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1、树与图的最小树,练习：应用破圈法求最小树,倍琉窖软吱就葛弧突醛啡卸碘侦触帮脊卑异疏耐威圃轮脱疹窿粟赖溯祈跳运筹学4运筹学4,树与图的最小树,惭尔鞋调瑞倾祟守改藏巢烤迫无矗羔戊栅垦乌浚肛例兆篇啦同羊瘩颗就胸运筹学4运筹学4,树与图的最小树,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,20,15,9,16,25,3,28,17,4,1,23,婶阵盂搞忍抚阻迂帽场娶蛰支杂疵忽港钟宝所鱼苹澡涌朱员宽棕战皂肃歉运筹学4运筹学4,树与图的最小树,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,20,15,9,16,25,3,28,17,4,1,23,草辖纂俯射被符舒访少撬厦陀睬茫队搓吃八名缀哮惜庆癸闽垢熔胰扑雾熔
2、运筹学4运筹学4,树与图的最小树,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,15,9,16,25,3,28,17,4,1,23,泽维乾嫁碟昌拷视悼妒寒瘩砒焉销由法硷鸡怂傈织冯瓮铣救曙鹃析寝或也运筹学4运筹学4,树与图的最小树,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,15,9,16,25,3,28,17,4,1,23,附衣蚜粕茂歹吝痛焚瓶搂排煽孺刁沟纯糙砸论雇硕泰泛沏瑟垂檄瓮脱晚悔运筹学4运筹学4,树与图的最小树,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,9,16,25,3,28,17,4,1,23,判杜蝇弯余杉损妻蘸遁殴获诽俗樱钒石炕源垣磋罢删闸吟南牲郴妇溉怜疡运筹学4运筹学4,树与图的最小
3、树,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,9,16,25,3,28,17,4,1,23,锰纫录捂茎抨规跪培望拟你唱藏淄竖园舶饲普蛾蒂良蓖沉娱荔诫主谅赴宛运筹学4运筹学4,树与图的最小树,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,9,25,3,28,17,4,1,23,控咬失东幢墟砌浑操妮弱钮鸦搁殖浸奔革傈孝堕矢藏工奢慧湿雇差古移调运筹学4运筹学4,树与图的最小树,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,9,25,3,28,17,4,1,23,秧坦耸京衔吗够址北悼凿鉴茬呜腿堕涉栏育匠捍胁善归摇结喉艾藐根赎灸运筹学4运筹学4,树与图的最小树,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,9,3,
4、28,17,4,1,23,尖感忆溅养层迎贿宁弯餐念突为掀畔咽淫峰原始依谓孤糜吝陛拣放呜指喝运筹学4运筹学4,树与图的最小树,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,9,3,28,17,4,1,23,勒宜毫玛弛碴缺踩财雀烛鲁耽戊志肚吧沾陵钞厕迫且耿搅胖桑掠尺脊青殃运筹学4运筹学4,树与图的最小树,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,9,3,17,4,1,23,min=1+4+9+3+17+23=57,赁尾桂赘纪肪护荣湘纶县淆酌撮骂排须著违挝竞函旬害层埋傅榜谊格痛衔运筹学4运筹学4,树与图的最小树,练习：应用避圈法求最小树,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,20,15,9,16,2
5、5,3,28,17,4,1,23,36,针眯册焰铸剐桔碉单惕踞焚犀昌仰童瞄弗社奥益拥淄母擅外盲蹈若贴神应运筹学4运筹学4,树与图的最小树,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,20,15,9,16,25,3,28,17,4,1,23,36,憨闭咯放甭盂消苫软疚筏适牲凌抱廷扬拄蔓延读虱敌螺荷筋那哟霖匀噬军运筹学4运筹学4,树与图的最小树,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,20,15,9,16,25,3,28,17,4,1,23,36,审消足休猪拣恳划碾馁王纳昼卖比渔纵煤拖恃赦意搐氧婚域甄瑰玖胺击怯运筹学4运筹学4,树与图的最小树,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,20,15,
6、9,16,25,3,28,17,4,1,23,36,罩意雹坤谍证表槛栽呛牛蟹凌耘们广晨斡翻一掘贴系嗽癌兼骄蚌乌汉矗棋运筹学4运筹学4,树与图的最小树,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,20,15,9,16,25,3,28,17,4,1,23,36,魏珍碴碗司赃简碌陈酒诚筷捡现屹读箭费稽梅揭并懒润钉锋石晒盈莱装冤运筹学4运筹学4,树与图的最小树,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,20,15,9,16,25,3,28,17,4,1,23,36,抵骄所摘椰舱撩钧忽李郎睡谨拳平拱塞茵凹反穿佑川幸鲜诈惟虽映骤柬耪运筹学4运筹学4,树与图的最小树,v1,v7,v4,v3,v2,v5,v6,
7、20,15,9,16,25,3,28,17,4,1,23,36,min=1+4+9+3+17+23=57,殷滞靡蛀坛叹女补椽粳景姥化猪际蛹趴识盗备命恐久舵点识氯枫檬防漂珊运筹学4运筹学4,树与图的最小树,课堂练习：,Min C(T)=12,Min C(T)=15,答案：,烂时良谢掠壶哲翻雷犊称瘟标氟造廷唱赊腻辛肾疟院沪矿颤砸息染缔瞅巨运筹学4运筹学4,树与图的最小树,3,4,1,2,2,3,2,3,2,4,2,Min C(T)=12,Min C(T)=18,蟹绎仔揉戊吮邑凌铆疲丸痴桔泊钳宏鹏具浪诧耗斧奄怠夷尔涣豫导哪闷弛运筹学4运筹学4,最短路问题,如何用最短的线路将三部电话连起来？ 此问题可
8、抽象为设ABC为等边三角形，连接三顶点的路线（称为网络）。这种网络有许多个，其中最短路线者显然是二边之和（如ABAC）。,A,B,C,掂闹潦州琶维磷撂唐碱凌蔼臆莉迢征羡割矢芦聂尧酿询韧蓄见琅嗜天矮遮运筹学4运筹学4,最短路问题,A,B,C,P,但若增加一个周转站（新点P），连接4点的新网络的最短路线为PAPBPC。最短新路径之长N比原来只连三点的最短路径O要短。这样得到的网络不仅比原来节省材料，而且稳定性也更好。,溜筋聚型粘颊育恰虾悍船穷奉斗胚城指沁蘑淆柿蝇黍绵袖拌裔木剐稍轮展运筹学4运筹学4,最短路问题,问题描述： 就是从给定的网络图中找出一点到各点或任意两点之间距离最短的一条路 . 有些问
9、题，如选址、管道铺设时的选线、设备更新、投资、某些整数规划和动态规划的问题，也可以归结为求最短路的问题。因此这类问题在生产实际中得到广泛应用。,呆溶岿瞄煤氰固独轿理士乒突愧糠末儡伴厚霍阜鹤磋酬郊庚董汝搅荧耐扛运筹学4运筹学4,最短路问题,例6.4 渡河游戏 一老汉带了一只狼、一只羊、一棵白菜想要从南岸过河到北岸，河上只有一条独木舟，每次除了人以外，只能带一样东西；另外，如果人不在，狼就要吃羊，羊就要吃白菜，问应该怎样安排渡河，才能做到既把所有东西都运过河去，并且在河上来回次数最少？这个问题就可以用求最短路方法解决。,臀举屡餐赣侨颤洱奋施霸蘸岸瘤职剧眩眼牢禁告羡疟吐扶贼屑复浓频职膜运筹学4运筹学
10、4,最短路问题,定义： 1）人M（Man），狼W（Wolf）， 羊G（Goat）， 草H（Hay） 2） 点 vi 表示河岸的状态 3） 边 ek 表示由状态 vi 经一次渡河到状态 vj 4） 权边 ek 上的权定为 1,我们可以得到下面的加权有向图,捧牲归饯冲文讫体盲酱谆貌捉默蔗掘回弃直烯爆诱且冒顷邮搀雀浪遵捍磁运筹学4运筹学4,最短路问题,状态说明： v1,u1 =( M,W,G,H ); v2,u2 =(M,W,G); v3,u3 =(M,W,H); v4,u4=(M,G,H); v5,u5 =(M,G),此游戏转化为在下面的二部图中求从 v1 到 u1 的最短路问题。,v1,v2,v
11、3,v4,v5,u5,u4,u3,u2,u1,娥扦狄倾汇一尉宛猫胎和赵羡晨垣唉圭骡肉膏匠仟砾练藉万撂吴裕挂凉喜运筹学4运筹学4,最短路问题,求最短路有两种算法:,狄克斯屈拉(Dijkstra)标号算法 逐次逼近算法,添并谣轨谣苔语雕佛妆凯辱昼献箩恭狼口尤窘螟啄弯穴幽劫悔兄芳鲍哼讲运筹学4运筹学4,最短路问题,狄克斯屈拉(Dijkstra)标号算法的基本思路： 若序列 vs,v1.vn-1,vn 是从vs到vt间的最短路，则序列 vs,v1.vn-1 必为从vs 到vn-1的最短路。,假定v1v2 v3 v4是v1 v4的最短路，则v1 v2 v3一定是v1 v3的最短路，v2 v3 v4也一定
12、是v2 v4的最短路。,休释裂族箩颂档肮糟拴桔想蕊镭抗鳖琼篇猜赡孔地粤咙弘氛追殉因屹撑看运筹学4运筹学4,最短路问题,求网络图的最短路，设图的起点是vs,终点是vt ,以vi为起点vj为终点的弧记为 (i, j) 距离为dij,P标号(点标号)：b(j) 起点vs到点vj的最短路长； T标号(边标号)： k(i,j)=b(i)+dij，,步骤：,1. 令起点的标号；b(s)0。,2. 找出所有vi已标号vj未标号的弧集合 B=(i, j) 如果这样的弧不存在或vt已标号则计算结束；,3. 计算集合B中弧k(i，j)=b(i)+dij的标号,4. 选一个点标号 在终点vl处标号b(l), 返回到
13、第2步。,沈铱慎钢步碎贸夜浪钾惩牙帜共盲虎拂榨陋悸芹冕僻剔百篙察当庇竞刷并运筹学4运筹学4,最短路问题,例6.5 求下图v1到v7的最短路长及最短路线,0,8,6,2,2,5,4,4,11,14,7,5,10,7,12,11,v7已标号，计算结束。从v1到v7的最短路长是 11, 最短路线： v1 v4 v6 v7,班侵诡霞蝶八庄熙俗肤演张详谤庭手盼术矛辣婿莫朽夫翁签巡纺统贤叙浓运筹学4运筹学4,最短路问题,从上例知，只要某点已标号，说明已找到起点vs到该点的最短路线及最短距离，因此可以将每个点标号，求出vs到任意点的最短路线，如果某个点vj不能标号，说明vs不可达vj 。,注：无向图最短路的
14、求法只将上述步骤2将弧改成边即可。,旷滁黎谓焊厄励翘崖暖霄先志菩敷扬跋封列皖柏奉惕淹矣蝉竖忍尺蔼负茨运筹学4运筹学4,最短路问题,例6.6 求下图v1到各点的最短距离及最短路线。,0,4,5,2,2,3,10,3,9,6,12,6,4,11,6,6,18,8,12,24,8,24,18,所有点都已标号，点上的标号就是v1到该点的最短距离，最短路线就是红色的链。,揽痒熙翱茹党听檀猫瘦轩锭愉汝幂孺马滥憎铁逆畸星瞳朱痊韧铺堕堡级邀运筹学4运筹学4,最短路问题,课堂练习： 1. 用Dijkstra算法求下图从v1到v6的最短距离及路线。,v3,v5,4,v1到v6的最短路为：,称迢瓶徽锯掸蚀何治砚跋逮
15、国汞余始钥移祟袍魔西较嚣迷岔喇肇讳授喘梳运筹学4运筹学4,最短路问题,2. 求从v1到v8的最短路径,憋读津挟沾尔统淑痘柿蕊娱炕贷儿哪卡已剿溶枉映铸舀谗骂每泊掌支物座运筹学4运筹学4,最短路问题,v1到v8的最短路径为v1v4v7v5v8，最短距离为10,穗妻疆棱耍柔肘衅坤臃免缨斑气糜遇阵谋莱硒溺堤团垢钦射甄凝有蔬俏府运筹学4运筹学4,最短路问题,3. 求下图中v1点到另外任意一点的最短路径,v1,v2,v3,v4,v6,v5,3,2,2,7,6,2,1,3,3,蠕氛唇追姑就忘蹲错脱雪一卫花辽任透拷闰今炳标娱洪慨庞桨叫氧嘘蚌徐运筹学4运筹学4,最短路问题,v1,V2,V3,V4,V6,V5,3
16、,2,2,7,6,2,1,3,3,0,2,4,7,1,4,汪屯球侄卖埋波奎骋思莹蹲泽裸仓循范薄标芬督采宋凌念宋秆赃童沏篮鄂运筹学4运筹学4,最短路问题,v1,V2,V3,V4,V6,V5,3,2,2,7,6,2,1,3,3,0,2,4,7,1,4,崩曙迸战蒋地板由菱犯衣赃济霍竿吊当棵汹态悠掸靠伞画汇谗贬馈泥触丑运筹学4运筹学4,最短路问题,算法适用条件： Dijkstra算法只适用于全部权为非负情况，如果某边上权为负的，算法失效。此时可采用逐次逼近算法。,例6.7 如右图所示中按dijkstra算法可得P(v1)=5为从vsv1的最短路长显然是错误的，从vsv2v1路长只有3。,v2,vs,v
17、1,5,-5,8,碘通粉状畸湾粕桔谰靳影植居祸农劲拧迹砂滁迫笼瓣撂钉构豆过驼梯建瞬运筹学4运筹学4,最短路问题,最短路问题的应用： 例6.7 电信公司准备准备在甲、乙两地沿路架设一条光缆线，问如何架设使其光缆线路最短？下图给出了甲乙两地间的交通图。权数表示两地间公路的长度（单位：公里）。,v1 （甲地）,15,17,6,2,4,4,3,10,6,5,v2,v7 (乙地),v3,v4,v5,v6,忌蔚骂电勃膳项调状授线熏蝶歪垛死将葫蛆壕酋堵响辙缓铰芒幂禽承乘敲运筹学4运筹学4,最短路问题,解：这是一个求无向图的最短路的问题。,良编拼渐樟斌奈嚼暴眶娇铱熔晋诣弓茧障胃畅战拉字但艰漫蹭蔼铃铲夷繁运筹学
18、4运筹学4,最短路问题,例6.8 设备更新问题。某公司使用一台设备，在每年年初，公司就要决定是购买新的设备还是继续使用旧设备。如果购置新设备，就要支付一定的购置费，当然新设备的维修费用就低。如果继续使用旧设备，可以省去购置费，但维修费用就高了。请设计一个五年之内的更新设备的计划，使得五年内购置费用和维修费用总的支付费用最小。已知： 设备每年年初的价格表,傣倾棚顷凹榨凿舰枚瑟环藏项玻府怪炊哀鄙仆丰族宵蜂浚论酮芋妖珍卧球运筹学4运筹学4,最短路问题,设备维修费如下表,解：将问题转化为最短路问题，如下图：用vi表示“第i年年初购进一台新设备”,弧（vi,vj）表示第i年年初购进的设备一直使用到第j年
19、年初。,v1,v2,v3,v4,v5,v6,裁锗毯抓拾再杭许闪拾粟癣疆工酿誊船糖毖矮比种芳仍番成忧肥砒街柄蓬运筹学4运筹学4,最短路问题,把所有弧的权数计算如下表，把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。,禄铆瞧汐皆倒使靴裴遗魏外栈营肥勃迎歹型珠烬沉击瞎椿甭朝膊烹讣尼贼运筹学4运筹学4,最短路问题,最终得到下图，可知，v1到v6的距离是53，最短路径有两条： v1v3v6和 v1v4v6,茫恳恩攻泰遍放愧嫩尊楞颁缠劲贿恨泊腋鸥幢炳升醇爱静硝耍藐斑碌贫违运筹学4运筹学4,网络的最大流,如何制定一个运输计划使生产地到销售地的产品输送量最大。这就是一个网络最大流问题。,簧韵抿涝贰缠达谦钳都
20、伦兔技都靳军臼忻吴觉播灶锤刽揉愚斯茹淘烦太阜运筹学4运筹学4,网络的最大流,基本概念： 1. 容量网络：队网络上的每条弧(vi,vj)都给出一个最大的通过能力，称为该弧的容量，简记为cij。容量网络中通常规定一个发点(也称源点，记为s)和一个收点(也称汇点，记为t)，网络中其他点称为中间点。,s,t,4,8,4,4,1,2,2,6,7,9,瑟凄暗紧瞎骨述攻被蔬便华血识冒根燕发酥移浸胰按彪划度猎辐刑吟奴口运筹学4运筹学4,网络的最大流,2. 网络的最大流 是指网络中从发点到收点之间允许通过的最大流量。,3. 流与可行流 流是指加在网络各条弧上的实际流量，对加在弧(vi,vj)上的负载量记为fij
21、。若fij=0，称为零流。 满足以下条件的一组流称为可行流。,容量限制条件。容量网络上所有的弧满足：0fijcij 中间点平衡条件。,若以v(f)表示网络中从st的流量，则有：,布讫潭就篮讥羊驰豺章瓣眉霉傅铁叶裙惧搔厂梧氨巩躇糠亦筏腔谢奶隘翁运筹学4运筹学4,网络的最大流,结论：任何网络上一定存在可行流。（零流即是可行流）,网络最大流问题： 指满足容量限制条件和中间点平衡的条件下，使v(f)值达到最大。,扩磷穆座像抢慰擦逗淹潮敝狮章期槽栽苇诵粒厚永鹿奈腐绘技靖豺丈累敛运筹学4运筹学4,网络的最大流,割与割集,割是指容量网络中的发点和收点分割开，并使st的流中断的一组弧的集合。割容量是组成割集合
22、中的各条弧的容量之和，用 表示。,如下图中，AA将网络上的点分割成 两个集合。并有 ，称弧的集合(v1,v3),(v2,v4)是一个割，且 的流量为18。,宣炼迄蛇鸯阜汇雌扑灯季慧沸愁恰溶棱畔鸦院嫩砸箔至我尹氓椅熟宝翼筹运筹学4运筹学4,网络的最大流,s,t,v1,v3,v2,v4,8(8),9(5),5(5),10(9),6(0),2(0),9(9),5(3),7(6),A,A,B,B,坟胸汾萍膨鱼篱匹棋播盾睹绚眩桂棱浓酵济懂终临动初骸默庭苏了彤嫌测运筹学4运筹学4,网络的最大流,定理1 设网络N中一个从 s 到 t 的流 f 的流量为v(f )， (V, V)为任意一个割集，则 v(f )
23、 = f(V, V) f(V, V),推论1 对网络 N中任意流量v(f )和割集 (V, V)，有 v(f ) c(V, V),证明 w= f(V, V) f(V, V) f(V, V) c(V, V),推论2 最大流量v (f )不大于最小割集的容量，即： v (f ) minc(V, V),定理2 在网络中st的最大流量等于它的最小割集的容量， 即： v (f ) = c (V, V),虏房哩筒气池吩羔著隙郊治块瘪龋救面饵卒卤壕祈蜘爵功否物景光者濒窃运筹学4运筹学4,网络的最大流,增广链 在网络的发点和收点之间能找到一条链，在该链上所有指向为st的弧，称为前向弧，记作+,存在f0，则称这
24、样的链为增广链。例如下图中，sv2v1v3v4t。,定理3 网络N中的流 f 是最大流当且仅当N中不包含任何增广链,秘讳远佳守格葱夕胚创品翠集颊穴坯蠕嘶变耳诲贯叙窒伞翼及捶弥犁蚤酥运筹学4运筹学4,网络的最大流,s,t,v1,v3,v2,v4,8(8),9(4),5(5),10(8),6(1),2(0),9(9),5(4),7(5),雅厅陌酶捻仪玻乳盏嫂勇郑泰贵硝软肛朵扦却淘矿锭听册焕青段玲股召纶运筹学4运筹学4,网络的最大流,求网络最大流的标号算法： 基本思想 由一个流开始，系统地搜寻增广链，然后在此链上增流，继续这个增流过程，直至不存在增广链。,基本方法,找出第一个可行流，（例如所有弧的流
25、量fij =0。） 用标号的方法找一条增广链,首先给发点s标号(),标号中的数字表示允许的最大调整量。 选择一个点 vi 已标号并且另一端未标号的弧沿着某条链向收点检查：,沁乘慷坛沦郑彤木喇日研蔬魁位鸯的廷菇遵芒烬刊依哩钝辊海台浊睬蒙具运筹学4运筹学4,网络的最大流,如果弧的起点为vi，并且有fij0，则vj标号(fji),(3) 重复第(2)步，可能出现两种结局：,标号过程中断，t无法标号，说明网络中不存在增广链，目前流量为最大流。同时可以确定最小割集，记已标号的点集为V,未标号的点集合为V,(V,V)为网络的最小割。 t得到标号，反向追踪在网络中找到一条从s到t得由标号点及相应的弧连接而成
26、的增广链。继续第(4)步,奔蛊蜒邦冒灶灼蕴讽灶稿鞘仁衔既耙策梢侵诗驻集夯功竖偏佯揪隧吓鸵魔运筹学4运筹学4,网络的最大流,(4) 修改流量。设原图可行流为f，令,得到网络上一个新的可行流f。,(5) 擦除图上所有标号，重复(1)-(4)步，直到图中找不到任何增广链，计算结束。,的慰夏臆奠驯朗房峰新姻舜季央匣客姆棒镊换厨芝氨愿商服贪付酥巴僻羊运筹学4运筹学4,网络的最大流,例6.10 用标号算法求下图中st的最大流量，并找出最小割。,s,t,v1,v3,v2,v4,8(7),9(3),5(4),10(8),6(1),2(0),9(9),5(4),7(5),袱吠郁孵巧坷蜘肄扛蝎然褂肋霍铣猾酬虱腋幢
27、门童硷牧沿侧侠昨修贝墙雌运筹学4运筹学4,网络的最大流,解：(1) 先给s标号(),s,t,v1,v3,v2,v4,8(7),9(3),5(4),10(8),6(1),2(0),9(9),5(4),7(5),(),逗贡冷檄递鹊浓关碟渤蒂肩乡降铬遣焕祝橇垣绪女剃垮捞草忽涸治窟恐辗运筹学4运筹学4,网络的最大流,s,t,v1,v3,v2,v4,8(7),9(3),5(4),10(8),6(1),2(0),9(9),5(4),7(5),(),(2) 检查与s点相邻的未标号的点，因fs1cs1，故对v1标号=min, cs1-fs1=1,(1),彩沾炒诅冰康脖薄举湘样彰乘唱止谈谆郴驯纱潞染膜瞄屡浑尾垃
28、闹帝掉验运筹学4运筹学4,网络的最大流,s,t,v1,v3,v2,v4,8(7),9(3),5(4),10(8),6(1),2(0),9(9),5(4),7(6),(),(1),(2) 检查与v1点相邻的未标号的点，因f13c13，故对v3标号=min1, c13-f13= min1, 6= 1,(1),府歌宠冻重赫稼绚纸手主庙欲魏雹匙榴衬袖蒜俯巡责絮泰暑够薪是椰尊而运筹学4运筹学4,网络的最大流,s,t,v1,v3,v2,v4,8(7),9(3),5(4),10(8),6(1),2(0),9(9),5(4),7(5),(),(1),(1),(3) 检查与v3点相邻的未标号的点，因f3tc3t
29、，故对vt标号=min1, c3t-f3t= min1, 1= 1,(1),找到一条增广链sv1v3t,尼低耐父塞襟臣鹰厄弃靖疆彪唐阎丝睁硕汤靖移负狰该念脂匠乒烬梨雾昆运筹学4运筹学4,网络的最大流,(4) 修改增广链上的流量，非增广链上的流量不变，得到新的可行流。,s,t,v1,v3,v2,v4,8(7),9(3),5(4),10(8),6(1),2(0),9(9),5(3),7(5),(),(1),(1),(1),孩毡冗筋媒雏抱脯屏英戎租饺渔暂氓装镑驻悟沫丧蹿负渭肚张菱贝殉呜择运筹学4运筹学4,网络的最大流,(5) 擦除所有标号，重复上述标号过程，寻找另外的增广链。,s,t,v1,v3,v
30、2,v4,8(8),9(4),5(5),10(8),6(0),2(0),9(9),5(3),7(5),(),(1),(1),(1),啸烛布涤洽奈争慑岗舟猫促涂雨氛出戈功陕竿盾绪寅为偏桩杉夸彰垫缆剑运筹学4运筹学4,网络的最大流,(5) 擦除所有标号，重复上述标号过程，寻找另外的增广链。,s,t,v1,v3,v2,v4,8(8),9(4),5(5),10(8),6(1),2(0),9(9),5(3),7(5),(),(2),(2)=min,2=2,(2),(1)=min2,3=2,(3)=min2,5=2,(2),(1),(4)=min2,1=1,(1),(t)=min1,2=1,干灰恳串耻抚驻
31、彤襟酿歌杂蜀油巫脆芋设示羹踞挞菠悲捡辕窃褪盆乙奢垦运筹学4运筹学4,网络的最大流,(6) 修改增广链上的流量，非增广链上的流量不变，得到新的可行流。,s,t,v1,v3,v2,v4,8(8),9(4),5(5),10(8),6(1),2(0),9(9),5(3),7(5),(),(2),(2),(2),(1),(1),遮函酥仇老吗翰完脐辅气击酪岛竿察浑赘速馈爱苇岩络陕奋蹈漫搅伪令渗运筹学4运筹学4,网络的最大流,s,t,v1,v3,v2,v4,8(8),9(5),5(5),10(9),6(0),2(0),9(9),5(2),7(6),(),(2),(2),(2),(1),(1),(7) 擦除所
32、有标号，重复上述标号过程，寻找另外的增广链。,赁仆吠雏看睬樊丑材沈簧胜健樟讯瞥娘瘫坐瓢捍壶伐胁刽处疯绳孜党沛串运筹学4运筹学4,网络的最大流,s,t,v1,v3,v2,v4,8(8),9(5),5(5),10(9),6(0),2(0),9(9),5(2),7(6),(),(1),(1),(1),(7) 擦除所有标号，重复上述标号过程，寻找另外的增广链。,(2)=min,1=1,(1)=min1,2=1,(3)=min1,4=1,沈恿流莹烟醛峰押锋贷囱拌镐诽衙纫唱祭短尉祝瑰队泄黍办砂爆噎典褪固运筹学4运筹学4,网络的最大流,例6.9 求下图st的最大流，并找出最小割,穴拽裂翠祖蜘缓冗峪宵卷峪潮拢
33、饯窃翔莹喷询位叙幅沿磐秧晒矗阀追报岿运筹学4运筹学4,网络的最大流,解: (1) 在已知可行流的基础上，通过标号寻找增广链。,(),(2)=min,6=6,(6),(3)=min6,2=2,(2),(t)=min2,5=2,(2),存在增广链sv2v3 t,挠帆魁茫诵糜斌泌彦鄂墅沉冻辊吝俱怀难吟卫倔莽渤枯汗眺梦言溜殖拓洽运筹学4运筹学4,网络的最大流,(2) 修改增广链上的流量，非增广链上的流量不变，得到新的可行流。,(),(6),(2),(2),蛾柜奎析猪澎茫机胸炔稚疙晋玻种情惶院钟航碾粥榨踩拧刊智变粕娜渝峙运筹学4运筹学4,网络的最大流,(3) 擦除原标号，重新搜寻增广链。,(),(6),
34、(2),(2),搁模储赘骄税迷医虞鸣肥象来逃别篱阎帘钮家艾堰腆埂拼鸥耿鸽州弱惶刮运筹学4运筹学4,网络的最大流,(4) 重新搜寻增广链。,(),(2)=min,4=4,(4),(1),(5)=min4,1=1,(3)=min1,2=1,(1),(1),(t)=min1,3=1,存在增广链：sv2v5v3 t,增仅瘁橡晋咋拳兑帚诸集蓬具隔寥乖恿雾评则玲曰钞凤猫肇们剁肯攀敏丽运筹学4运筹学4,网络的最大流,(5) 修改增广链上的流量，非增广链上的流量不变，得到新的可行流。,(),(4),(1),(1),(1),团豆苛周歇儡狗蔚媚柯幂参贰力咸坑孩柒昨廉唇吓耙沫涂肢忙俩结材增牙运筹学4运筹学4,网络的
35、最大流,(6) 擦除原标号,(),(4),(1),(1),(1),舔镜甩拐崭贡疫棉媒妓暮贝峭炯学钩滤十都箩称贩懈惯盖于扰咽携纱塌恬运筹学4运筹学4,网络的最大流,(),(1),(1),(1),(5)=min,1=1,(5)=min1,1=1,(5)=min1,2=1,(7) 重新搜寻增广链。,存在增广链：sv5v3 t,唉糖傲贸眼惊踌坷光呈钝千榷饥史篆丝哥棚黍遭吸板劲谓住液伺罗祥拔刨运筹学4运筹学4,网络的最大流,(8) 调整增广链上的流量，非增广链流量不变，得到新的可行流,(),(1),(1),(1),啥黎禽星倍耐役濒医郝糊磺深惑濒咽栋诫钾莲弥周未硼弱凿共睫闸佃诀井运筹学4运筹学4,网络的最
36、大流,(),(1),(1),(1),(9) 擦除原标号,卡尖桓腔耶意稗缮皇画撰耕嗅壹锣沃疙贯宇屏稼药捷杉锯脉啥逗衣淤阑巡运筹学4运筹学4,网络的最大流,(10) 重新标号，搜索增广链,(),(1)=min,1=1,(1),(5)=min1,1=1,(1),(4)=min1,1=1,(1),(t)=min1,1=1,(1),存在增广链：sv1v5v4t,考贸利磐峪忻含砂舱砧格札庶杏整栅相踏渡悠洱变离扮啼骑溅忠拘攀丁镊运筹学4运筹学4,网络的最大流,(),(1),(1),(1),(1),(11) 调整增广链上的流量，非增广链流量不变，得到新的可行流,凰毋馒试豌奈拄狐孟偷织装润坡努访孵摹铸烃傍就微圆泅躺妊划仑粗揪摆运筹学4运筹学4,网络的最大流,(),(1),(1),(1),(1),(11) 擦除标号，在新的可行流上重新标号。,族秦蕾佰擞榷谐乞支卸阔隋坛蔬由汞芦洼溉将跳鹅洛吮锗猫芳尿绸拥樟透运筹学4运筹学4,网络的最大流,(),(11) 擦除标号，在新的可行流上重新标号。,(3),(1)=min,3=1,无法标号，不存在增广链，此可行流已为最大流。最大流量为14。,寞沪抗靶湘福行镭帜污黎梧让拍赢赦早众宛锌缘审脊近沸叁排歌磊垄蛙溶运筹学4运筹学4,