填 : 2 .6.2.解 .利用对称性 ,因xdsydszds,y 2 dsx 2dsz2 ds, 于是积分为1(xyz)(x 2y2z2)ds1s2的长度2646.33(1 1)d33 239esin ydy0(esin xesin x )dx,6.3.证 . (1)左端 =0e sin xdx0e sinydy0(esin xe sin x )dx.(2) 由 (1)及 esin xe sin x2 推出 .右端 =0esin x dx06.4.解 .Py24 x2,
16、 (x, y)(0,0),作充分小椭圆 ：x2 cos，( 4x2y2)2yCysinC 取逆时针方向 , 于是xdy ydxxdyydxxdyydx2120,2 d.2L C22L222204 x y4x yC 4 x y6.5.解 .令 l 是有向直线段 OA,D 为 L+l 围成的半圆域 , 由格林公式得I=(ba)d2 abxdx2 a 2 (ba)2b 4a22 a 2 (ba)2a2 b .l0L lD6.6.解 .显然 u(x,y) 0 满足条件 ,下面用反证法证明只有u(x, y)0满足条件 .否则 ,不妨设 D 内有一点 (a,b)使 u(a,b)0, 于是 D 内还有一点
17、( , )使 u( , )=M0 是 u(x, y)在 D 上的最大值 ,于是uu0, 得出矛盾 .对 u(a,b)0 的情形同理可证 .x( , )y( , )f6.7.解 .因积分与路径无关,有y =cosy, f( x, y)=siny+g ( x) ,代入原式得tt 2t cos ydyt 2 , 对 t 求导后解出 g(t) ,得 f(x, y)=siny+ 2x sin x22x2 cos x 2 .g( x) dx006.8.解 . (1)因 PyQ, yf( y)2 f ( y)f ( y)y2 ,2; f (1) 12.xf ( y)f ( y) Cyf ( y) y(2) 为星形线正向 ,用充分小的正向椭圆l: 2x2y 22 代替积分 :2sin2 sin2 cos cosd2 .l02cos22sin26.9.解 .因 PyQx , 以原点为中心作充分小半径r 的正向圆周 C ,则22(r cosr sin)r sin(r cosr sin)r cosd4 .C2r2L05 / 5