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1、2017年中考数学一轮复习第23讲特殊四边形【考点解析】知识点一、矩形的性质及判定的应用 【例1】（2016四川宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A4.8 B5 C6 D7.2【考点】矩形的性质【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA=OD=5，AOD的面积，然后由SAOD=SAOP+SDOP=OAPE+ODPF求得答案【解答】解：连接OP，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，S矩形ABCD=ABBC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，O
2、A=OD=5，SACD=S矩形ABCD=24，SAOD=SACD=12，SAOD=SAOP+SDOP=OAPE+ODPF=5PE+5PF=（PE+PF）=12，解得：PE+PF=4.8故选：A【变式】（2016四川眉山3分）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO若COB=60，FO=FC，则下列结论：FB垂直平分OC；EOBCMB；DE=EF；SAOE：SBCM=2：3其中正确结论的个数是（）A4个 B3个 C2个 D1个【分析】利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；证OMBOEB得EOBCMB；先证BEF是等边三
3、角形得出BF=EF，再证DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF；由可知BCMBEO，则面积相等，AOE和BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即SAOE：SBOE=AE：BE，由直角三角形30角所对的直角边是斜边的一半得出BE=2OE=2AE，得出结论SAOE：SBOE=AE：BE=1：2【解答】解：矩形ABCD中，O为AC中点，OB=OC，COB=60，OBC是等边三角形，OB=BC，FO=FC，FB垂直平分OC，故正确；FB垂直平分OC，CMBOMB，OA=OC，FOC=EOA，DCO=BAO，FOCEOA，FO=EO，易得OBEF，OMBOEB，EOBCMB，故正确；由O
4、MBOEBCMB得1=2=3=30，BF=BE，BEF是等边三角形，BF=EF，DFBE且DF=BE，四边形DEBF是平行四边形，DE=BF，DE=EF，故正确；在直角BOE中3=30，BE=2OE，OAE=AOE=30，AE=OE，BE=2AE，SAOE：SBCM=SAOE：SBOE=1：2，故错误；所以其中正确结论的个数为3个；故选B【点评】本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型 知识点二、菱形的性质及判定的应用【例2】（2015辽宁朝阳）如图，在
5、ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：BEEC；BFEC；AB=AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，并给出证明，你选择的条件是 （只填写序号）【答案】，证明见解析【分析】由点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，即可得到四边形BECF是平行四边形，由AF是BC的中垂线，得到BE=CE，从而得到结论【解析】BD=CD，DE=DF，四边形BECF是平行四边形，BEEC时，四边形BECF是矩形，不一定是菱形；四边形BECF是平行四边形，则BFEC一定成立，故不一定是菱形；AB=AC时，D是BC的中点，AF是B
6、C的中垂线，BE=CE，平行四边形BECF是菱形故答案为：.【点评】此题主要考查了菱形的判定以及等腰三角形的性质，能根据已知条件来选择让问题成立的条件是解题关键【变式】（2016青海西宁2分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是16【考点】菱形的性质；三角形中位线定理【分析】先利用三角形中位线性质得到AB=4，然后根据菱形的性质计算菱形ABCD的周长【解答】解：E，F分别是AD，BD的中点，EF为ABD的中位线，AB=2EF=4，四边形ABCD为菱形，AB=BC=CD=DA=4，菱形ABCD的周长=44=16故答案为16知识点三、正方形的性质
7、及判定的应用 【例3】（2016四川眉山3分）把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45得到正方形ABCD，边BC与DC交于点O，则四边形ABOD的周长是（）A B6 C D【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45得到正方形ABCD，利用勾股定理的知识求出BC的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BO，OD，从而可求四边形ABOD的周长【解答】解：连接BC，旋转角BAB=45，BAD=45，B在对角线AC上，BC=AB=3，在RtABC中，AC=3，BC=33，在等腰RtOBC中，OB=BC=33，在直角三角形OBC中，OC=（33）=63，OD=3OC=33，四边形
8、ABOD的周长是：2AD+OB+OD=6+33+33=6故选：A【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质此题难度适中，注意连接BC构造等腰RtOBC是解题的关键，注意旋转中的对应关系【变式】（2016四川攀枝花）如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：ADG=22.5；tanAED=2；SAGD=SOGD；四边形AEFG是菱形；BE=2OG；若SOGF=1，则正方形ABCD的面积是6+4，其中正确的结论个数为（）A2 B
9、3 C4 D5【考点】四边形综合题【分析】由四边形ABCD是正方形，可得GAD=ADO=45，又由折叠的性质，可求得ADG的度数；由AE=EFBE，可得AD2AE；由AG=GFOG，可得AGD的面积OGD的面积；由折叠的性质与平行线的性质，易得EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF；易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG；根据四边形AEFG是菱形可知ABGF，AB=GF，再由BAO=45，GOF=90可得出OGF时等腰直角三角形，由SOGF=1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论【解答】解：四边形ABCD是正方形，GAD=ADO
10、=45，由折叠的性质可得：ADG=ADO=22.5，故正确由折叠的性质可得：AE=EF，EFD=EAD=90，AE=EFBE，AEAB，2，故错误AOB=90，AG=FGOG，AGD与OGD同高，SAGDSOGD，故错误EFD=AOF=90，EFAC，FEG=AGE，AGE=FGE，FEG=FGE，EF=GF，AE=EF，AE=GF，故正确AE=EF=GF，AG=GF，AE=EF=GF=AG，四边形AEFG是菱形，OGF=OAB=45，EF=GF=OG，BE=EF=OG=2OG故正确四边形AEFG是菱形，ABGF，AB=GFBAO=45，GOF=90，OGF时等腰直角三角形SOGF=1，OG2
11、=1，解得OG=，BE=2OG=2，GF=2，AE=GF=2，AB=BE+AE=2+2，S正方形ABCD=AB2=（2+2）2=12+8，故错误其中正确结论的序号是：故选B【点评】此题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用知识点四、特殊平行四边形的综合应用 【例4】（2015辽宁铁岭）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周
12、长【答案】（1）证明见解析；（2）25【分析】（1）由四边形ABCD为矩形，得到AB=CD，ABCD，由DE=BF，得到AF=CE，AFCE，即可证明四边形AFCE是平行四边形； （2）由四边形AFCE是菱形，得到AE=CE，然后设DE=x，表示出AE，CE的长度，根据相等求出x的值，继而可求得菱形的边长及周长【解析】（1）四边形ABCD为矩形，AB=CD，ABCD，DE=BF，AF=CE，AFCE，四边形AFCE是平行四边形；（2）四边形AFCE是菱形，AE=CE，设DE=x，则AE=，CE=8x，则，解得：x=，则菱形的边长为：=，周长为：4=25，故菱形AFCE的周长为25【点评】本题考
13、查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质以及勾股定理等知识，能正确地分析图形的特点是解决此类问题的关键 【变式】（2016四川内江）如图所示，ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AFBD，连接BF(1)求证：D是BC的中点；(2)若ABAC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论DCEFBA考点三角形例行，特殊四边形的性质与判定。(1)证明：点E是AD的中点，AEDEAFBC，AFEDCE，FAECDEEAFEDC AFDCAFBD，BDDC，即D是BC的中点 (2)四边形AFBD是矩形证明如下：AFBD，AFBD，四边形AFBD是平行
14、四边形 ABAC，又由(1)可知D是BC的中点，ADBCAFBD是矩形 知识点五、四边形的研究应用【例5】（2016海南）如图1，在矩形ABCD中，BCAB，BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OKAF，交AD于点K，交BC于点G（1）求证：DOKBOG；AB+AK=BG；（2）若KD=KG，BC=4求KD的长度；如图2，点P是线段KD上的动点（不与点D、K重合），PMDG交KG于点M，PNKG交DG于点N，设PD=m，当SPMN=时，求m的值【考点】四边形综合题；全等三角形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质【分析】（1）先根据AAS判定DOKBOG，
15、再根据等腰三角形ABF和平行四边形AFKG的性质，得出结论BG=AB+AK；（2）先根据等量代换得出AF=KG=KD=BG，再设AB=a，根据AK=FG列出关于a的方程，求得a的值，进而计算KD的长；先过点G作GIKD，求得SDKG的值，再根据四边形PMGN是平行四边形，以及DKGPKMDPN，求得SDPN和SPKM的表达式，最后根据等量关系S平行四边形PMGN=SDKGSDPNSPKM，列出关于m的方程，求得m的值即可【解答】解：（1）在矩形ABCD中，ADBCKDO=GBO，DKO=BGO点O是BD的中点DO=BODOKBOG（AAS）四边形ABCD是矩形BAD=ABC=90，ADBC又A
16、F平分BADBAF=BFA=45AB=BFOKAF，AKFG四边形AFGK是平行四边形AK=FGBG=BF+FGBG=AB+AK（2）由（1）得，四边形AFGK是平行四边形AK=FG，AF=KG又DOKBOG，且KD=KGAF=KG=KD=BG设AB=a，则AF=KG=KD=BG=aAK=4a，FG=BGBF=aa4a=aa解得a=KD=a=2过点G作GIKD于点I由（2）可知KD=AF=2GI=AB=SDKG=2=PD=mPK=2mPMDG，PNKG四边形PMGN是平行四边形，DKGPKMDPN，即SDPN=（）2同理SPKM=（）2SPMN=S平行四边形PMGN=2SPMN=2又S平行四边
17、形PMGN=SDKGSDPNSPKM2=（）2（）2，即m22m+1=0解得m1=m2=1当SPMN=时，m的值为1【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的性质，解题时需要运用全等三角形的判定与性质解答此题的关键是运用相似三角形的面积之比等于相似比的平方这一性质，并根据图形面积的等量关系列出方程进行求解，难度较大，具有一定的综合性【变式】（2016浙江省绍兴市）如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x3（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）已知点M在第一象限，且是
18、直线l2上的点，若APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）【考点】四边形综合题【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）分三种情况：若点A为直角顶点时，点M在第一象限；若点P为直角顶点时，点M在第一象限；若点M为直角顶点时，点M在第一象限；进行讨论可求点M的坐标；（3）根据矩形的性质可求N点的横坐标x的取值范围【解答】解：（1）直线l1：当y=0时，2x+3=0，x=则直线l1与x
19、轴坐标为（，0）直线l2：当y=3时，2x3=3，x=3则直线l2与AB的交点坐标为（3，3）；（2）若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC，如图1，APBACB45，APM不可能是等腰直角三角形，点M不存在；若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2，过点M作MNCB，交CB的延长线于点N，则RtABPRtPNM，AB=PN=4，MN=BP，设M（x，2x3），则MN=x4，2x3=4+3（x4），x=，M（，）；若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3，设M1（x，2x3），过点M1作M1G1OA，交BC于点H1，则RtAM1G1RtPM1H1，AG1=M1H1=3（2x3），x+
20、3（2x3）=4，x=2M1（2，1）；设M2（x，2x3），同理可得x+2x33=4，x=，M2（，）；综上所述，点M的坐标为（，），（2，1），（，）；（3）x的取值范围为x0或0x或x或x2【典例解析】【例题1】（2016贵州毕节）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A3 B4 C5 D6【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）【分析】根据折叠的性质可得DH=EH，在直角CEH中，若设CH=x，则DH=EH=9x，CE=3cm，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长 【解答】解：由题意设CH
21、=xcm，则DH=EH=（9x）cm，BE：EC=2：1，CE=BC=3cm在RtECH中，EH2=EC2+CH2，即（9x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4cm故选（B）【例题2】（2016福建龙岩4分）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A1B2C3D4【考点】菱形的性质；轴对称-最短路线问题【分析】作F点关于BD的对称点F，则PF=PF，由两点之间线段最短可知当E、P、F在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF的长度即可 【解答】解：作F点关于BD的对称点F，则PF=PF，连接EF交BD于点PEP+F
22、P=EP+FP由两点之间线段最短可知：当E、P、F在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+FP=EF四边形ABCD为菱形，周长为12，AB=BC=CD=DA=3，ABCD，AF=2，AE=1，DF=AE=1，四边形AEFD是平行四边形，EF=AD=3EP+FP的最小值为3故选：C【例题3】（2016江西）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是 【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理【分析】分情况讨论：当AP=AE=5时，则A
23、EP是等腰直角三角形，得出底边PE=AE=5即可；当PE=AE=5时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出等边AP即可；当PA=PE时，底边AE=5；即可得出结论【解答】解：如图所示：当AP=AE=5时，BAD=90，AEP是等腰直角三角形，底边PE=AE=5；当PE=AE=5时，BE=ABAE=85=3，B=90，PB=4，底边AP=4；当PA=PE时，底边AE=5；综上所述：等腰三角形AEP的对边长为5或4或5；故答案为：5或4或5【例题4】（2016陕西）如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M、
24、N，则图中的全等三角形共有（）A2对 B3对 C4对 D5对【考点】正方形的性质；全等三角形的判定【分析】可以判断ABDBCD，MDOMBO，NODNOB，MONMON由此即可对称结论【解答】解：四边形ABCD是正方形，AB=CD=CB=AD，A=C=ABC=ADC=90，ADBC，在ABD和BCD中，ABDBCD，ADBC，MDO=MBO，在MOD和MOB中，MDOMBO，同理可证NODNOB，MONMON，全等三角形一共有4对故选C【中考热点】【热点1】（2016湖北随州3分）如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O有直角MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分
25、别与OA、OB重合，然后逆时针旋转MPN，旋转角为（090），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是（1），（2），（3），（5）（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋转过程中，当BEF与COF的面积之和最大时，AE=；（5）OGBD=AE2+CF2【考点】四边形综合题【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，直角MPN，易证得BOECOF（ASA），则可证得结论；（2）由（1）易证得S四边形OEBF=SBOC=S正方形ABCD，则可证得结论；（3）由BE=CF，可得BE+BF=BC，然后
26、由等腰直角三角形的性质，证得BE+BF=OA；（4）首先设AE=x，则BE=CF=1x，BF=x，继而表示出BEF与COF的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得答案；（5）易证得OEGOBE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OGOB=OE2，再利用OB与BD的关系，OE与EF的关系，即可证得结论【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，OB=OC，OBE=OCF=45，BOC=90，BOF+COF=90，EOF=90，BOF+COE=90，BOE=COF，在BOE和COF中，BOECOF（ASA），OE=OF，BE=CF，EF=OE；故正确；（2）S四边形OEBF=SBOE+SBOE
27、=SBOE+SCOF=SBOC=S正方形ABCD，S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；（3）BE+BF=BF+CF=BC=OA；故正确；（4）过点O作OHBC，BC=1，OH=BC=，设AE=x，则BE=CF=1x，BF=x，SBEF+SCOF=BEBF+CFOH=x（1x）+（1x）=（x）2+，a=0，当x=时，SBEF+SCOF最大；即在旋转过程中，当BEF与COF的面积之和最大时，AE=；故错误；（5）EOG=BOE，OEG=OBE=45，OEGOBE，OE：OB=OG：OE，OGOB=OE2，OB=BD，OE=EF，OGBD=EF2，在BEF中，EF2=BE2+BF2
28、，EF2=AE2+CF2，OGBD=AE2+CF2故正确故答案为：（1），（2），（3），（5）【热点2】（2016浙江省绍兴市）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为2或42【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）【分析】当直线l在直线CE上方时，连接DE交直线l于M，只要证明DFM是等腰直角三角形即可利用DF= DM解决问题，当直线l在直线EC下方时，由DEF1=BEF1=DF1E，得到DF1=DE，由此即可解决问题【解答】解
29、：如图，当直线l在直线CE上方时，连接DE交直线l于M，四边形ABCD是矩形，A=B=90，AD=BC，AB=4，AD=BC=2，AD=AE=EB=BC=2，ADE、ECB是等腰直角三角形，AED=BEC=45，DEC=90，lEC，EDl，EM=2=AE，点A、点M关于直线EF对称，MDF=MFD=45，DM=MF=DEEM=22，DF=DM=42当直线l在直线EC下方时，DEF1=BEF1=DF1E，DF1=DE=2，综上所述DF的长为2或42故答案为2或42【热点3】（2016海南）如图1，在矩形ABCD中，BCAB，BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线
30、OKAF，交AD于点K，交BC于点G（1）求证：DOKBOG；AB+AK=BG；（2）若KD=KG，BC=4求KD的长度；如图2，点P是线段KD上的动点（不与点D、K重合），PMDG交KG于点M，PNKG交DG于点N，设PD=m，当SPMN=时，求m的值【考点】四边形综合题；全等三角形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质【分析】（1）先根据AAS判定DOKBOG，再根据等腰三角形ABF和平行四边形AFKG的性质，得出结论BG=AB+AK；（2）先根据等量代换得出AF=KG=KD=BG，再设AB=a，根据AK=FG列出关于a的方程，求得a的值，进而计算KD的长；先过点G作GIKD，求得SD
31、KG的值，再根据四边形PMGN是平行四边形，以及DKGPKMDPN，求得SDPN和SPKM的表达式，最后根据等量关系S平行四边形PMGN=SDKGSDPNSPKM，列出关于m的方程，求得m的值即可【解答】解：（1）在矩形ABCD中，ADBCKDO=GBO，DKO=BGO点O是BD的中点DO=BODOKBOG（AAS）四边形ABCD是矩形BAD=ABC=90，ADBC又AF平分BADBAF=BFA=45AB=BFOKAF，AKFG四边形AFGK是平行四边形AK=FGBG=BF+FGBG=AB+AK（2）由（1）得，四边形AFGK是平行四边形AK=FG，AF=KG又DOKBOG，且KD=KGAF=
32、KG=KD=BG设AB=a，则AF=KG=KD=BG=aAK=4a，FG=BGBF=aa4a=aa解得a=KD=a=2过点G作GIKD于点I由（2）可知KD=AF=2GI=AB=SDKG=2=PD=mPK=2mPMDG，PNKG四边形PMGN是平行四边形，DKGPKMDPN，即SDPN=（）2同理SPKM=（）2SPMN=S平行四边形PMGN=2SPMN=2又S平行四边形PMGN=SDKGSDPNSPKM2=（）2（）2，即m22m+1=0解得m1=m2=1当SPMN=时，m的值为1【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的性质，解题时需要运用全等三角形的判定与性质解答此题的关键是运用相似三角形的面积之比等于相似比的平方这一性质，并根据图形面积的等量关系列出方程进行求解，难度较大，具有一定的综合性