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1、.（一）极坐标中的运算1在直角坐标系 xOy 中，直线 C1 :22x = 2，圆 C2 ： x 1y 21,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求 C1 ， C2 的极坐标方程；（）若直线 C3 的极坐标方程为R ，设 C2 与 C3 的交点为 M , N,求 VC2MN4的面积 .2【 2015 高考新课标2，理 23】选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy 中，曲线 C1xt cos,0 ），其中 0:t sin（ t 为参数， t，在以y,O 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 C2 :2sin ， 曲 线
2、C3 :2 3 cos （） .求 C2 与 C1 交点的直角坐标；（） .若 C2 与 C1 相交于点 A ， C3 与 C1 相交于点 B ，求 AB 的最大值3 3【答案】（） (0,0) 和 (,) ；（） 4 .（）曲线C1 的极坐标方程为(R,0) ，其中 0因此 A 得到极坐标为 (2sin ,) ， B的 极 坐 标 为 (23 cos, ) 所 以 AB2sin2 3cos4 sin() ，当5AB 取得最大值，最大值为 4 时，363（ 2016 年全国 I 高考）在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为（t为参数， a 0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的
3、极坐标系中，曲线C2：=4cos .（I）说明 C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；（II ）直线 C3 的极坐标方程为 =0，其中 0 满足 tan 0=2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在C3 上，求 a.解：xa cos t（ t 均为参数）y1a sin t x2y2a 21 C1 为以0 ，1为圆心， a 为半径的圆方程为 x2y22 y 1 a20 x2y22，ysin22sin120即为 C1 的极坐标方程aC2 ：4cos两边同乘得24cosQ2x2y2 ， cosxx2y24x即 x22y24C3 ：化为普通方程为 y 2 x由题意： C1 和 C2 的公共
4、方程所在直线即为C3得： 4 x2 y1 a20 ，即为 C32 1 a 0 a 14：已知圆C 的圆心 C 的极坐标为 (2, )，半径为 3，过极点O 的直线 L 与圆 C 交于 A,B 两.?点， ?与 ?同向，直线的向上的方向与极轴所成的角为（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）当= 135 时，求 A,B 两点的极坐标以及弦 |?|的长?= 4 -2?O 为极点， x 轴的5：在直角坐标系 xoy 中，曲线 ?1 的参数方程为 2 （为参数）以2?= 2?非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线 ?的极坐标方程为 = 2 cos ?2（1）求曲线 ?的极坐标方程和 ?的参数方程；12（2）若射
5、线 = ?与曲线 ?,?12分别交于 M,N 且 |ON|=|?|，求实数 的最大值 .(? 0)（二） .参数方程中任意点（或动点）例：曲线 ?= -4+ ?： ?= 8?1 :(t 为参数 )， ?2(为参数 )?= 3 + ?= 3?（1） .化 ?， ?为直角坐标系方程，并说明表示什么曲线。12上的点 P 对应的参数为 t =上的动点， 求 PQ 中点 M 到直线 ?= 3 + 2?(2).若 ?12,Q 为 ?23?=(t-2 + ?为参数 )距离最小值。例：在极坐标中，射线?23，以极L: = 与圆 c: = 2 交于 A 点，椭圆D 的方程为 ? =261+2?点为原点，极轴为x
6、 正半轴建立平面直角坐标系xoy（ 1） 求点 A 的直角坐标和椭圆 D 的参数方程；（ 2） 若 E 为椭圆 D 的下顶点， F 为椭圆 D 上任意一点，求 ?.?的取值范围。例：在直角坐标系中， 圆 ? 22? = 3?后得到曲线 ?以坐标原点为极1 ? + ? = 1 经过伸缩变换 2? = 2?点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L 的极坐标方程为 cos ?+ 2 sin ?= 10.?（1）求曲线 ?的直角坐标方程及直线L 的直角坐标方程；2（2）设点 M 是 ?上一动点，求点 M 到直线 L 的距离的最小值 .2例（ 2016 年全国 III 高考）在直角坐标系x3 co
7、s为参数 ) ，xOy 中，曲线 C1 的参数方程为(ysin以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为sin() 2 2 .4（I ）写出 C1 的普通方程和C2 的直角坐标方程；（II ）设点P在C1上，点在上，求 | 的最小值及此时P的直角坐标 .Q C2PQ.三直线与曲线相交问题例（ 2016 年全国 II 高考）在直角坐标系xOy 中，圆 C 的方程为 ( x6)2y225 （）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（）直线 l 的参数方程是xt cosl 与 C 交于 A, B 两点，| AB |10 ，y（ t
8、 为参数）,t sin求 l 的斜率解：整理圆的方程得x2y212110 ，2x2y2由cosx 可知圆 C的极坐标方程为212cos 110 siny记直线的斜率为k ，则直线的方程为kxy0，6k2由垂径定理及点到直线距离公式知：10，1 k2252290 ，整理得 k 2515即 36k 2，则 k1k433x53t例（ 2015）湖南已知直线 l :2（ t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴1 ty32.为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos.（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点 M 的直角坐标为(5,3) ，直线 l 与曲线 C 的交点为
9、A ，B ，求 | MA | | MB | 的值 .例：在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 ?的参数方程为 ?= cos ?=，(为参数，且 ?0， ）1sin ?以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，.曲线 ?的极坐标方程2四求点坐标，图形面积，轨迹方程等的计算。例：（全国新课标理 23）选修 4-4：坐标系与参数方程在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 ? 的 参 数 方 程 为 ?= 2? 为 参 数 )1(?= 2 + 2?uuuruuuurM 为 ?1上的动点， P 点满足 OP2OM ，点 P 的轨迹为曲线 ?2（I ）求 ?的方程；2?（II ）在以 O
10、 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 =与?的异于极点的交点31为 A ，与 ?的异于极点的交点为B ，求 |AB|.2解：?（I ）设 P(x， y)，则由条件知M （? ?点在 ?上，所以 2= 2?,）由于 M21?22 = 2 + 2?从而 C 2 的参数方程为x4cosy4 4sin（ 为参数）（）曲线 C1 的极坐标方程为4sin，曲线 C2 的极坐标方程为8sin1 4sin射线3 与 C1 的交点 A 的极径为3 ，28sin射线3与 C2 的交点 B 的极径为3 所以| AB | 21 | 2 3.例：在平面直角坐标系xoy 中，曲线 C 的参数为 ?= ?+
11、?cos ?= ?sin ?(a 0) ，以 O 为极点 x，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线L 的极坐标方程 cos ?-?33) =2 .(1) 若曲线 C 与 L 只有一个公共点，求a 的值；.(2)?A,B 为曲线 C 上的两点且 AOB= ，求 OAB 的面积最大值 .3习题训练：1.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 的2?2?)-2=0的极坐标方程为 =与?相交极坐标方程为 ?-22?sin?( ?-曲线 C?(?), ?2441于 A,B 两点 .（1）求 C1 和 C2 的直角坐标方程；(2)若点 P为 ?上的动点，求 |?
12、| 2+|?|2 的取值范围 .12.在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的?= 4 -2?C 2 的极坐标方程为 =2cos参数方程 22 ( t 为参数）曲线?=?2(1)求C1的极坐标方程和 ?的参数方程 ;2|(2) 若射线 = ? ?（ 0 ）与曲线 ?， ?分别交于 M,N 且?= ?，求实数的最大0?12值 .3.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 和?直线 L 的极坐标方程分别为= 4 2cos( -) ， (3?-?)= 2?.4(1) 将曲线 C 极坐标方程化为直角坐标方程；1
13、1（2）直线 L 与曲线 C 交于 A,B 两点，点 P（ 3 ， 1）求|?|2 + |?| 2 的值 .4. 在极坐标系中，已知曲线C：cos ( +?4 ) =1, 过极点 O作射线与曲线 C 交于 Q，在射线| |2OQ上取一点 P，使? ?=（1）求点 P 的轨迹 ?的极坐标方程；1（2）以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，若直线 L： y= - 3?与12（1）的曲线 ?相交于 E（异于点 O）,与曲线 ?: ?= 2 -2?F，求|122( t 为参数）相交于点?=2 ?的值 .5. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程 ?= 1 + 2?(
14、为参数）若 M是曲线 ?上?= 2 + 2?1的一点，点 P 是曲线 ?上任意一点，且满足=3 .2?（1）求曲线 ?的直角坐标方程；2(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 L: sin -cos- 7 =|，试求 MEF 面积的最大值 .0，在直线 L 上两动点 E,F 满足?= 42.?= -3?26在直角坐标系 xOy 中，曲线L 的参数方程 1( t 为参数）以坐标原点为极点，?= 1 +?2x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C136的 极 坐 标 方 程 =43?-12?-?定点 M(6 ，0) ，点 N 是曲线 ?上的动点， Q为 MN的中点；1（1）求点 Q的轨迹 ?的直角坐标方程；2（2）已知直线L 与 x 轴的交点为P，与曲线 ?的交点为A,B 若 AB的中点为D，求 |?|的长 .27. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线?1的极坐标方程为2?曲线 ?的极坐标方程为 =?与 ?的交?- 22sin?( -)-2=0,2( R), ?2441点为 A,B.(1) 将曲线 ?极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A,B 的直角坐标；1,?2（2）若 P为 ?上的动点，求| 22的取值范围 .?+|1?.