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1、.数学试题（文史类）第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数 (2i) 2 等于A. 34iB.54iC.32iD.52i2.已知集合 M1,2,3,4, N-2,2 ，下列结论成立的是A.N MB. M N MC. M N ND. MN23.已知向量 a(x -1,2),b(2,1) ，则 ab 的充要条件是A. x- 1B. x-1C. x5D. x02【解析】有向量垂直的充要条件得2（ x-1） +2=0 所以 x=0 。 D 正确【答案】 D【考点定位】考察数量积的运算和性质，
2、要明确性质。4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球B三棱锥C正方体D 圆柱、【解析】分别比较A、 B、 C 的三视图不符合条件，D 符合【答案】 D【考点定位】考查空间几何体的三视图与直观图，考查空间想象能力、逻辑推理能力。;.x2y2(3,0) ，则该双曲线的离心率等于5 已知双曲线2 -=1 的右焦点为a53143234A14B4CD236阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于A -3B-10C0D-2【解析】 1.S=2 1-1=1， K=22.S=21-2=0， K=33S=20-3=-3 K=4，输出 -3【答案】 A【考点定位】
3、该题主要考察算法的基本思想、结构和功能， 把握算法的基本思想是解决好此类问题的根本。7.直线 x2 y - 2 0 -与圆 x2y 24 相交于 A, B 两点，则弦AB 的长度等于A. 2 5B 23 .C. 3D.1;.8.函数 f (x)sin(x -) 的图像的一条对称轴是4A. x =B. x =C x =-424D. x =-21, x0,9.设 f (x)0, x1, x为有理数) 的值为0, g (x),则 f (g(-1, x0, x为无理数0,A 1B 0C -1D .【解析】因为g （） =0所以 f（g （） =f （ 0） =0 。 B 正确【答案】 B【考点定位】该
4、题主要考查函数的概念，定义域和值域，考查求值计算能力。xy - 3010.若直线 y2x 上存在点 (x, y) 满足约束条件x - 2 y - 30 ，则实数 m 的最大值为xm3A.-1B.1C.D.22【解析】因为 x+y-3=0 和 y=2x 交点为（ 1，2） 所以只有 m 1 才能符合条件，B 正确【答案】 B【考点定位】 本题主要考查一元二次不等式表示平面区域，考查分析判断能力。逻辑推理能力和求解能力。;.11.数列 an 的通项公式 ann，其前 n 项和为 Sn ，则 S2012n cos等于2A.1006B.2012C.503D.012.已知 f (x)x 3- 6x29x
5、 - abc ， ab c ，且 f ( a)f (b) f (c) 0.现给出如下结论： f (0)f (1)0 ； f (0) f (1)0 ； f (0) f (3)0 ； f (0) f (3)0 .其中正确结论的序号是A.B.C.D.第卷（非选择题共90 分）二、填空题：本大题共4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。13.在 ABC中，已知BAC60 ,ABC45 ， BC3 ，则 AC =_。14.一支田径队有男女运动员98 人，其中男运动员有56 人。按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28 的样本，那么应抽取女运动员人数是 _。
6、【解析】 9856 28=1298;.【答案】 12【考点定位】此题考查分层抽样的概念和具体做法，明确分层抽样的本质是关键15.已知关于x 的不等式 x 2 - ax2a0 在 R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_。【解析】因为不等式恒成立，所以0，即a24 2a 0 所以0a8【答案】（0，8）【考点定位】该题主要考查一元二次不等式的解法，解法的三种情况的理解和把握是根本。16.某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市
7、道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为_。三、解答题：本大题共6 小题，共74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12 分）;.在等差数列 an 和等比数列 bn 中， a1b11 ， b48 ， an 的前 10 项和 S1055（）求 an 和 bn ；（）现分别从 an 和 bn 的前 3 项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。【答案】（1 ） ann ， b2n（ 2）2n9【考点定位】本题主要考查等差、等比
8、数列、古典概型的基本知识，考查运算求解能力，考查转化与划归思想、必然与或然思想，注意留心学习18.(本题满分12 分 )某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：?（I）求回归直线方程 y bx a ，其中 b -20,ay - bx ；（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4 元 /件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入 -成本）;.19.（本小题满分12 分）如图，在长方体ABCD - A1B1C1D1 中， ABAD1 ， AA12 ， M 为棱 DD1 上的一点。（1）
9、求三棱锥A-MCC1 A - MCC1 的体积；（2）当 A1 MMC 取得最小值时，求证： B1M 平面 MAC 。【解析】（1 ）又长方体 AD平面 CDD 1C1 .点 A 到平面 CDD1C1 的距离 AD=1， SV MCC=1CC1CD =1 2 1=1 ， VA MCC1AD SVMCC11221313(2)将侧面 CDD 1C1 绕 DD1 逆时针转动 90展开， 与侧面 ADD1A1 共面。当 A1，M,C 共线时，A1 M +MC 取得最小值 AD=CD=1 , AA1 =2 得 M为 DD1 的中点连接M C1 在 VMCC 1 中，MC1 =MC=2 ， CC1 =2,
10、 CC12 = MC12 + MC 2 , CMC 1 =90 ,CM MC1 , B1C1 平面 CDD1C1 ， B1C1 CM AM MC=C;.CM平面 B1C1M ,同理可证B1M AM B1M 平面 MAC【答案】13【考点定位】 本题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系以及体积等基本知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想、化归与转化思想。20. （本小题满分 13 分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（ 1）sin2 13cos2 17-sin1317cos（2） sin 2 15cos2 15- sin15cos15
11、（3） sin 2 18cos2 12- sin18cos12（4） sin 2(-18)cos2 48- sin(-18)cos48（5） sin 2(-25)cos2 55- sin(-25)cos55 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 根据（）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。、21.（本小题满分12 分）如图，等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ，且其三个顶点均在抛物线E ：x22py (p0) 上。;.（1）求抛物线E 的方程；（2）设动直线l 与抛物线 E 相切于点 P ，与直线 y-1相较于点 Q 。证明以 PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点。
12、【解析】（1）依题意 OB83,BOY30 设点 B（ x， y），则 x=83 sin30= 4 3Y=83 cos30 =12 ， B（ 43 ， 12）在抛物线上， (43)2 =2p 12， p=2，抛物线 E 的方程为 X 2=4y（2）设点 P（ X0, Y0 ） , X 0 0. Y=1X 2 ,Y 1x ,42切线方程： y- y0 =1 x( xx ) ，即 y=1 xx1 x22002040112x=x 20 -4y2 x0 x4x02x 0x 20 4由得 Q（，-1）Y1Y= 12x 0uuuruuuur24，uuuruuuur设 M （0，y1 ）MP(x，），（ x
13、 01）， MP MQ =00y0y1MQ =2x 0y1x204- y0 - y0 y1 + y1+2=0，又12，联立解得 y1 =12x 0y1y0 = x0（x 00）4故以 PQ 为直径的圆过y 轴上的定点 M（ 0， 1）【答案】 x 2 =4y【考点定位】本题主要考察抛物线的定义性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基本指导，考查运用求解能力、推理论证能力、数形结合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想。;.22.（本小题满分14 分）已知函数 f ( x) axsin x3(aR), 且在 0, 上的最大值为3 ，222（1）求函数f (x) 的解析式；(2)判断函数f (x
14、) 在 (0,) 内的零点个数，并加以证明。由（ 1）知 f（ x） = x sin x- 3 ， f（0） =- 30，2222f （ x）在 0,上至少有一个零点，又由（1）知 f （x）在 0,上单调递增，22故在 0,上只有一个零点，当 x，时，令 g（ x）= f (x) = sinx+xcos x ，22g（）=10， g（ )= -0， g（ x）在，上连续， m， g（ m） =0222，上递减，当 x， m时，g（ x )=2cos x-x sin x g（m） =0，（， m）时， f（ x） f（） =3f（ x ) 0， f（x）递增，当 m0222f （ x）在（ m，）上递增，f（m） 0， f （） 0,f （ x）在（ m，）上只有一个零点，综上f（ x）在（ 0，）上有两个零点，【答案】（1 ）f （ x）= x sin x- 3 ；（2） 2 个零点2【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识，考查推理论证能力、运;.算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想。;.