《勾股定理一对一专题讲义.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《勾股定理一对一专题讲义.docx（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、.知识点梳理勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法： 如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 a2b 2c2 .勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法DCH用拼图的方法验证勾股定理的思路是EGF图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：baAcBbaaccbcbcaab方法一： 4 SS正方形 EFGHS正方形 ABCD， 41ab(ba )2c2 ，化简可证AaD2方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四cb1
2、cE22a个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S4大正方abc 2ab cbC2B形面积为 S (ab)2a22ab b2所以 a2b2c2方法三： S梯形1 ( ab) (ab) ， S梯形2S ADES ABE21 ab1 c2 ，化简得证222 .勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC 中， C 90 ，则22， b22， a22知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系cabcacb可运用勾股定理解决一些实际问题 .勾
3、股定理的逆定理如果三角形三边长 a ， b ，c 满足 a 2 b2 c2 ，那么这个三角形是直角三角形， 其中 c 为斜边。. 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b 2 与较长边的平方c2 作比较，若它们相等时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形； 若 a 2b 2c2 ，时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是钝角三角形；若a 2b 2c2 ，时，以 a ，b ， c 为三边的三角形是锐角三角形； 定理中 a ， b ， c 及 a 2b2c2 只是一种表现
4、形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a ， b ， c 满足 a2c2b2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a 2b2c2 中， a ， b ， c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等用含字母的代数式表示n 组勾股数：221 （ n222n 1 （ n 为正整数）2222n1,2n,n2, n 为正整数）； 2n 1,2n2n,2nmn ,2mn, mn（ m n, m
5、 ， n 为正整数）勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形， 以便正确使用勾股定理进行求解 .勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三.角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论 .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决
6、一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形：CCC30AABADBBD10 、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。勾股定理典型题归类类型一：等面积法求高【例题 】如图， ABC 中， ACB=90 0， AC=7 ， BC=24 ， CD AB 于 D。（ 1）求 AB 的长；C（ 2）求 CD 的长。ADB类型二：面积问题【例题】 如下图，所有的四边形都是正方形
7、，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为 7cm,则正方形 A，B， C， D 的面积之和为 _cm2。CDBA7cm【练 1】如上右图， 每个小方格都是边长为1 的正方形，（ 1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。 （ 2）求 ADC的度数25.B169.ADEBC【练 2】如图，四边形ABCD 是正方形，AE BE ，且 AE =3， BE =4，阴影部分的面积是_.【练 3】如图字母 B所代表的正方形的面积是类型三：距离最短问题【例题】如图， A、B 两个小集镇在河流CD的同侧， 分别到河的距离为AC=10千米， BD=30千米，且 CD=30千米，现在要在河边建一自
8、来水厂，向A、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3 万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？BALCD【例题】 如图，一个牧童在小河的南4km的 A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家. 他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河A北牧童东B小屋【练 1】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm，高为 4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程【练 2】如图，边长为1 的立方体中，一只蚂蚁从A 顶点出发沿着立方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（）
9、A 、 3B、C、D、 1【练 3】如图，长方体的长为 15cm，宽为 10cm，高 为 20cm，点 B 到点 C 的距离为 5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从 A 点爬到 B 点，需要爬行的最短距离是多少？CB.2A1015.类型四：判断三角形的形状【例题】 如果ABC的三边分别为a、 b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。【练 1】已知 ABC的三边分别为2222mn ,2mn,m+n (m,n 为正整数 , 且 mn), 判断 ABC是否为直角三角形 .【练 2】 .已知 a， b，c 为 ABC三边，且满足(a 2b2)(a 2+b2 c2
10、) 0，则它的形状为（）三角形A. 直角B.等腰C.等腰直角D.等腰或直角【练 3】三角形的三边长为( a b) 2c 22ab , 则这个三角形是 ( )三角形（ A）等边（ B）钝角（ C） 直角（ D）锐角类型五：直接考查勾股定理【例题】 在 Rt ABC 中， C=90 (1) 已知 a=6， c=10，求 b；(2) 已知 a=40，b=9 ，求 c；(3) 已知 c=25， b=15，求 a.【练习】 : 如图 B= ACD=90 , AD =13,CD =12, BC=3, 则 AB 的长是多少 ?类型六：构造应用勾股定理【例题】 如图，已知：在中，. 求： BC 的长 .练：
11、ABC中， AB=AC=20， BC=32， D 是 BC上一点，且ADAC，求 BD的长【练习】 四边形 ABCD 中， B=90 ， AB=3 ， BC=4 ， CD=12 ， AD=13 ，求四边形ABCD 的面积。类型七：利用勾股定理作长为n 的线段【例题】在数轴上表示10 的点。.作法：如图所示在数轴上找到A 点，使 OA=3，作 AC OA且截取 AC=1，以 OC为半径，以 O为圆心做弧，弧与数轴的交点B 即为10 。类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法【例题 】若直角三角形两直角边的比是3： 4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。【练习 1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
12、2、已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+6 ，求这个三角形的面积3、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、 8， 15， 17B、 4， 5， 6C、 5， 8，10D 、 8， 39， 40类型九：生活问题【例题】 如下左图，在高2 米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需_米【练 1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为2.5 ，高为12 ，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6 ，问吸管要做。【练 2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条 “路”。他们仅仅少走了_步路（假设2 步为 1m），却踩伤了花草。【
13、练 3】如上右图，校园内有两棵树，相距12 米，一棵树高13 米，另一棵树高8 米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米 .3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市 A的正南方向 220千米 B处有一台风中心，其中心最大风力为 12级，每远离台风中心 20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以 15千米 / 时的速度沿北偏东 30o方向往 C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（ 1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（ 2）若会受到台风影响，
14、那么台风影响该城市持续时间有多少？（ 3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？.类型十：翻折问题【例题 】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，你能求出 CD 的长吗？1.如图 ,矩形纸片ABCD 中 ,已知 AD=4, 折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合 ,点 B 落在点 F 处 ,折痕为 AE, 且EF=.则 AB 的长为 ()【练习 1】如图所示，折叠矩形的一边 AD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB=8cm ， BC=10cm ，求 EF 的长。【练习 2】
15、如图， ABC 中， C=90， AB 垂直平分线交BC 于 D 若 BC=8， AD=5 ，求 AC 的长。CDBAE【练习 3】如图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处。（ 1）求证：（2）设，试猜想之间的一种关系，并给予证明【练习 4】如图 ,矩形纸片ABCD 中 ,AB=6,BC=,折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合 ,折痕为 DG,则 AG的长为.4.如图所示 ,将一个长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠 .点 B 落在 E 点 ,AE 交 DC 于 F 点 ,已知 AB=8cm,BC=4cm. 则折叠后重合部分的面积为5.如图 ,把一张长方形纸片 ABCD 折
16、叠起来 ,使其对角顶点 A 与 C 重合 ,若长方形的长 BC 为 8,宽 AB 为 4,则折叠后重合部分的面积是6.如图所示 ,在完全重合放置的两张矩形纸片 ABCD 中 ,AB=4,BC=8, 将上面的矩形纸片折叠 ,使点 C 与点 A 重合 ,折痕为 EF,点 D 的对应点为点 G,连接 DG,则图中阴影部分的面积为类型十一：旋转问题例题：如图所示， P 为正方形 ABCD内一点，将 ABP 绕 B 顺时针旋转 90 到 CBE 的位置，若 BP= a ，求：以 PE 为边长的正方形的面积练习： 如图 2-9 ， ABC中， ACB=90， AC=BC， P 是 ABC内一点，满足 PA=3， PB=1， ?PC=2，求 BPC 的度数.