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1、专题五 类比探索型问题备考演练1如图1，在ABC中，ABAC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作ADE，使ADAE，DAEBAC，连接CE.设BAC，BCE.(1)求证：DABEAC；(2)当点D在线段BC上运动时，若50，则 _130_度；猜想与之间的数量关系？并对你的结论给出证明；(3)当点D在线段BC的反向延长线上运动时，上题中的结论是否仍然成立？若成立，试加以证明；若不成立，请你给出正确的数量关系，并说明理由解(1)BACDAE，BADCAEDAC.又ABAC，ADAE，ABDACE.(2)ABDACE，BAC.BACE.BACB.BACBACB180，
2、180. (3) 当点D在线段BC的反向延长线上运动时，上题中的结论不能成立，此时成立其理由如下：类似(1)可证DABEAC，DBAECA.又由三角形外角性质有DBADCA，ACEDCA，BCEACEACBACBACB.2如图所示，已知二次函数yax2bx1(a0)的图象过点A(2，0)和B(4，3)，l为过点(0，2)且与x轴平行的直线，P(m，n)是该二次函数图象上的任意一点，过P作PHl，H为垂足(1)求二次函数yax2bx1(a0)的解析式；【特例探究】(2)填空：当m0时，OP_1_，PH_1_ ；当m4时，OP _5_，PH_5_；【证明】(3)对任意m，n，猜想OP与PH的大小关
3、系，并证明你的猜想解(1)二次函数yax2bx1(a0)的图象过点A(2，0)和B(4，3)，解得二次函数的解析式为yx21.(3)猜想：OPPH.证明：过点P作PQx轴于Q，P在二次函数yx21的图象上，设P，则PQ，OQ|m|，OPQ为直角三角形，OPm21，PHyP(2)(2)m21，OPPH.3(2016龙东)已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A、C重合)，分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点(1)当点P与点O重合时如图1，易证OEOF(不需证明)；(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转，当OFE30时，如图2、图3的位
4、置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明解(1)AEPB，CFBP，AEOCFO90，在AEO和CFO中，AOECOF，OEOF.(2)图2中的结论为：CFOEAE.图3中的结论为：CFOEAE.选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，AEBP，CFBP，AECF，EAOGCO，在EOA和GOC中，EOAGOC，EOGO，AECG，在RtEFG中，EOOG，OEOFGO，OFE30，OFG903060，OFG是等边三角形，OFGF，OEOF，OEFG，CFFGCG，CFOEAE.选图3中的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点
5、G，AEBP，CFBP，AECF，AEOG，在AOE和COG中，AOECOG，OEOG，AECG，在RtEFG中，OEOG，OEOFOG，OFE30，OFG903060，OFG是等边三角形，OFFG，OEOF，OEFG，CFFGCG，CFOEAE.1(2015江西)操作与证明：如图1，把一个含45角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF.取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN.(1)连接AE，求证：AEF是等腰三角形；猜想与发现：(2)在(1)的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得
6、出结论结论1：DM、MN的数量关系是_相等_；结论2：DM、MN的位置关系是_垂直_；拓展与探究：(3)如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由解(1)证明：四边形ABCD是正方形，ABADBCCD，BADF90，CEF是等腰直角三角形，C90，CECF，BCCECDCF，即BEDF，ABEADF，AEAF，ABEADF，AEF是等腰三角形(3)(2)中的两个结论还成立，证明：连接AE，交MD于点G，点M为AF的中点，点N为EF的中点，MNAE，MNAE，由(1)同理可得，AEAF，ABEAD
7、F，在RtADF中，点M为AF的中点，DMAF，DMMN，ABEADF，12，ABDF，13，ADBE，24，34，DMAM，MAD5，DGE54MAD390，MNAE，DMNDGE90，DMMN.2情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到ABC和ACD，如图1所示，将ACD的顶点A与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A)、B在同一条直线上，如图2所示，观察图2可知：与BC相等的线段是_AD(或AD)_，CAC_90_.问题探究如图3，在ABC中，AGBC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，过点E、F作射线GA的垂
8、线，垂足分别为P、Q，试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论拓展延伸如图4，在ABC中，AGBC于点G，分别以AB、AC为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H，若ABkAE，ACkAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由解问题探究结论：EPFQ，证明：ABE是等腰直角三角形，ABAE，BAE90，BAGEAP90，AGBC，BAGABG90，ABGEAP，EPAG，AGBEPA90，RtABGRtEAP，AGEP，同理AGFQ，EPFQ，拓展延伸结论：HEHF，理由：过点E作EPGA，FQGA，垂足分别为P、Q，四边形ABME是矩形，BAE90， B
9、AGEAP90，AGBC，BAGABG90， ABGEAP，AGBEPA90，ABGEAP，同理ACGFAQ，ABkAE，ACkAF，k，EPFQ，EHPFHQ，RtEPHRtFQH，HEHF. 3(2016黄石)在ABC中，ABAC，BAC2DAE2.(1)如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：ADFABC；(2)如图2，在(1)的条件下，若45，求证：DE2BD2CE2；(3)如图3，若45，点E在BC的延长线上，则等式DE2BD2CE2还能成立吗？请说明理由解(1)证明：点D关于直线AE的对称点为F，EAFDAE，ADAF，又BAC2DAE，BACDAF，ABAC，ADFABC.
10、(2)证明：点D关于直线AE的对称点为F，EFDE，AFAD，45，BAD90CAD，CAFDAEEAFCAD4545CAD90CAD，BADCAF，在ABD和ACF中，ABDACF(SAS)，CFBD，ACFB，ABAC，BAC2，45，ABC是等腰直角三角形，ACFBACB45，ECFACBACF454590，在RtCEF中，由勾股定理得EF2CF2CE2.DE2BD2CE2.(3)DE2BD2CE2还能成立理由如下：如图，作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，由轴对称的性质得EFDE，AFAD，45，BAD90CAD，CAFDAEEAFCAD4545CAD90CAD，BADCAF，在ABD和ACF中，ABDACF(SAS)，CFBD，ACFB，ABAC，BAC2，45，ABC是等腰直角三角形，BACB45，ECFACBACF454590，在RtCEF中，由勾股定理得EF2CF2CE2，DE2BD2CE2.