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1、.3.2.3直线与平面的夹角教学目标1.掌握直线和平面夹角的定义，会用定义、三余弦公式、法向量求线面角。2.自主教学、合作交流，探究向量法解决直线和平面夹角的规律方法。3.体验向量法解决立体几何问题的乐趣。自学指导预习课本106 页至 107 页，填写下列内容：1.斜线与平面夹角的定义：斜线和它在平面内的所成的角。2.斜线与平面夹角的范围是；直线与平面夹角范围是。两异面直线夹角的范围；两非零向量夹角的范围是。3.三余弦公式 coscos1 ?cos 2 中， , 1和2 分别是所成的角、所成的角、所成的角；, 1和 2 的范围分别是、。问题 1：三棱锥 P-ABC，PA面 ABC， ACB=9
2、0，你能找到三余弦公式 cos cos 1? cos 2 中, 1 和 2 吗？问题 2：如果 coscos 1 ?cos 2 中2900 ，你能得出什么结论？和三垂线定理有何关系？问题 3： PA, PB , PC 是从 P 点出发的三条射线， 每两条射线的夹角均为600 ，若 APB 的角平分线为 AD，那么在 coscos 1 ? cos 2 中， , 1 和2 分别对应的角是、，直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值为。问题 4：你能用三余弦公式 cos cos1 ? cos 2 证明教材P107 的例题吗自学检测1、平面的一条斜线段长是它在平面上射影长的3 倍，则这条斜线段与平面
3、所成角的余弦值是（）12222A、 3B、 3C、2D、 32、一条直线与平面所成的角为 30，则它和平面内所有直线所成的角中最小的角是（）A、 300B、 600C、 900D、 1500;.3、 PA、 PB、PC是由 P 点出发的三条射线，两两夹角均为60，则直线PC与平面 PAB 所成角的余弦值是（）1233A、 2B、 2C、 3D、24、在长方体 ABCD-A B C D中， AB=3， AD=4，AA =5，体对角线BD分别与平面 AC、平面 BA 、平面 BC11111111所成角的余弦值为、例题探究例 1、在正方体AC1 中，试求 (1)直线 A1B 与平面 ABCD所成的角
4、。 (2)直线 A1 B 与平面 BCC1B 所成的角(3)直线 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角D1C1A1B1ODCAB思考： 若直线 AB 与平面rr所成的角为，平面的法向量为 n ，直线 AB 与向量 n 所成的角为,则与有何关系？ cos 与 sin有何关系？讨论：如何利用法向量求线面角？直线 AB 与平面所成的角，可看成是 _ ， 从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，根据两个向量所成角的余弦公式，我们可以得到如下向量法求解线面角的公式：_ 。变式：若E是 CC1 的中点，求BE与平面 B1BD 所成角的正弦值;.练习 1：在四棱锥P ABCD 中，
5、底面ABCD 为正方形，侧棱PD底面 ABCD，PD=DC。求 BD 与平面 PAB所成的角。练习 2：如图所示，在正三棱柱ABCA1 B1C1 中， AB2AA1 ，A1求直线 AB1 和侧面 AC1 所成的角 .B1C1ABC练 习3 ： 如 图所 示 ， ABCD 是直 角 梯 形 ， AD / BC , ABC90 , SA 平 面 ABCD， AD1，SAAB BC 1。求：2S（ 1） SB与底面 ABCD 所成的角；（ 2） SC与底面 ABCD所成角的正切值；（ 3） SC与平面 BD 所成角的正弦值。BCAD课堂小结：反思一下本节课，你收获到了什么啊?;.当堂检测1.设线段
6、AB=l,直线 AB 与平面所成的角为，线段 AB 在平面内的射影长为 3 的是（）A. l=6， =0B.l =6，=90C.l=6=60D. l=6， =45 .2.已知平面内的一条直线AB 与平面的一条斜线AC 的夹角为60，直线 AB 与斜线 AC 在平面内的射影AD 的夹角为45，则斜线 AC 与平面所成角的大小为。 3已知平面 内的角 APB 60，射线 PC 与 PA、 PB 所成角均为 135，则 PC 与平面 所成角的余弦值是 ()6633A 3B. 3C. 3D 34、正四棱锥S ABCD，O 为顶点在底面上的射影， P 为侧棱 SD的中点， 且 SO=OD，则直线 BC 与平面 PAC所成的角是（）A、 300B、 450C、 600D、 750 5、长为 1 的正方体 AC11 111， E、 F 分别是 B C 、 C D 的中点求直线A D 与平面 BDEF所成的角;.