《专题一阿基米德三角形的性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题一阿基米德三角形的性质.docx（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、最新 料推荐阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的。阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为x2=2py ，称弦 AB 为阿基米德三角形的底边，M 为底边 AB 的中点， Q 为两条切线的交点。性质 1阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。性质 2阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点C，则另一顶点 Q 的轨迹为。性质 3抛物线以 C 为中点的弦与Q 点的轨迹。性质 4若直线 l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。
2、性质 5底边长为 a 的阿基米德三角形的面积的最大值为。性质 6若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点 Q 的轨迹为抛物线的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。性质 7在阿基米德三角形中，QFA= QFB 。性质 8在抛物线上任取一点I（不与 A、B 重合），过 I 作抛物线切线交QA、QB 于 S、T，则 QST的垂心在上。性质 9|AF| |BF|=|QF |2.性质 10QM 的中点 P 在抛物线上，且P 处的切线与 AB。性质 11在性质 8 中，连接 AI 、BI ，则 ABI 的面积是 QST 面积的倍。1最新 料推荐高考题中的阿基米德三角形例 1（2005江西卷，理22 题）如图，
3、设抛物线 C : y = x2的焦点为 F，动点 P 在直线 l : x -y - 2 = 0上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、 PB，且与抛物线C 分别相切于 A、 B 两点 .（ 1）求 APB 的重心 G 的轨迹方程 .（ 2）证明 PFA= PFB.y1AB22FB）设切点、坐标分别为 (x, x0)和(x1, x1)( x1 1 x0 ) ，l解：（Ax切线 AP 的方程为： 2x 0x -y -x02= 0;O切线 BP 的方程为：2x1x - y - x12= 0;P解得 P 点的坐标为： xP=x 0 + x1 , yP= xx120所以 APB 的重心 G 的坐
4、标为，y+ y+ y=x2+ x 2+ xx=(x+ x )2- xx4xP2 - yp,yG =01P01010101=3333所以 yp= - 3yG+ 4x2，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：Gx - (- 3y + 4x ) - 2 = 0,即y = 1 (4 x - x + 2).22uur3uuuruuur21(x 0 + x1 , x x12 -1（ 2）方法 1：因为 FA= (x, x-), FP =-), FB = (x, x).0042014114uuur由于 P 点在抛物线外，则| FP |1 0.uuuruuurx0 + x1?x0( x0
5、 x1 -1)( x02 -1 )x0x1 +1FP FA=244=uuur4 , cos ? A FPuuuruuur| FP| FA|uuur2212| FP| FP |+ (x-x00)4uuuruuurx0+ x1 ?x1(x0x1 -12 -1x0x1 +1)( x1)同理有 cos? BFPFP FB=244=uuur4 ,uuuruuur| FP| FB|uuur2212| FP| FP |+ (x-x11)4 AFP = PFB.方法 2：当 x1x0 =0时,由于 x1 ? x0, 不妨设 x00,则 y0=0, 所以 P 点坐标为 (x1 , 0) ，则 P 点到2| x
6、|1x2 -1直线 AF 的距离为： d1 =14 x,1; 而直线 BF 的方程 : y -=x1242最新 料推荐即 (x - 1 )x - x y + 1 x = 0.2141412-1 x+x1 |(x2+1| x| (x1)11)1| x1 |所以 P 点到直线 BF 的距离为： d2 =424=42=(x12 - 1 )2 + (x1 )2x12 +1244所以 d1= d2，即得 AFP= PFB .1x 2-111当 x1x 01 0 时，直线 AF 的方程：y -=04(x -2-4x 0 -00), 即(x0)x - x0y + x0 = 0,4421直线 BF 的方程：
7、y -1=x1 -4 (x - 0),即(x12 -1x1y +1x1=0,4x1 -)x -404所以 P 点到直线 AF 的距离为：21x0 + x121| =x0 - x121) =d1 =| (x0- 4 )(2) - x0x1+ 4 x0|2)( x0+4| x0 - x1 | ，(x02 -1 )2 + x 02x02 + 1244同理可得到 P 点到直线 BF 的距离 d 2=| x1 -x0| ，因此由 d1=d2，可得到 AFP= PFB2例 2(2006 全国卷，理21 题)已知抛物线 x2 4y 的焦点为 F， A、B 是抛物线上的两动点，且AF FB （ 0）过 A、B
8、 两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明 FM AB 为定值；（）设 ABM 的面积为 S，写出 S f()的表达式，并求S 的最小值解： ( )由已知条件，得F(0， 1)， 0设 A(x1， y1)， B( x2， y2)由 AF FB ，即得( x1， 1 y) (x2， y2 1)， x1x21 y1(y2 1)11将式两边平方并把y1x12， y2 x22 代入得y1 2y2 441解、式得y1 ， y2 ，且有 x1x2 x22 4y2 4，11抛物线方程为y x2，求导得 y x423最新 料推荐所以 抛物 上A、 B 两点的切 方程分 是11y 2x1(x x1) y1，
9、y 2x2(x x2) y2，1111即 y 2x1x4x12， y 2x2x 4x22x x2x xx x211 21解出两条切 的交点M 的坐 ( 2， 4) (2 ， 1)4分 x1 x2111所以 FM AB (2， 2) (x2 x1， y2 y1)(x22 x12) 2( x22 x12) 0244 7分所以 FM AB 定 ，其 01( )由 ( )知在 ABM 中， FM AB，因而 S2|AB|FM |x1 x2111|FM |(2 )2 (2)24x124x22 2x1x2 4111y y ( 4) 4 2 12 2因 |AF|、 |BF|分 等于 A、 B 到抛物 准 y
10、 1 的距离，所以1 2 (1|AB | |AF| |BF | y1 y2 2)2 于是S112|AB|FM | ()3，1由 2知 S4，且当 1 ， S 取得最小 4例 3（ 2007 江 卷，理19 ）如 ，在平面直角坐 系xOy 中， y 正方向上一点 C (0,c) 任作一直 ，与抛物 y = x2 相交于 AB 两点，一条垂直于x 的直 ，分 与 段 AB 和直 l : y = -c 交于 P ,Q ，uuuruuur2 ，求 c 的 ；（ 5 分）（ 1）若 OA ?OB（2）若 P 段 AB 的中点，求 ： QA 此抛物 的切 ； （ 5 分）（ 3） （ 2）的逆命 是否成立
11、？ 明理由。（4 分）1Cy = kx + c2()） 点的直 ，所以 x= kx + c c 0 ，即解：（2A(x1 , y1 ), B (x2, y2 )，uuur= x1, y1)uuuruuur uuurx-kx - c = 0， OA，OB =x, y，因 OA ?OB2，所以( 22 )x1x21 2= 21 2( 1)( 2 )1 22( 12 )21 2+ y y，即 x x + kx + c kx + c = 2 ， x x + k x x - kc x + x + c = 24最新 料推荐所以 - c - k 2c + kc gk + c2 = 2 ，即 c2 - c -
12、 2 = 0, 所以 c = 2 (舍去 c = - 1)（ 2 ） 设 过 Q的 切 线 为 y - y1 = k1 (x - x1 ) ， y / = 2x， 所 以 k1 = 2x1， 即骣cy = 2xx - 2x2+ y= 2xx - x2y = - c 的 交 点 为?x1-， 又11111， 它 与M ?,?c?2x1桫2骣+ x 2 y + 1y 骣2骣c?x12 k kk-=x?Q?,?= ?， 所 以= - c2 ， 所 以P,?- c ， 因 为 x x, 所 以?c1 2?x?桫2122桫22桫骣x2骣?x1kM?+, - c?, - cQA 为此抛物线的切线。= ?,
13、所以点 M 和点 Q 重合，也就是?2桫桫22骣x骣（ 3）（ 2）的逆命题是成立，由（2）可知 Q?k,轴，所以 P?k, y?- c ，因为 PQ ?P ?桫2桫2因为 x1 + x2 =k ，所以 P 为 AB 的中点。22例 4（ 2008 山东卷，理 22 题）如图，设抛物线方程为x 2 = 2 py( p 0) ， M 为直线 y = - 2p 上任意一点，过 M 引抛物线的切线，切点分别为A，B （）求证： A，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（）已知当 M 点的坐标为 (2，- 2p ) 时， A B = 410 求此时抛物线的方程；（）是否存在点 M ，使得点 C 关于直线
14、 AB 的对称点 D 在抛物线uuuruuuruuurx 2 = 2py (p 0) 上，其中， 点 C 满足 OC = OA + OB （ O 为坐标原点）若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由骣2鼢骣2珑x1x2珑，鼢，解：（）证明：由题意设 A x，B xx x鼢M ( x - 2p ) 珑鼢2120珑12p鼢桫2p桫由 x 2 = 2py 得 y = x2 ，得 y = x ，2pp所以 kMA =x1x2， kMB =pp5最新 料推荐因此直线 MA 的方程为 y + 2p=x1 (x - x0 ) ，直线 MB 的方程为 y + 2p =x2 (x - x0
15、) ppx12x1(x1 - x0 ) ，x22x2( x2- x0 ) 所以+ 2p =2p+ 2p =2ppp由、得 x1 + x 2 = x1 + x2 -x0 ，2因此 x0=x1 + x2 ，即 2x0 = x1 + x2 2所以 A，M ，B 三点的横坐标成等差数列（）解：由（）知，当 x0= 2 时，将其代入、并整理得：x12 - 4x1 - 4 p2 = 0 ， x22 - 4x2 - 4 p2= 0 ，所以 x1， x2 是方程 x 2 - 4x - 4p2 = 0 的两根，因此 x1 + x2 = 4 ， x1x2 = - 4p 2 ，x22x122-x1 + x2 =x0
16、 ，所以 kAB =又 kAB= 2p2p =p x 2 - x12pp由弦长公式得A B =1 + k 2( x1 + x2 )2 - 4x1x2= 1 +416 + 16p 2 p2又 A B = 4 10 ，所以 p = 1 或 p = 2 ，因此所求抛物线方程为x2= 2y 或 x 2 =4y （）解：设 D (x 3，y 3 ) ，由题意得 C (x1 +x2， y1 + y2 ) ，骣+ x2 + x 3 y1+ y2+ y 3 x1则 CD 的中点坐标为?，Q ?，?22桫设直线 AB 的方程为 y - y1 =x0(x - x1 ) ，p6最新 料推荐骣+ x2 y1 + y2x 0x1由点 Q 在直线上，并注意到点?，上，代入得AB?也在直线ABy3=x3 ?p?22桫若 D ( x3， y3 ) 在抛物线上，则x32 = 2py3=2x0x 3 ，骣2?2x0因此 x= 0x= 2xD (0，0) 或 D，3或30 即?2x?0?p桫（ 1）当 x0= 0 时，则 x1 + x 2 = 2x0 = 0 ，此时，点 M (0，-2p ) 适合题意骣x22x12 + x22x2+ x22?1+ x212）当 x1 0?，=，（，对于D (0，0) ，此时 C 2x0，2p0?k=4 px?2p0桫CD2x0又 kABx0， AB CD