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1、.万有引力和航天知识的归类分析一、核心知识万有引力定律和航天知识的应用离不开两个核心1、 一条主线G Mmma m v2mw2 r m ( 2 )2 ，本质上是牛顿第二定律，即万有引力提供天体做r 2rT圆周运动所需要的向心力。2、 黄金代换式GMgR2 , 此式往往在未知中心天体的质量的情况下和一条主线结合使用二、具体应用应用一、卫星的v、 、 T、 a 向与轨道半径r 的关系及应用1、理论依据：一条主线Mmmav22r m (22G2mmw)rrT2、实例 1如图所示 ,a、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,它们距地面的高度分别是R 和 2R(R为地球半径 ).下列说法中正确的是
2、()A.a 、 b 的线速度大小之比是 1B.a、 b 的周期之比是12C.a、 b 的角速度大小之比是3 4D.a 、 b 的向心加速度大小之比是94应用二、测量中心天体的质量和密度1、方法介绍方法一、“ T 、 r ”计算法在知道“ T、 r”或“ v、 r”或“ 、 r”的情况下，根据一条主线均可计算出中心天体的质量，这种方法统称为“T 、r”计算法。在知道中心天体半径的情况下利用密度公式还可以计算出中心天体的密度。方法二、“ g、R ”计算法利用天体表面的重力加速度g 和天体半径 R.Mmmg ,故天体质量gR2,天体密度MM3g由于 G2MV44.RG33RGR2、实例分析已知万有引
3、力常量 G,地球半径 R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1 ，地球的自转周期T2 ，地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条.件，提出一种估算地球质量M 的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由Mm2 22h3h得M4 G 2m( )2hT2GT2(1) 请判断上面的结果是否正确 ,并说明理由 .如不正确 ,请给出正确的解法和结果。(2) 请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。应用三、双星问题1、双星问题的特点靠双星间的万有引力提供双星做圆周运动的向心力双星做圆周运动的圆心在双星间的连线上的某点两星球做圆周运动的周期和角速度相等实例 3：在天
4、体运动中， 将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为，质量分别为和，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。.应用四、第一宇宙速度的计算第一宇宙速度=最小发射速度=最大环绕速度1、第一宇宙速度的计算方法2方法 1、根据 G Mmm v计算r 2r方法 2、根据 vgR ，特别注意g 可以和有关抛体运动的知识联系在一起2、实例 4(2009?北京 ) 已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响.(1)推导第一宇宙速度v1 的表达式；(2) 若卫星绕地球做匀速
5、圆周运动，运行轨道距离地面的高度为h，求卫星的运行周期T.应用五、卫星的变轨问题1、问题突破口卫星变轨问题必定和离心和向心运动联系在一起， 当卫星从高轨道运动到低轨道时做向心运动， 此时卫星受到的万有引力大于向心力； 当卫星从低轨道运行到高轨道的时做离心运动，此时卫星受到的万有引力小于向心力。实例 5(1) 如图所示 ,假设月球半径为 R,月球表面的重力加速度为 g0,飞船在距月球表面高度为 3R 的圆形轨道运动 ,到达轨道的 A 点时点火变轨进入椭圆轨道 ,到达轨道的近月点 B 再次点火进入月球近月轨道绕月球做圆周运动 .求 :(1) 飞船在轨道上的运行速率 .(2) 飞船在 A 点处点火时
6、 ,动能如何变化 ?(3) 飞船在轨道绕月球运行一周所需的时间.(2) 我国发射的“嫦娥一号”探月卫星简化后的路线示意图,如图所示 ,卫星由地面发射后,经发射轨道进入停泊轨道,然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道,经过几次制动后进入工作轨道,卫星开始对月球进行探测.已知地球与月球的质量之比为a,卫星的停泊轨道与工作轨道半径之比为b,卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速圆周运动,则 ()aA. 卫星在停泊轨道和工作轨道运动的速度之比为bbB.卫星在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为aC.卫星在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度D.卫星从停泊轨道转移到地月转移轨道,卫星必须加速(3)
7、 某人造卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变。每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动，某次测量卫星的轨道半径为，后来变为，以、表示卫星在这两个轨道上的线速度大小，、表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则（）A，B，C，D ，.应用六、卫星的追及问题1、问题突破口卫星的追及问题关键找到两卫星追及过程中所转过的角度关系。从第一次相距最近到第二次相距最近，两卫星转过的角度差为2从第一次相距最远到第二次相距最远，两卫星转过的角度差为2、实例 6：两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R， a 卫星离地面的高度等于R，b 卫星离地面高度为3R，则：（1） a、
8、 b 两卫星运行周期之比 Ta : Tb 是多少？（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，则 a 至少经过多少个周期与b 相距最远？应用七、天体运动中的超重和失重问题1、 问题突破口超重和失重问题本质上是牛顿第二定律的应用， 此类问题要特别注意随着高度的变化重力加速度 g 也变化2、 实例 7某物体在地面上受到的重力为160N，将它放置在卫星中， 在卫星以加速度 a1g 随火2箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90N 时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径R=6.4103 km ， g 取 10 m s2 ）.应用八、天体运动和抛体运动的结合问题1、 关键点利
9、用抛体运动求出该地的重力加速度2、实例 8(1).在太阳系中有一颗行星的半径为R,若在该星球表面以初速度v0 竖直上抛一物体,则该物体上升的最大高度为H.已知该物体所受的其他力与行星对它的万有引力相比较可忽略不计 (万有引力常量G 未知 ).则根据这些条件,可以求出的物理量是()A. 该行星的密度B.该行星的自转周期C.该星球的第一宇宙速度D.该行星附近运行的卫星的最小周期(2).宇航员在月球上将一小石块水平抛出,最后落在月球表面上.如果已知月球半径R,万有引力常量G.要估算月球质量,还需测量出小石块运动的物理量是()A. 抛出的高度h 和水平位移xB.抛出的高度h 和运动时间tC.水平位移x
10、 和运动时间tD.抛出的高度h 和抛出点到落地点的距离L应用九、在赤道上的物体、近地卫星和同步卫星的比较1、关键点（ 1）在赤道上的物体和同步卫星具有相同的 和 T（ 2）近地卫星和同步卫星均由各自受到的万有引力提供向心力，往往根据 F 万=F 向建立方程分析2、实例 9（ 1）地球赤道上有一物体随地球自转而做圆周运动，所受到的向心力为F 1，向心加速度为 a111(高度忽略 )所，线速度为v ，角速度为 ；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星受到的向心力为F2，向心加速度为222a ，线速度为v ，角速度为 ；地球同步卫星所受到的向心力为 F 33，线速度为33g，向心加速度为av，角速度为
11、；地球表面的重力加速度为第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则()A. F F F3B.a a ga3C.v v vv3D. 121212132（ 2）同步卫星距地心间距为r ，运行速率为v1 ，加速度为 a1 .地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2 ，地球半径为 R.第一宇宙速度为v2，则下列比值正确的是 ()a1ra1r 2C.v1RD.v1rA.RB.()v2rv2Ra2a2R.参考答案实例 1:思路点拨 ： (1)谁提供 a、 b 两颗卫星的向心力?(2) 如何选择向心力公式?小结：轨道模型：在中心天体相同的情况下卫星的r 越大 v、 、 a 越小， T 越大， r 相同，则卫
12、星的v、 a、 T 也相同， r 、 v、 、 a、 T 中任一发生变化其它各量也会变化。实例 2：解析 (1)上面结果是错误的,地球的半径 R 在计算过程中不能忽略。正 确的 解 法 和 结 果 :Mm2 2得23( R h)4 ( R h )Gm( )M2( R h)2T2GT2(2) 解法一 在地面物体所受的万有引力近似等于重力 ,由GMm解得gR2R2mg,MG解法二对月球绕地球做圆周运动,Mm2 2G2m( ) r ,23rT14 r得M2GT1实例 3：分析：双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等。但两
13、者做匀速圆周运动的半径不相等。解：设行星转动的角速度为，周期为（ 1）如图，对星球，由向心力公式可得：同理对星球有：.两式相除得：（即轨道半径与质量成反比）又因为所以，（2）因为，所以（3）因为，所以说明：处理双星问题必须注意两点（1）两颗星球运行的角速度、周期相等；（2）轨道半径不等于引力距离（这一点务必理解）。弄清每个表达式中各字母的含义，在示意图中相应位置标出相关量，可以最大限度减少错误。实例 4：【解析】 (1) 设卫星的质量为m，地球的质量为M，地球表面附近满足G Mm mg，解得 GM R2gR2卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力2 G Mmm v1RR2 式代入 式，得到
14、 v1Rg(2)考虑 式，卫星受到的万有引力为FGMmmgR2(R h) 2(R h )224(R h)由牛顿第二定律F m 2T 式联立解得 T 2 ( R h) 3Rg.实例 5：(1) 解析 :设月球的质量为 M, 飞船的质量为 m,则Mmv2Mmmg0Gm, G(4R)24RR2解得1vg0 R2(2) 动能减小 .2 2(3) 设飞船在轨道绕月球运行一周所需的时间为R,T,则 mg0 m( )故2 R .TTg0(2) AD(3) 分析：空气阻力作用下，卫星的运行速度首先减小，速度减小后的卫星不能继续沿原轨道运动，由于而要作近（向）心运动，直到向心力再次供需平衡，即，卫星又做稳定的圆
15、周运动。如图，近（向）心运动过程中万有引力方向与卫星运动方向不垂直，会让卫星加速，速度增大（从能量角度看，万有引力对卫星做正功，卫星动能增加，速度增大），且增加的数值超过原先减少的数值。所以、，又由可知。解：应选 C 选项。说明： 本题如果只注意到空气阻力使卫星速度减小的过程，很容易错选B 选项，因此，分析问题一定要全面，切忌盲目下结论。卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个技术。.以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析：如图，在轨道远点， 万有引力，要使卫星改做圆周运动，必须满足和， 而在远点明显成立，所以只需增大速度， 让速度增大
16、到成立即可， 这个任务由卫星自带的推进器完成。“神舟”飞船就是通过这种技术变轨的，地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的。实例 6分析： 两卫星周期之比可按基本思路处理；要求与相距最远的最少时间，其实是一个追及和相遇问题， 可借用直线运动部分追及和相遇问题的处理思想，只不过， 关键一步应该变换成“利用角位移关系列方程”。解： （ 1）对做匀速圆周运动的卫星使用向心力公式可得：.所以（ 2）由可知：，即 得更快。 两 星相距最 ， 由 可得：（、 2、 3）其中 的 最短。而，所以，得 明： 周运 中的追及和相遇 也 “利用（角）位移关系列方程”。当然，如果能直接将角位移关系 化成 圈数
17、关系，运算 程更 ， 但不如利用角位移关系容易理解，而且可以和直 运 中同 的解法 一起来， 比 方便。 常 情况下的角位移关系如下， 自行 合运 程示意 理解。 ， ： 例 7：分析：物体具有 直向上的加速度， 于超重状 ， 物体 支持物的 力大于自身 重力；而由于高空重力加速度小于地面重力加速度， 同一物体在高空的 重力又小于在地面的 重力。.解： 如图，设此时火箭离地球表面的高度为，火箭上物体对支持物的压力为，物体受到的重力为根据超、失重观点有可得而由可知：所以说明：航天器在发射过程中有一个向上加速运动阶段，在返回地球时有一个向下减速阶段，这两个过程中航天器及内部的物体都处于超重状态；
18、航天器进入轨道作匀速圆周运动时，由于万有引力 （重力）全部提供向心力， 此时航天器及内部的所有物体都处于完全失重状态。实例 8: （ 1） CD（ 2） B实例 9：（ 1） D【解析】放在地面上的物体随地球自转的向心加速度是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供 .而环绕地球运行的向心加速度完全由地球对其的引力提供 .对应的计算方法也不同 .设地球自转的角速度为，R 为地球的半径， 物体在赤道上随地球自转和地球同步卫星相比.角速度 13 线速度 v1Rv3 (R h)向心力 F 1 mR2F 3 m(R h)2向心加速度22a1 R因为 v 1，所以 vr2v3因为 F G Mm ，所以 F 2F3r 2因为 a GM ，所以 a2a3（ 2） ACr 2【解析】 设地球的质量为M，同步卫星的质量为m1，地球赤道上的物体的质量为m2，根据向心加速度和角速度的关系，有：a22R，因 1 2 故a1r ，则选 A11 r， a22a2RMmv 2，Mm2v2v1R，则 C 选项正确 .正确 .由万有引力定律有 G112，故 v2r2m1 rGRm2 Rr【答案】 AC【思维提升】 本题的关键是明确二个运动及关系式的选择 .实际上是在地面上的圆周运动和空中的圆周运动两个运动模型 .