小学五年级奥数—数论之同余问题.docx

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1、4 个量的关系。最新 料推荐一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a 是整数， b 是整数（ b 0） , 若有 a b=q r ，也就是a b q r,0 r b；我 称上面的除法算式 一个 余除法算式。 里：(1) 当 r 0 ：我 称 a 可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或完全商(2) 当 r 0 ：我 称 a 不可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或不完全商一个完美的 余除法 解模型 :如 ， 是一堆 ，共有a 本， 个a 就可以理解 被除数， 在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色， 打包后共打包了c 捆，那么 个c 就是商，最后 剩余d 本， 个d

2、 就是余数。 个 能 学生清晰的明白 余除法算式中并且可以看出余数一定要比除数小。二、三大余数定理：1. 余数的加法定理a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分 除以 c 的余数之和，或 个和除以c 的余数。例如： 23， 16 除以 5 的余数分 是3 和 1，所以 23+16=39 除以 5 的余数等于 4，即两个余数的和 3+1.当余数的和比除数大 ，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。例如： 23， 19 除以 5 的余数分 是3 和 4，故 23+19=42 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数，即2.2. 余数的乘法定理a 与 b 的乘 除以 c 的余数

3、，等于a,b 分 除以 c 的余数的 ，或者 个 除以c 所得的余数。例如： 23， 16 除以 5 的余数分 是3 和 1，所以 23 16 除以 5 的余数等于 3 1=3。当余数的和比除数大 ，所求的余数等于余数之 再除以c 的余数。例如： 23，19 除以 5 的余数分 是3 和 4，所以 23 19除以 5 的余数等于3 4 除以 5 的余数，即 2.3. 同余定理若两个整数a、b 被自然数m除有相同的余数，那么称 a、b 于模 m同余，用式子表示 ：a b ( modm ) ，左 的式子叫做同余式。同余式 作：a 同余于 b，模 m。由同余的性 ，我 可以得到一个非常重要的推 ：若

4、两个数a， b 除以同一个数m得到的余数相同， a， b 的差一定能被m整除用式子表示 ：如果有a b ( mod m )，那么一定有a b mk,k 是整数，即m|(a b)1最新 料推荐三、弃九法原理：在公元前9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本花拉子米算术，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式12341898 18922678967 1789028899231234 除以 9 的余数为11898 除以 9 的余数为818922 除以 9 的余数为 4678967 除以 9

5、的余数为7178902 除以 9 的余数为0这些余数的和除以9 的余数为2而等式右边和除以9 的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9 的余数的和再除以9 的余数一定与等式右边和除以9 的余数相同。而我们在求一个自然数除以9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9 的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9 一个 9 的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法” 。所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9 同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整

6、数被9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9 除的余数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检验算式9+9=9 时，等式两边的除以9 的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2 两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。四、中国剩余定理：1. 中国古代趣题：中国数学名著孙子算经里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问

7、物几何？”答曰：“二十三。”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3 人一列2最新 料推荐余 1 人、 5 人一列余 2 人、 7 人一列余 4 人、 13 人一列余 6 人。刘邦茫然而不知其数。我 先考 下列的 ：假 兵不 一万，每5 人一列、 9 人一列、 13 人一列、 17 人一列都剩 3 人， 兵有多少？首先我 先求 5、 9、 13、 17 之最小公倍数 9945（注：因 5、 9、 13、 17 两两互 的整数，故其最小公倍数 些数的 ） ，然后再加 3，得 9948（人）。

8、子算 的作者及确 著作年代均不可考，不 根据考 ，著作年代不会在晋朝之后，以 个考 来 上面 种 的解法，中国人 得比西方早，所以 个 的推广及其解法，被称 中国剩余定理。中国剩余定理（ Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。2. 核心思想和方法： 于 一 ，我 有一套看似繁 但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我 就以 子算 中的 例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二， 物几何？ 目中我 可以知道，一个自然数分 除以3，5，7 后，得到三个余数分 2，3，2. 那么我 首先构造一个数字，使得

9、 个数字除以3 余 1，并且 是5 和 7 的公倍数。先由 5735，即 5 和 7 的最小公倍数出 ，先看35 除以 3 余 2，不符合要求，那么就 看5 和7 的“下一个”倍数35 270 是否可以，很 然70 除以 3 余 1 似的，我 再构造一个除以5 余 1，同 又是3 和 7 的公倍数的数字， 然21 可以符合要求。最后再构造除以7 余 1，同 又是3， 5 公倍数的数字，45 符合要求，那么所求的自然数可以 算：270321245k3,5,7233k3,5,7 ，其中 k 是从 1 开始的自然数。也就是 足上述关系的数有无 多，如果根据 情况 数的范 加以限制，那么我 就能找到所

10、求的数。例如 上面的 加上限制条件“ 足上面条件最小的自然数”，那么我 可以 算2703212452 3,5,723 得到所求如果加上限制条件“ 足上面条件最小的三位自然数”,我 只要 最小的23 加上 3,5,7即可，即23+105=128。例 精 ：【模块一：带余除法的定义和性质】【例 1 】 ( 第五届小学数学 决 ) 用某自然数a 去除 1992 ，得到商是46，余数是 r ，求 a 和 r 【解析】因 为1992是 a 的46倍 多 r , 得到1992，得，所以a 43，46 43.14199246 43 14r14 3最新 料推荐【巩固】 (清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和

11、是1088，甲数除以乙数商11余 32 ，求甲、乙两数【解析】 ( 法 1) 因为 甲乙1132 ，所以 甲乙乙 1132乙 乙12321088；则乙(1088 32)1288，甲 1088乙1000( 法 2) 将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088 中减掉32 以后， 1056 就应当是乙数的 (111) 倍，所以得到乙数105612 88，甲数1088881000 【巩固】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。【解析】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题- 即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的

12、倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差” ，也可以得到一个除数的倍数。本题中310-37=273 ，说明273 是所求余数的倍数，而273=37 13，所求的两位数约数还要满足比 37 大，符合条件的有39， 91.【例 1】 ( 2003年全国小学数学奥林匹克试题) 有两个自然数相除，商是17，余数是 13 ，已知被除数、除数、商与余数之和为，则被除数是多少？2113【解析】被除数除数商余数被除数除数 +17+13=2113，所以被除数除数 =2083，由于被除数是除数的17 倍还多 13，则由“和倍问题”可得：除数=（ 2083-13 ）（ 17+1） =115，所以被除数=2083

13、-115=1968 【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这 2 个自然数各是多少？【解析】本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y ，可以得到x 40 y 16, 解方程组得x856856，21.x y 40 16 933y21，即这两个自然数分别是【例 2 】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题) 三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31 所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_， _， _ 。【解析】设所得的商为 a ，除数为b (19ab)(23ab) (31ab) 20

14、01，73a，由b19，3b 2001可求得 a 27 ， b10所以，这三个数分别是19ab523， 23ab631， 31a b847。【巩固】 ( 2004 年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11 时所得到的商和余数是相等的，除以 9 时所得到的商是余数的3 倍，这个自然数是 _【解析】设这个自然数除以11 余 a (0 a11) ，除以9 余 b (0b9) ，则有 11aa9 3b b ，即3a7b ，只有 a7 ， b3 ，所以这个自然数为12784。【例 3 】 (1997年我爱数学少年数学夏令营试题) 有48 本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人如果把

15、书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5 本，书不够如果把书全分给第二组，那么每人3 本，有剩余；每人4 本，书不够问：第二组有多少人?【解析】由 484 12 ， 4859.6知，一组是10 或 11 人同理可知 48316， 48 4 12 知，二组是13、 14 或 15 人，因为二组比一组多5 人，所以二组只能是15 人，一组10 人4最新 料推荐【巩固】一个两位数除以 13 的商是 6，除以 11 所得的余数是 6，求 个两位数【解析】因 一个两位数除以13 的商是 6，所以 个两位数一定大于 13 678 ，并且小于 13 (6 1)91；又因 个两位数除以11 余 6，而

16、78 除以 11 余 1， 个两位数 78 5 83 【模块二：三大余数定理的应用】【例 4 】有一个大于1 的整数，除45,59,101 所得的余数相同，求 个数.【解析】 这 个 没有告 我 ， 三个数除以 个数的余数分 是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我 可以得到： 个数一定能整除 三个数中的任意两数的差，也就是 它是任意两数差的公 数1014556 ， 594514， (56,14)14 ， 14 的 数有 1,2,7,14 ，所以 个数可能 2,7,14 。【巩固】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求 个数 .【解析】 ( 法 1)39336， 1473

17、144 ， (36,144)12 ， 12 的 数是 1,2,3,4,6,12 ，因 余数 3 要小于除数， 个数是4,6,12 ；( 法 2) 由于所得的余数相同，得到 个数一定能整除 三个数中的任意两数的差，也就是 它是任意两数差的公 数513912 ， 14739108 ， (12,108)12 ，所以 个数是4,6,12 【巩固】在小于 1000 的自然数中，分 除以18 及 33 所得余数相同的数有多少个?( 余数可以 0)【解析】 我 知道 18， 33 的最小公倍数 18 ， 33=198 ，所以每198 个数一次1 198 之 只有1， 2， 3， 17， 198( 余 O)这

18、 18 个数除以 18及 33 所得的余数相同，而 999 198=5 9，所以共有5 18+9=99 个 的数【巩固】 ( 2008 年仁 考 ) 一个三位数除以17 和 19 都有余数，并且除以17 后所得的商与余数的和等于它除以 19 后所得到的商与余数的和那么 的三位数中最大数是多少，最小数是多少？【解析】 设 个三位数 s，它除以 17 和 19的商分 a 和 b ，余数分 m 和 n ， s1a7 m 1b9 n根据 意可知 ambn ，所以 samsbn，即 16a18b，得 8a9b所以 a 是 9的倍数， b 是 8 的倍数此 ，由 ambn 知 nmaba81aa99由于

19、s 三位数，最小 100，最大 999，所以 100 17am999 ，而 1m16，所以 17a 1 17a m999 ， 100 17am17a16，得到 5a58，而 a 是 9 的倍数，所以 a最小 9，最大 54当 a54 ， nm16 ，而 n18，所以 m12，故此 s 最大 17 5412930 ；a9当 a9 ， n11 ，由于 m1，所以此 s最小 1791 154 ma9所以 的三位数中最大的是930，最小的是 154【例 5 】 两位自然数 ab 与 ba 除以 7 都余 1，并且 ab ，求 abba 5最新 料推荐【解析】 abba 能被 7 整除，即 (10ab)

20、 （10ba )9 （ab）能被 7 整除所以只能有ab7 ，那么 ab可能 92 和 81， 算可得当ab92 ， ba29 足 目要求，abba92292668【巩固】学校新 来118 个 球， 67 个 球拍和33 个 球网， 如果将 三种物品平分 每个班 ，那么 三种物品剩下的数量相同 学校共有多少个班？【解析】 所求班 数是除以118,67,33 余数相同的数那么可知 数 1186751和 673334的公 数，所求答案 17【巩固】 ( 2000 年全国小学数学奥林匹克 ) 在除 13511，13903 及 14589 能剩下相同余数的最大整数是 _ 【解析】 因 为 13903

21、13511392 , 1458913903686，由于 13511， 13903，14589 要被同一个数除 ，余数相同，那么，它 两两之差必能被同一个数整除 (392,686)98 ，所以所求的最大整数是98【例 6 】(2003 年南京市少年数学智力冬令 ) 22003 与 20032的和除以 7 的余数是 _ 【解析】 找 律用7 除 2， 22， 23 ， 24， 25 ， 26 ， 的余数分 是 2， 4，1， 2， 4，1，2，4，1， ,2的个数是3 的倍数 ，用7 除的余数 1； 2 的个数是3 的倍数多 1 ，用 7 除的余数 2；2 的个数是 3 的倍数多 2 ，用 7 除

22、的余数 4因 2200323 6672 ，所以 22003 除以 7 余 4又两个数的 除以7 的余数，与两个数分 除以7 所得余数的 相同而2003 除以 7 余 1，所以 20032 除以 7 余 1故 22003 与 20032 的和除以7 的余数是 4 15 【巩固】 ( 2004 年南京市少年数学智力冬令 ) 在 1995，1998 ，2000，2001， 2003 中，若其中几个数的和被 9 除余 7， 将 几个数 一 的数 共有_ 【解析】 1995， 1998， 2000 ，2001， 2003 除以 9 的余数依次是6，0， 2， 3， 5因 2 52 5 0 7 ， 2 5

23、 3 60 2 5 3 6 7 9 ，所以 的数 共有下面4 个：2000,2003 ， 1998,2000,2003 ，2000,2003,2001,1995， 1998,2000,2003,2001,1995 【例 7 】(2005 年全国小学数学奥林匹克 ) 有一个整数，用它去除70， 110， 160 所得到的 3 个余数之和是50，那么 个整数是 _【解析】 (70 110160)50 290 ，50316，除数 当是290 的大于17 小于 70 的 数，只可能.2是 29 和58，110581.525250，所以除数不是58，70 292.12， 11029 3.23， 160

24、29 5.15， 122315 50 ，所以除数是 296最新 料推荐【巩固】 (2002 年全国小学数学奥林匹克试题) 用自然数n 去除 63， 91， 129 得到的三个余数之和为25，那么 n=_【解析】n 能整除 639112925258因为 2538.1，所以 n 是 258 大于 8 的约数显然，n不能大于 63符合条件的只有43【巩固】号码分别为101,126,173,193的 4 个运动员进行乒乓球比赛, 规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被 3 除所得的余数. 那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126， 173， 19

25、3 除以 3 的余数分别为2， 0，2，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2， 0， 2， 1 两两相加除以3 即可。显然126 运动员打 5 盘是最多的。【例 8 】(2002 年小学生数学报数学邀请赛试题) 六名小学生分别带着14 元、 17 元、 18 元、 21 元、26 元、 37 元钱，一起到新华书店购买成语大词典一看定价才发现有5 个人带的钱不够，但是其中甲、 乙、丙 3 人的钱凑在一起恰好可买2 本，丁、戊 2 人的钱凑在一起恰好可买1 本这种成语大词典的定价是_元【解析】 六名小学生共带钱133 元 133 除以 3 余 1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3 本，所

26、以他们五人带的钱数是3 的倍数，另一人带的钱除以3 余 1易知，这个钱数只能是37 元，所以每本成语大词典的定价是(1417182126)332 ( 元)【巩固】 ( 2000 年全国小学数学奥林匹克试题) 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31 千克，两个顾客买走了其中的五箱已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2 倍，那么商店剩下的一箱货物重量是_ 千克【解析】 两个顾客买的货物重量是3 的倍数(151618192031)(12)119339.2 ，剩下的一箱货物重量除以3 应当余 2，只能是20千克【例 9 】求 2461 1356047 11的余数【解析】 因为 2

27、461 11 223.8 ， 135 11 12.3， 6047 11 549.8，根据同余定理 ( 三 ) ， 2461 135 6047 11的余数等于 8 3 8 11的余数，而 8 3 8 192，192 11 17.5，所以 2461 135 6047 11的余数为 5【 巩固】 ( 华罗庚金杯赛模拟试题 ) 求 478 296 351除以 17 的余数7最新 料推荐【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大可先分别计算出各因数除以17 的余数，再求余数之积除以 17 的余数 478,296,351 除以 17 的余数分别为2， 7 和 11， (2711)179.1 【巩固】 求 31

28、997 的最后两位数【解析】 即考虑 31997 除以 100 的余数由于1004 25，由于 3327 除以 25 余 2，所以 39 除以 25 余 8，310 除以 25 余 24，那么 320 除以 25 余 1；又因为 32 除以 4 余 1，则 320 除以 4 余 1；即 320 1 能被 4和 25 整除，而4 与 25互质，所以3201 能被 100 整除，即 320 除以 100 余 1，由于199720 9917，所以 31997 除以 100 的余数即等于 317 除以 100 的余数，而36729 除以 100 余29， 35243 除以 100余 43，317(36

29、 )2 35 ，所以 317 除以 100 的余数等于29 29 43 除以 100的余数，而 2929 43361631997除以 100 余 63，即1997的最后两位数为除以 100 余 63，所以 3363【巩固】 2222 除以 13 所得余数是 _.2000个 2 【解析】 我们发现 222222 整除 13， 2000 6 余 2，所以答案为22 13 余 9。89【巩固】求 143 除以 7 的余数【解析】 法一：由于 1433 mod 7(143被 7 除余 3) ，所以14389389 mod 7 (14389 被 7 除所得余数与389 被 7 除所得余数相等 )而 36

30、729 ，7291 mod 7（ 729 除以 7 的余数为 1），所以38936363635355 mod 7 14 个故 14389 除以 7 的余数为 5.法二：计算 389 被 7 除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：31323334353637mod73264513于是余数以 6 为周期变化所以389355 mod7 【巩固】（ 2007 年实验中学考题）122232200122002 除以 7 的余数是多少？8最新 料推荐222222002200340051001 20031335 ，而 1001 是 7 的倍数，【解析】 由于 1 23200120026所以 个乘 也是7

31、 的倍数，故 1222322001220022 除以 7的余数是 0；【巩固】 31303031被 13 除所得的余数是多少？【解析】 31 被 13 除所得的余数 5，当 n 取 1， 2， 3，时 5n 被 13 除所得余数分 是 5，12， 8，1， 5，12，8，130被 13 除的余数与2被30以 4 周期循 出 ， 所以 5513 除的余数相同， 余 12， 31除以 13 的余数 12；30 被 13 除所得的余数是 4，当 n 取 1，2，3， ， 4n 被 13 除所得的余数分 是 4，3，12，9，10， 1， 4，3， 12， 9， 10，以 6 周期循 出 ，所以311

32、4被 13 除所得的余数等于 4 被 13除所得的余数，即4，故 3031 除以 13 的余数 4；所以 31303031被 13 除所得的余数是 12413 3【巩固】 ( 2008 年奥数网杯 ) 已知 a20082008 2008 ， ： a 除以 13 所得的余数是多少？2008 个 2008【解析】 2008 除以 13 余 6，10000除以 13 余 3，注意到 20082008 2008 100002008；20082008200820082008 100002008；2008200820082008 200820082008 100002008 ；根据 的 推 律求出余数的

33、化 律：20082008 除以 13 余 6361311，200820082008 除以 13 余 11 36390 ，即 200820082008是 13 的倍数而 2008除以 3 余 1，所以 a200820082008 除以 13 的余数与 2008除以 13 的余数相同， 6.2008 个 2008【巩固】 77777 除以 41 的余数是多少？1996 个7【解析】 找 律： 741 7 ， 77 41 36， 777 41 39， 777741 28，77777 410，所以 77777 是 41 的倍数， 而 19965 3991 ，所以 77777 可以分1996 个7成 3

34、99 段 77777 和1 个 7 成，那么它除以41 的余数 7【巩固】 1122334420052005 除以 10 所得的余数 多少？【解析】 求 果除以 10的余数即求其个位数字从1 到 2005 这 2005 个数的个位数字是10 个一循 的，而 一个数的 方的个位数，我 知道它 是4 个一循 的，因此把所有加数的个位数按每209最新 料推荐个 (20是 4 和 10的最小公倍数 ) 一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的首先计算 112233442020 的个位数字，为 147656369 0 1 6 3 656 74 9 0 94 的个位数字，为4，由于2005 个加数共可分成100 组另 5个数， 100 组的个位数字和是4100400 的个位数即0，另 外5 个 数 为2001、200220032004、