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1、最新 料推荐 一元二次方程韦达定理的应用知识点：一元二次方程根的判别式：当0 时_方程 _ ，当=0 时_ 方程有 _ ，当2时 ,原方程永远有两个实数根 .例 2.已知关于x 的方程 kx 22( x1)xk10 有两个不相等的实数根.(1) 求 k 的取值范围 ;(2) 是否存在实数k， 使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值 ;若不存在，说明理由 .1最新 料推荐 例 3 .已知关于 x 的方程 x22(k 3) x k24k 1 0(1) 若这个方程有实数根，求 k 的取值范围;(2) 若这个方程有一个根为1 ， 求 k 的值 ;例 4.已知关于x 的一元二次方程 x
2、2(m 2) x1 m 3 02(1) 求证： 无论 m 取什么实数值， 这个方程总有两个不相等的实数根。(2) 若这个方程的两个实数根x1 , x2 满足 2x1x2m1， 求 m 的值。例5 .当 m 为何值时， 方程 8x2( m 1)x m 7 0的两根：(1)均为正数 ; (2) 均为负数 ; (3) 一个正数， 一个负数 ; (4) 一根为零 ; (5) 互为倒数 ; (6) 都大于 2.例 6 .已知a,b,c, 是 ABC的三边长，且关于x 的方程b(x21)2axc( x21)0 有两个相等的实根，求证：这个三角形是直角三角形。例 7.若 n0，关于x 的方程 x2(m2n)
3、x1 mn 0 有两个相等的正的实数根，求 m 的值。4n2最新 料推荐 课堂练习：1. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A. x22x 1 0B. x22 2x 2 0C. x22x 1 0 D. x2x 2 02.已知 x1, x2是方程 x23x10 的两个根，则11的值是（）x1x2A.3B.-3 CC.1D .133.关于 x 的二次方程 (m1)x2xm22m30的一个根为0， 则 m 的值为（）A.1B.-3C.1或 3D. 不等于 1的实数4.方程x2( k225) x(k2)0 的两根互为相反数，k 的值为（ ）A. k =5或 - 5B. k =5C. k = -5D
4、. 以上都不对5.若方程 x2mx 40的两根之差的平方为48 ， 则 m的值为（ ）A. 8B.8C.-8D. 46.已知关于x 的方程 10 x2( m3) xm70 ， 若有一个根为0， 则 m=_ ， 这时方程的另一个根是_； 若两根之和为3 ， 则 m=_ ， 这时方程的两个根为_57.已知方程x2px10 的一个根为25 ， 可求得 p=_8.若 23 是关于 x的方程2x28xk0 的一个根，则另一个根为 _， k = _ 。9.方程 2x26x50 两根为 ， 则22_,()2 = _ 。10. 要使9an24 n6 与 3n 是同类项，则n=_a11. 解下列方程：(1) (
5、2 x1)216(2)x24 x 30(3) 5x23x 2 012. 关于x 的方程 ax2(2 a1)x (a3)0 有实数根，求 a 的取值范围。3最新 料推荐 13.设 x1 , x2是方程 2x24x10 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1)(x 1)( x 1) ；(2)x1x2；12x2212x2x1(3) x.14.关于 x的方程 x2(2 a1)x(a3)0 ， 试说明无论 a 为任何实数， 方程总有两个不等实数根。15. 已知关于x 的方程 x22(m1)x3m2110 ，（ 1 ） m 为何值时，方程有两个相等的实数根？（ 2 ） 是否存在实数m ， 使方程的两
6、根x1 + x21? 若存在，求出方程的根；若不存在，请说明理x2x1由。16. 关于x 一元二次方程(cb) x22(ba) xab0有两个相等的实数根, 其中 a, b, c 是三角形三边的长 ,试判断这个三角形的形状。17. 已知Rt ABC中， 两直角边长为方程x2(2 m7) x4m(m2)0 的两根，且斜边长为13 ， 求S ABC 的值 .4最新 料推荐 韦达定理的应用测试题日期： _月_日 满分： _ 100分 姓名： _ 得分： _1. 关于 x 的方程 ax 22x10 中，如果a0 ， 那么根的情况是（）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D
7、. 不能确定2. 将方程 x24x10 的左边变成平方的形式是()A.(x2) 21B.( x2) 21C. (x - 2) 2 =5D.( x2) 255最新 料推荐 3.设 x1, x2 是方程 2x26x230 的两根，则 x12x22的值是（）A.15B.12C.6D.34.已知 x 方程 mx2nxk0( m0) 有两个实数根，则下列关于判别式的判断正确的是（）A.n24mk 0n24mk0C.n24mk0D.n24mk05.若关于x 的一元二次方程kx26x90 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为（）A. k0 D. k1且 k06.关于 x 的方程 (a2) x22axa
8、10有两个不相等的实数根，a的值为（）A. a-2B. - 2a-2且 a 2D. a-2 且 a 27.设 n 为方程 x2mxn0(n0) 的一个根，则 mn 等于 _8.如果一元二次方程x24xk 20 有两个相等的实数根，那么 k=_9. 如果关于x 的方程2x2(4k1) x2k 210 有两个不相等的实数根，那么 k的取值范围是_10. 已知 x1 , x2 是方程 x25x20 的两根，则：(1) x1x2=_； (2)x1x2=_； (3)( x1x2 )2=_11. 解下列一元二次方程：(1)2 x23x10(2)7 x24x30(3)x26 x2012. 已知关于x 的方程
9、 2x2(m1)x1m0 的一个根为4 ， 求 m 值及此方程的另一个根。13. 已知： 关于 x的一元二次方程 x22(2 m 3) x 4m214m 8 0 ， 若 m 0 ， 求证： 方程有两个不相等的实数根。6最新 料推荐 14. 若规定两数a, b 通过“”运算 , 得到4ab,即 a b=4ab.例如2 6=4 2 6=48.(1) 求 3 5 的值；(2) 求 x x+2 x-2 4=0中 x 的值。15. 求证：不论k 取什么实数，方程 x2(k6) x4(k3)0 一定有两个不相等的实数根.7最新 料推荐 8最新 料推荐 一元二次方程韦达定理的应用参考答案知识点：一元二次方程
10、根的判别式：当0时 b24ac0方程有 两个不相等的实数根，当=0时 b24ac0方程有有 两个相等的实数根，当2时 ,原方程永远有两个实数根 .分析：b24ac ( 2m)241 (8m4)配方法论证例2.已知关于x 的方程 kx 22(k1)xk10 有两个不相等的实数根 .(1) 求 k 的取值范围 ;(2) 是否存在实数k， 使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值 ;若不存在，说明理由 .（ 1） k1 且 k 0（ 2 ）不存在， k=-1 时无实数根3例 3 .已知关于x 的方程 x22(k3) xk24k10(1) 若这个方程有实数根，求 k 的取值范围 ;(2
11、) 若这个方程有一个根为1 ， 求 k 的值 ;(1)k 5（ 2） k339最新 料推荐 例 4.已知关于x 的一元二次方程x2(m2) x1 m 3 02(1) 求证： 无论 m 取什么实数值， 这个方程总有两个不相等的实数根。(2) 若这个方程的两个实数根x1 , x2 满足 2x1x2m 1，求 m 的值。（ 1）b24ac(m2) 24( 1 m3)m26m16(m 3) 27 02（ 2） 2x1x2x1x1x2 x1m 2 m 1 ， x12m 1x1 2m1，代入方程求m 的值， m10, m21217例5.当 m 为何值时， 方程 8x2( m1)x m 7 0的两根：(2)
12、 均为正数 ; (2) 均为负数 ; (3) 一个正数，一个负数 ; (4) 一根为零 ; (5) 互为倒数 ; (6)都大于 2.分析：b24ac (m1)24 8( m7) 0两根之和和两根之积去判断。例6.已知 a,b,c, 是 ABC的三边长，且关于 x 的方程 b(x2 1) 2ax c( x21) 0 有两个相等的实根，求证：这个三角形是直角三角形。证明：b24ac4a24(bc)(bc) 0a2c2b2例7.若 n0，关于x 的方程 x2(m2n)x1 mn 0 有两个相等的正的实数根，求 m 的值。4n分析：(m2n)2mn( mn)(m4n)0m1,4n课堂练习：10最新 料
13、推荐 1. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ C ）A. x22x 1 0B. x22 2x 2 0C. x22x 1 0 D.x2x 2 02.已知 x1, x2是方程 x23x10 的两个根，则 11 的值是（A ）x1x2A.3B.-3 CC.1D .133.关于 x 的二次方程 (m1)x2xm22m30的一个根为0， 则 m的值为（ B ）A.1B.-3C.1或 3D. 不等于 1的实数4.方程x2( k225) x(k2)0的两根互为相反数，k 的值为（C ）A. k =5或 - 5B. k =5C. k = -5D. 以上都不对5.若方程 x2mx 40的两根之差的平方为48
14、 ， 则 m的值为（ A）A. 8B.8C.- 8D. 46.已知关于x 的方程 10 x2(m3) xm70 ， 若有一个根为0 ， 则 m=_7 _ ， 这时方程的另一个根是 _0_； 若两根之和为3， 则 m=_ -9 _,这时方程的两个根为_55 ， 可求得 p=_ x1 8 , x27.已知方程x2px10 的一个根为21_58.若 23 是关于 x的方程2x28xk0 的一个根，则另一个根为23 ， k = _2_ 。9.方程 2x26x50 两根为 ， 则22_14 _,()2 = _19 _ 。2n10. 要使9an4 n6 与3则 n=_ _2 或 3_是同类项，a11. 解
15、下列方程：(1) (2 x1)216(2)x24 x 30(3) 5x23x2 05, x23x11, x23x121x12, x22512. 关于x 的方程 ax2(2 a1)x(a3)0 有实数根，求 a 的取值范围。1a且 a0813. 设 x1 , x2 是方程 2x24x10 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：11最新 料推荐 (1) (x11)( x21) ；(2)x1x2；(3) x12x22.x2x1（ 1） 72(2)6(3)314. 关于 x 的方程 x2(2 a1)x(a3)0 ， 试说明无论a 为任何实数， 方程总有两个不等实数根。分析：(2 a1)24(a3)4
16、a21115. 已知关于x 的方程 x22(m1)x3m2110 ，（1 ） m 为何值时，方程有两个相等的实数根？（2 ） 是否存在实数m ， 使方程的两根x1 + x21? 若存在， 求出方程的根；若不存在，请说明理x2x1由。(1)4(m 1)24(3m 211)8m28m480 ， m1 2, m23（ 2） x2x1( x1x2 )221，可得 3m24m 70 ，解得 m17 , m1x1x2x 1 x2316. 关于 x一元二次方程(c b) x22(ba) xab0 有两个相等的实数根, 其中 a, b, c 是三角形三边的长 ,试判断这个三角形的形状。解答：4( ba)24(
17、ab)(cb)4(ab)(ac)0 ， a b 或 ac等腰三角形17. 已知Rt ABC中， 两直角边长为方程x2(2 m7) x4m(m2)0 的两根，且斜边长为13 ， 求12最新 料推荐 S ABC 的值 .答案： m5, S ABC30韦达定理的应用测试题日期： _月_日 满分： _ 100 分 姓名： _ 得分： _1.关于 x 的方程 ax 22x10中， 如果 a0 ， 那么根的情况是（C ）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 不能确定2.将方程 x24x 10的左边变成平方的形式是( D)A.(x2) 21B.( x2) 21C. (x -
18、 2) 2 =5D.( x 2) 253.设 x1, x2 是方程 2x26x230 的两根， 则 x12x22 的值是（ C）A.15B.12C.6D.34.已知 x 方程 mx2nxk0( m0) 有两个实数根，则下列关于判别式的判断正确的是（D ）A.n24mk0n24mk0C. n24mk0D.n24mk 05.若关于 x 的一元二次方程kx26x90 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为（D）A. k0D. k1 且 k06.关于 x 的方程 (a2) x22axa10 有两个不相等的实数根，a的值为（ C）A. a-2B. - 2a-2且 a 2D. a-2且 a 27.设
19、n为方程 x2mxn0(n0) 的一个根，则 mn等于 _-1_ _13最新 料推荐 8. 如果一元二次方程x24x k 20 有两个相等的实数根，那么 k=_ _2 _9. 如果关于x的方程 2x2(4 k1)x2k 21 0 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 _k9_810. 已知 x1 , x2 是方程x25x 20 的两根，则：(1)x1x2=_-5_ _ ； (2)x1x2=_ 2 _ ； (3)( x1x2 )2=_ 17_ _11. 解下列一元二次方程：(1)2 x23x1 0(2)7 x24x30(3) x26 x 20( 2x1)x(1)0(7 x3)( x1)0x
20、372x11, x 21x1312, x2712. 已知关于x 的方程 2x2(m1)x1m0 的一个根为4 ， 求 m值及此方程的另一个根。m29 , x165513. 已知： 关于 x的一元二次方程 x22(2 m 3) x 4m214m 8 0 ， 若 m 0 ， 求证： 方程有两个不相等的实数根。14. 若规定两数a, b通过“ ”运算 , 得到 4ab,即 a b=4ab.例如 2 6=4 2 6=48.(1) 求 3 5的值；(2)求 x x+2 x-2 4=0中 x 的值。（ 1） 4x3x5=60（ 2） x14, x2 215. 求证：不论k 取什么实数，方程 x2(k 6) x 4(k 3) 0 一定有两个不相等的实数根 .分析：b24ac (k 6) 216(k 3)014