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1、.For personal use only in study and research; not for commercial use常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：添加或舍去一些项，如：a21a；n( n1)n将分子或分母放大（或缩小）n(nn(n 1)利用基本不等式，如：lg 3 lg 5( lg
2、3 lg 5) 2lg15lg16lg 4 ；1)2二项式放缩 :22 n(11) nCn0C n1Cnn , 2nCn0C n1n1,(5) 利用常用结论： .1 的放缩 ：222kkk1 2kkk1 .1 的放缩 (1)：111（程度大）k 2k (k 1) k 2k(k 1) .1 的放缩 (2) ： 111111)（程度小）k 2k 2k2(1 (k 1)(k 1) 2 k 1 k 1 .1 的放缩 (3)： 142(11) （程度更小）k 2k 24k212k 1 2k 1 .分式放缩还可 利用真（假）分数的性质:bbm(ba0, m 0)和 bbmb 0, m0)aamaa(am记
3、忆口诀“小者小, 大者大”。 解释 : 看 b, 若 b 小 , 则不等号是小于号, 反之亦然 . . 构造函数法构造单调函数实现放缩。例：f (x)xx( x0) ，从而实现利用函数单调性质的放缩：1f ( a b )f ( ab ) 。一先求和再放缩例 1. an1, 前 n 项和为 Sn，求证： sn1n(n 1)例 2. an( 1) n,前 n 项和为 Sn，求证： sn132二先放缩再求和（一）放缩后裂项相消例 3数列 an ，an( 1)n 1 1s2n2n ，其前 n 项和为 sn，求证：2（二）放缩后转化为等比数列。例 4.bn满足：b11,bn1bn2(n2)bn3（ 1）
4、 用数学归纳法证明：bnnTn111.1Tn1（ 2）3b13b23b33bn ，求证：2;.三、裂项放缩例 5.(1) 求n2的值 ;(2)求证n15 .:k1 4k 21k1 k 23例 6.(1)求证 : 111171(n2)3252(2n1) 262( 2n1)(2)求证 :111111(3)416364n 224n求证： 2(n1 1) 11112 ( 2n1 1)23n例 7. 求证 :例 8. 已知6n11115(n1)( 2n 1)49n23an4n 2n , Tna1a22n, 求证 : T1 T2 T3Tn3 .an2四、分式放缩姐妹不等式 : bbm(ba0, m 0)和
5、 bbmb 0, m 0)aamaa( am记忆口诀”小者小, 大者大”解释 : 看 b, 若 b 小 , 则不等号是小于号, 反之亦然 .例 9. 姐妹不等式 : (11)(11)(11)(11)2n 1 和352n1(11)(11 )(11 )(11 )11也可以表示成为2462n2n2 4 62n2n1和1 3 5( 2n 1)11 3 5( 2n 1)2 4 62n2n 1例 10.证明 : (11)(11 )(11 )(11)33n1.473n2五、均值不等式放缩例 11.设 Sn1223n(n1) . 求证 n(n1)( n1) 22Sn.2例 12. 已知函数 f ( x)11，
6、a0,b0, 若4 ，且 f ( x) 在 0 ， 1 上的最大值为1 ，a 2 bxf (1)52求证： f (1)f ( 2)f (n)n11.2 n 12六、二项式放缩2n(1 1) nC n0Cn1Cnn , 2nCn0C n1n 1 ,例 13.设 n1, nN ，求证 ( 2 ) n(n82).31)( n例 14.an2 3n,试证明： .n 11L114n2a1a2an4七、部分放缩 ( 尾式放缩 )例 15.求证 :11143 1 3 2 13 2 n 11 7例 16.设 a n1111, a2.求证： a n2.2aaa3n八、函数放缩例 17. 求证：ln 2ln 3l
7、n 4ln 3n3n 5n 6 (n N * ) .2343n6例 18. 求证 :2, ln 2ln 3ln n2n2n1 (n 2)23n2(n1)例 19.求证 :11n1ln( n1) 1112312n九、借助数列递推关系例 20.若 a11, an 1ann1, 求证 : 111n 11)a1a 22(a n例 21.求证 : 11 31351356(2 n 1)2n21224246242n;.十、分类放缩例 22. 求证 : 111n1232n 12;.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f r den pers?nlichen f r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales.,.以下无正文;.