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1、.第四讲因为 99 和 9 都能被 9 整除，所以根据整除的性质1 和性质 2 知，（ 8x993x9 ）能被 9 整除。我们在三年级已经学习了能被2，3，5 整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解再根据整除的性质2，由（ 8 37）能被 9 整除，就能判断 837 能被 9 整除。能被 4， 8，9 整除的数的特征。利用（ 4）（ 5）（ 6）还可以求出一个数除以4， 8， 9 的余数：数的整除具有如下性质：（4）一个数除以4 的余数，与它的末两位除以4 的余数相同。性质 1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如， 48 能被（5）一个数除以8
2、的余数，与它的末三位除以8 的余数相同。16 整除， 16 能被 8 整除，那么48 一定能被 8 整除。（6）一个数除以9 的余数，与它的各位数字之和除以9 的余数相同。性质 2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例 1 在下面的数中，哪些能被4 整除？哪些能被8 整除？哪些能被 9 整除？例如， 21 与 15 都能被 3 整除，那么2115 及 21-15 都能被 3 整除。234， 789， 7756，8865， 3728.8064 。性质 3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的解：能被 4 整除的
3、数有 7756， 3728，8064；乘积整除 。例如， 126 能被 9 整除，又能被 7 整除，且 9 与 7 互质，那么 126 能被 9763 整除。能被 8 整除的数有 3728，8064；利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除能被 9 整除的数有234，8865，8064。性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：例 2 在四位数 56 2 中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4 整除？（1）一个数的个位数字如果是0，2，4， 6， 8 中的一个，那么这个数就能被2 整除。解：如果 562能被 9 整除，那
4、么（2）一个数的个位数字如果是0 或 5，那么这个数就能被 5 整除。562 13（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3 整除，那么这个数就能被3 整除。应能被 9 整除，所以当十位数是5，即四位数是5652 时能被 9 整除；（4）一个数的末两位数如果能被4（或 25）整除，那么这个数就能被4（或 25）整除。如果 562能被 8 整除，那么 6 2 应能被 8 整除，所以当十位数是3 或 7，即四位数是 5632（5）一个数的末三位数如果能被8（或 125）整除，那么这个数就能被8（或 125）整除。或 5672 时能被 8 整除；（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9 整除，那么
5、这个数就能被9 整除。如果 562能被 4 整除，那么 2 应能被 4 整除，所以当十位数是 1，3， 5， 7，9，即四位数其中（ 1）（ 2）（ 3）是三年级学过的内容，（ 4）（ 5）（ 6）是本讲要学习的内容。是 5612，5632， 5652，5672， 5692 时能被 4 整除。因为 100 能被 4（或 25）整除，所以由整除的性质1 知，整百的数都能被4（或 25）整除。到现在为止，我们已经学过能被2，3， 5，4，8， 9 整除的数的特征。根据整除的性质3，我因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要们可以把判断整除的范围进一步扩大
6、。例如，判断一个数能否被6 整除，因为 623，2 与 3 互这个数的后两位数能被4（或 25）整除，这个数就能被4（或 25）整除。这就证明了（4）。质，所以如果这个数既能被2 整除又能被 3 整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6 整类似地可以证明（5）。除。同理，判断一个数能否被12 整除，只需判断这个数能否同时被3 和 4 整除；判断一个数能否（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。被 72 整除，只需判断这个数能否同时被8 和 9 整除；如此等等。837800 30 7例 3 从 0，2，5，7 四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3 整除的数，并将这些
7、数从小到大8 100 3107进行排列。8（ 991） 3（ 91） 7解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为 0。根据三位数能被 3 整除的特征，8 99839 37数字和 270与 5 7 0 都能被 3 整除，因此所求的这些数为270 ，570，720， 750。（ 8993 9）（ 837）。例 4 五位数能被 72 整除，问： A 与 B 各代表什么数字？.分析与解 ：已知能被 72整除。因为 7289，8 和 9是互质数，所以既能被 8当 A=0， B=1，C 5 时，六位数能被36 整除，而且所得商最小，为150156364171。练习 4整除，又能被 9 整除。
8、根据能被 8 整除的数的特征，要求能被 8 整除，由此可确定 B 6。16539724 能被 4， 8， 9， 24，36，72 中的哪几个数整除？2个位数是 5，且能被 9 整除的三位数共有多少个？再根据能被 9 整除的数的特征，的各位数字之和为3一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是 6，并且它们既能被2 整除又能被 3整除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？A3 29BA 3f 29 6A20，4五位数能被 12 整除，求这个五位数。因为 l A9，所以 21 A 2029。在这个范围内只有27 能被 9 整除，所以 A 7。解答例 4 的关键是把 72 分解成 8 9
9、，再分别根据能被8 和 9整除的数的特征去讨论B 和 A 所代5有一个能被 24 整除的四位数 23，这个四位数最大是几？最小是几？表的数字。在解题顺序上，应先确定B 所代表的数字，因为B 代表的数字不受A 的取值大小的影6从 0，2，3，6，7 这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被8 整除的没有重复数字响，一旦 B 代表的数字确定下来，A 所代表的数字就容易确定了。的四位数？例 5 六位数是 6 的倍数，这样的六位数有多少个？7在 123 的左右各添一个数码，使得到的五位数能被72 整除。8学校买了 72只小足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是67.9 元，分析与解 ：因
10、为 62 3，且 2 与 3 互质，所以这个整数既能被2 整除又能被3 整除。由六位数能你知道每只小足球多少钱吗？被 2 整除，推知 A 可取 0， 2，4，6，8 这五个值。再由六位数能被3 整除，推知3A BABA 33A2B能被 3 整除，故 2B 能被 3 整除。 B 可取 0，3，6，9这 4个值。由于 B 可以取 4个值， A 可以取 5 个值，题目没有要求 AB，所以符合条件的六位数共有54 20（个）。例 6 要使六位数能被 36 整除，而且所得的商最小，问A， B， C各代表什么数字？分析与解：因为 3649，且 4 与 9 互质，所以这个六位数应既能被4 整除又能被 9 整除。六位数能被 4 整除，就要能被 4 整除，因此 C 可取 1， 3，5，7， 9。要使所得的商最小，就要使这个六位数尽可能小。因此首先是A 尽量小，其次是 B尽量小，最后是C尽量小。先试取A=0。六位数的各位数字之和为12B C。它应能被9 整除，因此 BC 6 或 B C15。因为 B，C 应尽量小，所以BC 6，而 C 只能取 1，3，5，7，9，所以要使尽可能小，应取B 1， C5。.