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1、最新 料推荐均值不等式应用2b21.(1) 若 a,bR ，则 a2b22ab(2)若 a, bRa（当且仅当，则 ab22.(1) 若 a, bR*，则 abab(2)若 a, bR* ，则 a b2 ab（当且仅当2a b 时取“ = ”）a b 时取“ = ”）*a b(3) 若 a,b R，则 ab22(当且仅当 ab 时取“ = ”）3. 若 x0 ，则 x12(当且仅当 x 1时取“ = ”）x若 x0，则 x12 ( 当且仅当 x1时取“ = ”）x若 x0，则 x12即 x12或 x1-2(当且仅当 ab 时取“ = ”）xxx4. 若 ab0 ，则 ab2(当且仅当 ab 时
2、取“ = ”）baab0ab即ababab2或-2若，则bababa(当且仅当时取“ = ”）225. 若 a, bR ，则 ( a2ab（当且仅当 ab 时取“ = ”）b )22 ps.(1) 当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” (2) 求最值的条件“一正，二定，三取等”(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用1最新 料推荐应用一：求最值例 1：求下列函数的值域11（ 1） y 3 x 2 2x 2（2） y x x116 值域为 6 ， +
3、）解： (1)y 3x 2223x 222x2x11(2) 当 x 0 时， yx 2x 2 ；xx当 x0 时， y x 111= （ x ）2x = 2xxx值域为（，2 2 ，+ ）解题技巧技巧一：凑项例已知 x5y 4 x 21的最大值。，求函数4x45解：因 4x5 0 ，所以首先要“调整”符号，又(4 x2)1不是常数，所以对 4x2 要进行拆、凑项，4x5x5 , 5 4x 0 ，y 4 x 215 4x132 3 144 x 55 4x当且仅当 51，即 x 1x1 时， ymax 1。4x时，上式等号成立，故当5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值
4、。技巧二：凑系数例 1.当时，求 yx(8 2x) 的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 2x (82 x) 8 为定值，故只需将y x(82x) 凑上一个系数即可。当，即 x 2 时取等号当 x 2时， yx(82x) 的最大值为 8 。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设 0x34x(32x) 的最大值。，求函数 y232解： 0x0 y4x(3 2x)22x(3 2x) 2 2x 3 2x93 2x222当且仅当2x3 2x, 即 x30, 3时
5、等号成立。422最新 料推荐技巧三：分离x27x10例 3. 求 y(x1) 的值域。x1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x 1）的项，再将其分离。当,即时, y2 （ x45 9 （当且仅当 x 1 时取“”号）。1)x1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x 1 ，化简原式在分离求最值。(t2）25t441) 7(t1 +10 tyt=tt5t,即 t=时 , y2 t49 （当 t=2即 x 1 时取“”号）。当5t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为y mg(x)A
6、B (A 0,B 0)， g(x) 恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。g( x)a技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数f ( x) x的单调性。x例：求函数 yx25x2的值域。4解：令x24t (t2)，则 yx25x211x24t(t 2)4x24t因t0, t11，但t1解得t12,，故等号不成立，考虑单调性。不在区间tt因为 y t11,在区间t所以，所求函数的值域为5 ,25单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y。2。练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值 .（ 1） yx23x1,( x0)（ 2 ） y2x1, x3(3
7、) y 2sin x1 , x (0, )xx3sin x2已知 0x1，求函数 yx(1 x) 的最大值 .； 3 0x2x(2 3x) 的最大值 .，求函数 y3条件求最值1.若实数满足 ab2，则3a3b 的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a3b 定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解： 3a 和 3b 都是正数， 3a3b 23a3b23a b63最新 料推荐当3a3b时等号成立，由a b 2及3a3b得即当时，3a3b的最小值是 6 a b 1a b 1变式：若 log 4 xlog 4 y 211，求x的最小值 .并求 x,y 的值y技巧六：整体代换多次连用最
8、值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知 x0, y191，求 xy 的最小值。0 ，且yx错解：x0, y0，且 191，xy1 92912故x y min 12。xyx y2 xyx yxy在 xy2xy 等号成立条件是xy ，在 192 919错因：解法中两次连用均值不等式，等号成立条件是yxyxyx即 y9x ,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解： x 0, y 0, 191， x y19y9 xx yyx10 6 10 16xyxyy9x1912 时， x
9、 y min 16 。当且仅当时，上式等号成立，又x1 ，可得 x 4, yxyy变式： （1 ）若 x, yR且 2x y1 ，求 11 的最小值xy(2) 已知 a, b, x, yR 且 ab1 ，求 xy 的最小值xy技巧七y 2已知 x，y 为正实数，且x 2 1，求 x1 y 2 的最大值 .2a 2 b 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab 。21y 2中 y2 前面的系数为1x 1 y 2 x1 y 21y 2同时还应化简，2 2 x22221 y 2下面将 x，分别看成两个因式：224最新 料推荐x 2 (1y 2y 2112)2 x 231y 23y 222
10、21 y 2 2 xx2即 x22222424技巧八：1已知 a， b 为正实数， 2 bab a 30 ，求函数 y的最小值 .ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。30 2 bab30 2b 2 b 2 30 b法一： ，ab 1b1bb 1由 a0 得， 0 b152 t 2 34 t311616216令 t b +1 ，1 t16 ，a
11、b 2 （ t） 34 t t 8tttt ab 18 y1当且仅当 t 4 ，即 b 3， a6 时，等号成立。18法二：由已知得：30 ab a2 b a2 b22 ab 30 ab 22 ab令 u ab则 u2 22 u30 0 ， 5 2 u 3 21 ab 3 2，ab 18 ，y18a bR ）的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式点评：本题考查不等式ab（ a, b2aba 2b30（ a,bR ）出发求 得 ab 的范围 ，关 键 是寻找 到 ab与 ab 之间的 关系， 由 此想 到不等 式abR ），这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围 .
12、2ab（ a,b变式： 1.已知 a0 ，b 0 ， ab (a b)1 ，求 ab 的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知 x， y 为正实数， 3x2y 10 ，求函数 W 3 x 2y 的最值 .aba 2 b 2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，2，本题很简单23x 2 y2（3 x ）2（2 y ） 2 23x2y 25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值” 条件靠拢。W 0，W 2 3x 2y23 x 2 y 10 23x 2 y 10 (3x )2(2 y )2 10
13、 (3 x2 y) 205最新 料推荐 W 2025变式 : 求函数 y2x152x( 1x5 )的最大值。22解析：注意到 2x1与 52x 的和为定值。y 2( 2 x 15 2 x )24 2 (2 x 1)(5 2 x) 4 (2 x 1) (5 2 x) 8又 y0，所以 0y22当且仅当 2x 1= 52x，即 x3故 ymax2 2 。时取等号。2评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式1已知 a,
14、 b,c 为两两不相等的实数，求证：a 2b2c2abbcca1）正数 a，b ，c 满足 a b c1 ，求证： (1 a)(1 b )(1 c)8abc例 6：已知 a、b 、cR ，且 abc1。求证：11111 18abc分析：不等式右边数字8 ，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又 111 abc2 bc ，aaaa可由此变形入手。解：a、 b 、 cR ， ab c1。111abc2bc 。同理112 ac ， 112ab 。上aaaabbcc述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1111112 bc 2ac2ab8 。当且仅当 abc1时取等号。3abcabc应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知 x0, y0191xym 恒成立的实数 m 的取值范围。且y，求使不等式x解：令 xyk, x0, y0, 191，xy9x9 y1.10y9x1xykxkykkxky1102 3。k 16 ， m,16kk应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若 ab1, Plg a lg b, Q1 (lg alg b), Rlg( ab) ，则 P,Q , R 的大小关系是.22分析： ab1 lg a0, lg b0Q1lg b)lg alg bp（ lg a26最新 料推荐a b1R lg() lg ablg ab Q RQP 。227