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1、最新 料推荐均值不等式应用一均值不等式1.（1）若 a,bR ，则 a 2b22ab (2)若 a,b R ，则 aba 2b 2（当且仅当 ab 时取“=”）22. (1)若 a, bR* ，则 abab(2)若 a,bR* ，则 ab 2ab （当且仅当 ab 时取“ =”）22(3)若 a,b*a b(当且仅当 ab 时取“ =”）R ，则 ab23. 若 x12(当且仅当 x112 ( 当且仅当 x1时取“ =”）0 ，则 x时取“ =”）; 若 x 0 ，则 xxx若 x0，则 x12即 x12或 x1-2 (当且仅当 ab 时取“ =”）xxx3. 若 ab0，则 ab2(当且仅当
2、 ab 时取“ =”）ba若 ab0 ，则 ab2即 ab2或 ab-2 ( 当且仅当 ab 时取“ =”）bababa4. 若 a,bR ，则 ( ab ) 2a 2b 2（当且仅当 ab 时取“ =”）22注：（ 1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（ 2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3) 均值定理在求最值、 比较大小、 求变量的取值范围、 证明不等式、 解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例 1：求下列函数的值域211（ 1） y 3x 2x 2（ 2） y x x解：（ 1）
3、y 3x21 2212 6值域为 6， +）23x 2x2x11（ 2）当 x 0 时， y xx 2x x 2；111当 x0 时，y x x= （ x x） 2xx= 2值域为（， 2 2， +）解题技巧：技巧一：凑项例 1：已知 x54x21的最大值。，求函数 y4x45解：因 4x50 ，所以首先要 “调整” 符号， 又 (4 x 2)1不是常数， 所以对 4x2 要进行拆、 凑项，4x5x5 , 5 4x 0 ，y 4 x 215 4x513 2 3 144 x 54x当且仅当 5 4x1，即x1时，上式等号成立，故当x1 时， ymax 1。54x评注：本题需要调整项的符号，又要配
4、凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数1最新 料推荐例 1.当时，求 yx(82x) 的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式， 但其和不是定值。注意到 2x(82x)8为定值， 故只需将 yx(82x) 凑上一个系数即可。当，即 x2 时取等号当 x2 时， y x(82x) 的最大值为 8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设 0x34x(32x) 的最大值。，求函数 y232解： 0x 3 2x0 y4x(3 2x) 2 2x(3 2x)2 2x 3 2x9222当且仅当
5、2x32x, 即 x30, 3 时等号成立。42技巧三 ： 分离例 3. 求 yx27x10 (x1)的值域。x 1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x 1）的项，再将其分离。当, 即时 , y2 （ x 1)4（当且仅当 x 1时取“”号）。5 9x1技巧四 ：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x 1，化简原式在分离求最值。y(t2）= t25t4t451)7(t 1 +10ttt当, 即 t=时 , y2t459 （当 t=2 即 x 1时取“”号）。t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求
6、最值。即化为 ymg( x)AB( A0, B0) ，g(x) 恒正或恒负的形式， 然后运用均值不等式来求最值。g (x)技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f ( x)xa的单调性。x例：求函数 yx25的值域。x24解：令x24t (t2) ，则 yx25x241t12)x24x2( t4t因 t0,t11，但 t11 不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。tt解得 t因为 yt1在区间 1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y5t。22最新 料推荐所以，所求函数的值域为5 ,。2练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值 .（ 1）
7、yx23x1,( x0)（2） y2x1, x3(3)y2sin x1, x(0,)xx3sin x2已知 0x 1，求函数 yx(1x) 的最大值 .；3 0x2yx(23x) 的最大值 .，求函数3条件求最值1. 若实数满足 ab 2 ，则 3a3b 的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a 3b 定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a 和3b 都是正数，3a3b 23a3b23a b6当 3a3b 时等号成立，由ab2 及 3a3b 得 ab1即当 ab1时， 3a3b 的最小值是 6变式：若 log 4 xlog 4y 2 ，求11x的最小值 .并求 x,y 的
8、值y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知 x0, y191，求 xy 的最小值。0 ，且xy错解 ：x0, y0 ，且191 ，199xy min12xyxy22 xy 12故。xyxyxy错因：解法中两次连用均值不等式，在x y 2 xy 等号成立条件是 xy ，在 1929 等号成立xyxy条件是 19即 y9x ,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出xy等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解 ：x 0, y 0, 1 91，x yx y1 9y 9x10 6 10 1
9、6xyxyxy当且仅当y9x时，上式等号成立，又191，可得 x4, y12 时， x y min 16 。xyxy变式：（ 1）若 x, yR且 2 x y1，求 11 的最小值xy(2) 已知 a, b, x, yR且 ab1 ，求 xy 的最小值xy技巧七 、已知 x， y 为正实数，且x 2y 21，求 x1 y2的最大值 .23最新 料推荐分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式aba 2 b 22。1y 2中 y2 前面的系数为11 y 21 y21 y2同时还应化简，x x 2 x2222212下面将 x，y2 2分别看成两个因式：22 (1y 2)22y 2121x22x
10、22313xy即 x 1 y22 xy22 22242 241技巧八：已知 a， b 为正实数，2b ab a 30，求函数 yab的最小值 .分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本 不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一： a 30 2bab30 2b 2 b 230b，bb 1b1b 1由 a 0 得， 0 b 15 2t 2 34t 31161616令 t b+1， 1 t
11、16，ab 2（ t t ） 34 t t 2t t 8t1 ab 18 y 18 当且仅当 t 4，即 b 3， a 6 时，等号成立。法二：由已知得：30 ab a2b a2b 22 ab 30 ab 22 ab令 u ab则 u2 2 2 u 30 0， 5 2 u 3 21 ab 3 2 ， ab 18， y 18点评： 本题考查不等式abab（a, b）2R 的应用、 不等式的解法及运算能力； 如何由已知不等式 aba（R）2b 30 a,b出发求得 ab 的范围， 关键是寻找到 a b与 ab 之间的关系， 由此想到不等式 abab（a, bR）ab 的不等式，进而解得 ab 的范
12、围 .2，这样将已知条件转换为含变式： 1.已知 a0，b0， ab (ab) 1，求 a b 的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知 x， y 为正实数， 3x 2y 10，求函数W 3x 2y 的最值 .a ba 2 b 2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，2，本题很简单23x 2y 2（ 3x ） 2（2y ） 2 23x 2y 2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W 0， W 2 3x2y 23x 2y 10 23x 2y 10 (3x )2 (2y )2
13、 10 (3x 2y) 20 W 20 2 5变式 :求函数 y2x152 x( 1 x 5 ) 的最大值。2 2解析：注意到 2 x 1与 5 2x 的和为定值。4最新 料推荐y 2( 2 x 152 x ) 24 2 (2 x 1)(5 2 x) 4 (2 x 1) (5 2 x) 8又 y 0 ，所以 0y 22当且仅当 2x1= 52x ，即 x3故 ymax 2 2 。时取等号。2评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均
14、值不等式证明不等式1a,b, c为两两不相等的实数，求证：a 2b2c2abbcca已知1）正数 a， b， c 满足 a b c1，求证： (1 a)(1 b)(1 c) 8abc例 6：已知 a、 b、 cR ，且 ab c1。求证：111118a1cb分析：不等式右边数字8 ，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2 ”连乘，又111a bc2bc，可由此变形入手。aaaa解：a、b、cR ， abc1 。111abc 2bc 。同理112 ac ， 112ab 。aaaabbcc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得111 1112 bc 2 ac 2 ab8 。当且仅当 abc1时取等号。abcabc3应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知 x 0, y0 且 191，求使不等式xym 恒成立的实数 m 的取值范围。xy解：令 xyk, x0, y0, 191 ，xy9x 9 y1.10y9x1xykxkykkxky11023。k16， m,16kk应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若 ab1, Plg alg b ,Q1 (lg alg b), Rlg( ab ) ，则 P, Q, R 的大小关系是.22分析： ab1 lg a0,lg b0Q1lg b)lg a lg bp（ lg a2Rlg( ab)lgab1 lg abQ RQP。225