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1、等差数列基础习题选一选择题（共26 小题）1已知等差数列 a n 中， a3=9， a9=3，则公差 d 的值为（）A B1CD 12已知数列 a 的通项公式是a =2n+5，则此数列是（）nnA 以 7 为首项，公差为2 的等差数列B 以 7 为首项，公差为 5 的等差数列C 以 5 为首项，公差为2 的等差数列D 不 是等差数列3在等差数列 a n 中， a1=13， a3=12 ，若 an=2 ，则 n 等于（）A 23B 24C 25D 264等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn，已知 S3 =6， a4=8，则公差 d=（）A 一 1B 2C 3D 一 25两个数 1 与 5 的
2、等差中项是（）A 1B 3C 2D 6一个首项为 23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A 2B 3C4D 57（ 2012?福建）等差数列 a 中， a +a =10 ， a =7，则数列 an 的公差为（）n1 54A 1B 2C 3D 48数列的首项为3，为等差数列且，若，则=（）A 0B 8C 3D 119已知两个等差数列 5， 8，11，和 3， 7， 11， 都有 100 项，则它们的公共项的个数为（）A 25B 24C 20D 1910设 S 为等差数列 an 的前 n 项和，若满足a =a+2 （ n2），且 S =9，则 a =（）n
3、n n131A 5B 3C1D 111（2005?黑龙江）如果数列 a n 是等差数列，则（）D a a =a a+a a +aB a +a =a +aC a +a a +aA a1 84 51 8 4 51 84 51 8 4 512（ 2004?福建）设 Sn 是等差数列 a n 的前 n 项和，若=（）A 1B 1C 2D 13（ 2009?安徽）已知 a 为等差数列， a +a +a =105， a +a +a =99，则 a等于（）n13524620A 1B 1C 3D 714在等差数列 a 中， a =4， a =12 ，那么数列 的前 n 项和等于（）n26A B CD 15已知
4、 S 为等差数列 a 的前 n 项的和， a +a=4， S =21，则 a的值为（）nn2577A 6B 7C 8D 916已知数列 a 为等差数列， a +a +a =15， a =7，则 s的值为（）n1 3 546A 30B 35C 36D 2417（ 2012?营口）等差数列 a n 的公差 d 0，且，则数列 a n 的前 n 项和 Sn 取得最大值时的项数n 是（）A 5B 6C 5 或 6D 6 或 718（ 2012?辽宁）在等差数列a n 中，已知 a4+a8=16 ，则该数列前11 项和 S11=（）A 58B 88C 143D 17619已知数列 a n 等差数列，且a
5、1+a3+a5+a7+a9=10 ， a2+a4+a6+a8+a10=20，则 a4=（）A 1B 0C 1D 220（理）已知数列 a n 的前 n 项和 Sn=n 2 8n，第 k 项满足4ak 7，则 k= （）A 6B 7217n，则当 SC 8D 921数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 Sn=2nn 的值为（）n 取得最小值时A 4 或 5B 5 或 6C 4D 522等差数列 a 中， a=2n 4，则 S等于（）nn4A 12B 10C 8D 423若 a n 为等差数列，a3=4， a8=19 ，则数列 a n 的前 10 项和为（）A 230B 140C 115D 95
6、24等差数列 a n 中， a3+a8=5，则前 10 项和 S10=（）A 5B 25C 50D 10025设 S 是公差不为 0 的等差数列 a 的前 n 项和，且 S ， S ，S 成等比数列，则等于（）nn124A 1B 2C 3D 426设 a =2n+21 ，则数列 an 从首项到第几项的和最大（）nA 第 10 项B 第 11 项C 第 10 项或 11 项D 第 12 项二填空题（共 4 小题）27如果数列 a n 满足：=_28如果 f （ n+1） =f （ n）+1（ n=1 ，2， 3），且 f （ 1） =2 ，则 f （ 100）=_ 29等差数列 a n 的前 n
7、 项的和，则数列 |a n| 的前 10 项之和为_30已知 a 是一个公差大于 0 的等差数列，且满足a a =55， a +a =16n3 627（ ）求数列 a n 的通项公式：（ ）若数列 a n 和数列nn=nnb 满足等式： a =（ n 为正整数），求数列 b 的前 n 项和 S参考答案与试题解析一选择题（共26 小题）1已知等差数列 a 中， a =9 ， a =3，则公差 d 的值为（）n39A B 1CD 1考点 ： 等差数列专题 ： 计算题分析：本题可由题意，构造方程组，解出该方程组即可得到答案解答：解：等差数列a n 中， a3=9， a9=3，由等差数列的通项公式，可
8、得解得，即等差数列的公差d= 1故选 D点评：本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题2已知数列 a 的通项公式是 a =2n+5，则此数列是（）nnA 以 7 为首项，公差为2 的等差数列B 以 7 为首项，公差为5 的等差数列C 以 5 为首项，公差为2 的等差数列D 不 是等差数列考点 ： 等差数列专题 ： 计算题分析： 直接根据数列 a n 的通项公式是an=2n+5 求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论解答： 解：因为 an=2n+5 ，所以a1=21+5=7 ；a a =2 （ n+1） +5（ 2n+5 ） =2n+1n故此数列是以 7 为首项，公差为
9、2 的等差数列故选 A 点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项3在等差数列 a n 中， a1=13， a3=12 ，若 an=2 ，则 n 等于（）A 23B 24C 25D 26考点 ： 等差数列专题 ： 综合题分析：根据 a1=133d 的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让，a =12 ，利用等差数列的通项公式求得其等于2 得到关于 n 的方程，求出方程的解即可得到n 的值解答：解：由题意得a3=a1+2d=12 ，把 a1=13 代入求得 d= ，则 an=13 （ n1） = n+ =2 ，解得 n=23故选 A点评：此题
10、考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题4等差数列 a 的前 n 项和为 S ，已知 S=6， a =8，则公差 d=（）nn34A 一 1B 2C 3D 一 2考点 ： 等差数列专题 ： 计算题分析： 根据等差数列的前三项之和是6，得到这个数列的第二项是2，这样已知等差数列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差解答： 解： 等差数列 a nn， 的前 n 项和为 S3S =6 ， a2=2 a4=8 ， 8=2+2d d=3，故选 C点评：本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第二项的三倍，这样可以简化题目的运算5两个数
11、1 与 5 的等差中项是（）A 1B 3C 2D 考点 ：等差数列专题 ： 计算题分析：由于 a， b 的等差中项为，由此可求出 1 与 5 的等差中项解答：解： 1 与 5 的等差中项为：=3，故选 B 点评：本题考查两个数的等差中项，牢记公式a， b 的等差中项为：是解题的关键，属基础题6一个首项为 23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A 2B 3C4D 5考点 ：等差数列专题 ： 计算题分析：设等差数列 a n 的公差为 d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，结合公差为整数进而求出数列的公差解答： 解：设等差数列 a n 的公差为
12、d，所以 a6=23+5d7， a =23+6d，又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，因为数列是公差为整数的等差数列，所以 d=4故选 C点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算7（ 2012?福建）等差数列 a 中， a+a =10 ， a =7，则数列 an 的公差为（）n154A 1B 2C 3D 4考点 ： 等差数列的通项公式专题 ： 计算题分析： 设数列 a n 的公差为 d，则由题意可得2a1+4d=10 ， a1+3d=7，由此解得 d 的值解答： 解：设数列 a n1 54=7，可得11，解得 d=2， 的公差为 d，则由 a +a=
13、10 ， a2a +4d=10，a +3d=7故选 B 点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题8数列的首项为3，为等差数列且，若，则=（）A 0B 8C 3D 11考点 ： 等差数列的通项公式专题 ： 计算题分析：先确定等差数列的通项，再利用，我们可以求得的值解答：解： 为等差数列， bn=b3+（ n 3） 2=2n 8 b8=a8 a1 数列的首项为3 28 8=a8 3， a8=11故选 D点评：本题考查等差数列的通项公式的应用，由等差数列的任意两项，我们可以求出数列的通项，是基础题9已知两个等差数列5， 8，11，和 3， 7， 11， 都有 100 项，则它们的公共项
14、的个数为（）A 25B 24C 20D 19考点 ： 等差数列的通项公式专题 ： 计算题分析：（法一）：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数求解，（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解解答：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为a n ，则 a1=11 数列 5，8， 11， 与 3， 7， 11， 公差分别为 3 与 4， a n 的公差 d=34=12， an=11+12 （ n1） =12n 1又 5， 8，11， 与 3，7， 11， 的第 100 项分别是302 与 399， a
15、n=12n 1302，即 n25.5又 nN* ， 两个数列有 25 个相同的项故选 A解法二：设5， 8，11，与 3， 7，11，分别为 a n 与b n ，则 an=3n+2， bn=4n 1设 a n 中的第 n 项与 b n 中的第 m 项相同，即 3n+2=4m 1， n= m 1又 m、 nN* ，可设 m=3r （rN* ），得 n=4r 1根据题意得13r100 14r 1100解得r rN*从而有 25 个相同的项故选 A点评：解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高10设 Sn 为等差数列 a n 的前 n 项和
16、，若满足an=an 1+2 （ n2），且 S3=9，则 a1 =（）A 5B 3C1D 1考点 ： 等差数列的通项公式专题 ： 计算题分析：根据递推公式求出公差为2，再由 S3 =9 以及前 n 项和公式求出a1 的值解答：解： an=an 1+2（ n2）， an an 1=2（ n2）， 等差数列 a n 的公差是2，由 S3=3a1+=9 解得， a1=1故选 D点评：本题考查了等差数列的定义，以及前n 项和公式的应用，即根据代入公式进行求解11（2005?黑龙江）如果数列a n 是等差数列，则（）D a a =a a+a a +aB a +a =a +aC a +a a +aA a1
17、 8 4 51 8 4 51 84 51 8 4 5考点 ： 等差数列的性质分析： 用通项公式来寻求a1+a8 与 a4+a5 的关系解答： 解： a1 845）11+a （ a +a=2a +7d （2a +7d） =0 a1+a8=a4+a5 故选 B点评：本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质12（ 2004?福建）设Sn 是等差数列a n 的前n 项和，若=（）A 1B 1C 2D 考点 ： 等差数列的性质专题 ： 计算题分析：充分利用等差数列前n 项和与某些特殊项之间的关系解题解答：解：设等差数列 a n 的首项为 a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5， a1+a
18、5=2a3 ，=1，故选 A 点评： 本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列 a n 的前 n 项和为n2n 1nS ，则有如下关系 S=（ 2n 1）a 13（ 2009?安徽）已知 a 为等差数列，a +a +a =105， a +a+a =99，则 a等于（）n13524620A 1B 1C 3D 7考点 ：等差数列的性质专题 ：计算题分析： 根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3 和 a4 的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案解答：解：由已知得a1+a3+a5=3a3 =105，a2+a4+a6=3a4=99
19、 ， a3=35 ， a4=33， d=a4 a3= 2 a20=a3+17d=35+ （ 2）17=1故选 B点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得 a3 和 a414在等差数列a n 中， a2=4， a6=12 ，那么数列 的前n 项和等于（）A B CD 考点 ： 数列的求和；等差数列的性质专题 ： 计算题分析：求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列，利用错位相减法求出数列的前 n 项的和解答： 解： 等差数列 a n26； 中， a =4， a =12 公差 d=； an=a2+（ n
20、2） 2=2n；的前 n 项和，=两式相减得=故选 B点评：求数列的前n 项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法15已知 S 为等差数列 a 的前 n 项的和， a +a=4， S =21，则 a 的值为（）nn2 577A 6B 7C 8D 9考点 ： 等差数列的性质专题 ： 计算题分析：由 a2+a5=4 ， S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4 ，根据等差数列的前n 项和公式可得，联立可求d， a1，代入等差数列的通项公式可求解答：解：等差数列a n 中， a2+a5=4， S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4根据等差数列的前
21、n 项和公式可得，所以a1+a7=6 可得 d=2， a1= 3所以 a7=9故选 D点评：本题主要考查了等差数列的前n 项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题16已知数列 a 为等差数列，a +a +a =15， a =7，则 s 的值为（）n1 3 546A 30B 35C 36D 24考点 ： 等差数列的性质专题 ： 计算题分析： 利用等差中项的性质求得a3 的值，进而利用a1+a6=a3+a4 求得 a1+a6 的值，代入等差数列的求和公式中求得答案解答： 解： a1+a3+a5=3a3=15， a3=5 a1+a6=a3+a4=12 s =6=366故选 C点评：本题主要考
22、查了等差数列的性质特别是等差中项的性质17（ 2012?营口）等差数列 a n 的公差 d 0，且，则数列 a n 的前 n 项和 Sn 取得最大值时的项数n 是（）A 5B 6C 5 或 6D 6 或 7考点 ： 等差数列的前n 项和；等差数列的通项公式专题 ： 计算题分析：由，知 a1+a11=0由此能求出数列 a n 的前 n 项和 Sn 取得最大值时的项数n解答：解：由，知 a1+a11=0 a6=0 ，故选 C点评：本题主要考查等差数列的性质，求和公式要求学生能够运用性质简化计算18（ 2012?辽宁）在等差数列a 中，已知 a +a=16 ，则该数列前11 项和 S =（）n4 8
23、11A 58B 88C 143D 176考点 ： 等差数列的性质；等差数列的前n 项和专题 ： 计算题分析：根据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16 ，再由 S11=运算求得结果解答：解： 在等差数列 a n 中，已知 a4+a8=16 ， a1+a11=a4+a8=16 ， S11=88，故选 B 点评： 本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n 项和公式的应用，属于中档题19已知数列 a n 等差数列，且 a1+a3+a5+a7+a9=10 ， a2+a4+a6+a8+a10=20，则 a4=（）A 1B 0C 1D 2考点 ：等差数列的通项公式；等差数列的前n 项
24、和专题 ：计算题分析： 由等差数列得性质可得： 5a5566456=10，即 a =2同理可得5a=20， a =4 ，再由等差中项可知：a =2a a =0解答： 解：由等差数列得性质可得：a1+a9=a3+a7=2a5，又 a1+a3+a5+a7+a9=10，故 5a5=10 ，即 a5=2同理可得 5a6=20 ， a6=4 再由等差中项可知： a4=2a5 a6=0故选 B点评：本题考查等差数列的性质及等差中项，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题20（理）已知数列 a n 的前 n 项和 Sn=n 2 8n，第 k 项满足 4ak 7，则 k= （）A 6B 7C 8D 9考点 ：
25、 等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和专题 ： 计算题分析：先利用公式 an=求出 an，再由第 k 项满足 4 ak 7，建立不等式，求出k 的值解答：解： an= n=1 时适合 an=2n 9， an=2n 9 4 ak 7， 4 2k 9 7，k 8，又 kN+， k=7 ，故选 B 点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式an=的合理运用， 属于基础题nnn217n，则当 Sn取得最小值时n 的值为（）21数列 a的前 n 项和为 S，若 S =2nA 4 或 5B 5 或 6C 4D 5考点 ： 等差数列的前n 项和专题 ： 计算题分析：把数列的前n 项的和 Sn
26、看作是关于n 的二次函数， 把关系式配方后，又根据 n 为正整数， 即可得到Sn 取得最小值时 n 的值解答：2 17n=2，解：因为 Sn=2n又 n 为正整数，所以当 n=4 时， Sn 取得最小值故选 C点评：此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力，是一道基础题22等差数列 a n 中， an=2n 4，则 S4 等于（）A 12B 10C 8D 4考点 ： 等差数列的前 n 项和专题 ： 计算题分析： 利用等差数列 a nn1， d，再由等差数列的前n 项和公式求4 中， a =2n 4，先求出aS 解答：解： 等差数列 a n 中， an=2n 4， a1=2 4=2，a2=4
27、4=0 ，d=0 （ 2） =2 ， S4=4a1+=4 （ 2）+43=4 故选 D点评：本题考查等差数列的前 n 项和公式的应用，是基础题解题时要认真审题，注意先由通项公式求出首项和公差，再求前四项和23若 a 为等差数列，a =4， a =19 ，则数列 a 的前 10 项和为（）n38nA 230B 140C 115D 95考点 ： 等差数列的前 n 项和专题 ： 综合题分析： 分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式，得到 和 ，联立即可求出首项和公差，然后利用求出的首项和公差，根据公差数列的前n 项和的公式即可求出数列前10 项的和解答： 解： a3 181=a +2d=4 ，
28、 a =a +7d=19 ， 得 5d=15，解得 d=3 ，把 d=3 代入 求得 a1= 2，所以 S10=10（ 2）+3=115故选 C点评： 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n 项和的公式化简求值，是一道基础题24等差数列 a n 中， a3+a8=5，则前10 项和 S10=（）A 5B 25C 50D 100考点 ： 等差数列的前n 项和；等差数列的性质专题 ： 计算题分析：根据条件并利用等差数列的定义和性质可得a1+a10=5，代入前 10 项和 S10 =运算求得结果解答：解：等差数列a n 中， a3+a8=5， a1+a10=5， 前 10 项和 S10 =25 ，故选 B 点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及前 n 项和公式的应用，求得