西城区2016届高三一模数学(理).docx

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1、.北京市西城区 2016年高三一模试卷数学（理科）2016.4第卷（选择题共 40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1设集合 A24x 0 ，集合 B n | n 2k1, kZ ，则 AI B（） x | x（ A ） 1,1（ B） 1,3（ C） 3, 1（ D） 3, 1,1,32. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为x 22 cos, ( 为参数 ) ，则曲线 Cy2 sin是（）（ A ）关于 x 轴对称的图形（ B）关于 y 轴对称的图形（ C）关于原点对称的图形（ D ）关于直线 y

2、x 对称的图形3. 如果 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）（ A ） y x f ( x)（ B ） y xf ( x)（ C） y x2f ( x)（ D ） y x2 f ( x)4. 在平面直角坐标系uuuruuurxOy 中，向量 OA ( 1, 2) ， OB (2, m) ， 若 O, A, B 三点能构成三角形，则（）（ A ） m4（ B） m4开始（ C） m 1（ D） mR输入 A, S5. 执行如图所示的程序框图，若输入的A, S 分别为 0, 1，k1则输出的 S（）AA k（ A ）4k k 2（ B）16SS A（ C）

3、27k4否（ D）36是输出 S结束.6. 设 x(0, 1) ，则“ a (,0) ”是“ log 1x x a ”的（）22（ A ）充分而不必要条件（ B）必要而不充分条件（ C）充分必要条件（ D）既不充分也不必要条件7. 设函数fxAsinx（ A ，是常数，A0 ，0 ），且函数fx 的部分图象如图所示，则有（）y（ A ） f (3f (5f (7)436（ B） f (3f (7f (5)4635 57O（ C） f (f (f (3126)364x537（ D） f ( ) f () f ()3468. 如图，在棱长为 a (a 0) 的正四面体 ABCD 中，点 B1 ,C

4、1 , D1 分别在棱 AB , AC , AD 上，且平面 B1C1 D1 / 平面 BCD ， A1 为 D BCD 内一点， 记三棱锥 A1 - B1 C1 D1 的体积为 V，设 AD1 = x ，AD对于函数 V =f (x) ，则（）A2（ A ）当 x =时，函数f ( x) 取到最大值B1D13（ B）函数 f (x) 在 ( 1 ,1)上是减函数BC12D（ C）函数f (x) 的图象关于直线x= 1A12 对称Cx1VA- BCD 为四面体 ABCD 的体积）（ D）存在0 ，使得 f ( x ) VA- BCD （其中03.第卷 （非选择题共 110 分）二、填空题：本大

5、题共6 小题，每小题5 分，共 30分9.zzz1_在复平面内，复数与2 对应的点关于虚轴对称，且z1 1 i ，则.1z210已知等差数列 an 的公差 d0， a33， a2a45 ，则an_ ；记 an的前n 项和为 S，则S的最小值为 _.nn2222x22正 (主 )视图侧 (左 )视图1与双曲线C：1(a0)11若圆 (x 2)y2y的渐近a线相切，则 a_；双曲线 C 的渐近线方程是 _.12. 一个棱长为 4的正方体， 被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是_.俯视图13. 在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5 人报名参加了 A, B, C 三个项目的

6、志愿者工作，因工作需要， 每个项目仅需 1 名志愿者， 且甲不能参加 A, B 项目，乙不能参加 B, C 项目， 那么共有 _ 种不同的选拔志愿者的方案 .（用数字作答）14. 一辆赛车在一个周长为3 km 的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图 1 反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系s（ABs图1）ssC（D图2）根据图 1，有以下四个说法：在这第二圈的 2.6 km 到 2.8 km 之间，赛车速度逐渐增加；1在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6 km；2大约在这第二圈的 0.4 km 到 0.6 km 之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；3在

7、图 2 的四条曲线（注： S 为初始记录数据位置）中，曲线B 最能符合赛车的运动轨迹 .4.其中，所有正确说法的序号是_.三、解答题： 本大题共6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）在 ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a b，c.设 A， sin B 3sin C .3（）若 a7 ，求 b 的值；（）求 tanC 的值 .16（本小题满分13 分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40 名学生的测试成绩，整理数据并按分数段40,50) ， 50,60) ， 60,70) ， 70,80) ，80,90) ，9

8、0,100 进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.各14分 12数 108段6人数 42O455565758595体育成绩（）体育成绩大于或等于70 分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1000 名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；（）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在60,70) 和 80,90) 的样本学生中随机抽取2 人，求在抽取的2 名学生中，至少有1 人体育成绩在60,70) 的概率；（ ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c ，且分别在 70,80)，80,90) ，90,100三组中，

9、其中 a， b， cN 当数据 a，b，c 的方差 s2 最小时，写出 a，b， c 的值 .（结论不要求证明）（注： s2 1( x1x )2( x 2 x)2L ( xnx)2 ，其中 x 为数据 x1 , x2,L , xn 的平均数）n.17（本小题满分14 分）如图，四边形ABCD 是梯形， AD / BC ， BAD90o ，四边形 CC1 D1 D 为矩形，已知AB BC1 ，AD4，AB2，BC.1（）求证：BC 1 / 平面 ADD1 ；（）若 DD12 ，求平面 AC1 D1 与平面 ADD1 所成的锐二面角的余弦值；（）设 P 为线段 C1 D 上的一个动点（端点除外）

10、，判断直线 BC1 与直线 CP 能否垂直？并说明理由 .D 1C1ADBC18（本小题满分13 分）已知函数f ( x)xexaex 1 ，且 f (1)e .（）求 a 的值及 f ( x) 的单调区间；（）若关于x 的方程f ( x)kx22 (k2) 存在两不相等个正实数根x1 , x2 ，证明：| x1x2 |ln 4 e.19（本小题满分14 分）22的长轴长为2 6 ， O 为坐标原点 .已知椭圆 C ： mx3my 1(m 0)（）求椭圆C 的方程和离心率；（）设点A(3,0) ，动点 B 在 y 轴上，动点P 在椭圆 C 上，且 P 在 y 轴的右侧，若| BA | | BP

11、 |，求四边形OPAB 面积的最小值 .20（本小题满分13 分）设数列 an 和 bn 的项数均为 m，则将数列 an 和 bn 的距离定义为m| aibi | .i 1（）给出数列1,3,5,6 和数列 2,3,10,7 的距离；（）设A为满足递推关系an 11an 的所有数列 a的集合， b 和 c 为 A 中的两1nnnan个元素，且项数均为m，若 b12 ， c13 ， bn 和 cn 的距离小于 2016 ，求 m 的最大值；（）记 S 是所有 7 项数列 an |1 n 7, an 0 或 1 的集合， TS ，且 T 中任何两个元素的距离大于或等于3，证明： T 中的元素个数小

12、于或等于16.北京市西城区2016 年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学 （理科）2016.4一、 ：本大 共8 小 ，每小 5 分，共 40分 .1 C2 A3 B4 B5 D6 A7 D8 A二、填空 ：本大 共6 小 ，每小 5 分，共 30分 .9 i10 2n91611y3x12 6 3313 2114 14注：第 10， 11 第一 2 分，第二 3 分；第14 多 、少 或 均不得分 .三、解答 ：本大 共6 小 ，共 80分 . 其他正确解答 程， 参照 分 准 分.15（本小 分13 分）（） 解：因 sinB3sin C ，由正弦定理abc，sin Bsin Asin

13、C得 b 3c .3分由余弦定理 a2b2c 22bccos A 及 A7 ， 5分3， a得 7 b2c2bc ，所以 b2( b )2b 27 ，33解得 b3 . 7分（） 解：由 A2C .，得 B33所以 sin(2C) 3sin C . 83分.即3cosC1 11 分2sinC 3sin C ，2所以3 cosC5 sin C ，22所以 tan C3 . 135分16（本小 分13 分）（） 解：由折 ，知 本中体育成 大于或等于70 分的学生有 30人， 2分所以 校高一年 学生中，“体育良好”的学生人数大 有100030750 人 . 440分（） 解： “至少有 1人体育

14、成 在 60,70) ” 事件 A ， 5 分由 意，得P ( A)C3237121，C51010因此至少有1 人体育成 在60,70)的概率是 7. 9 分10（） 解： a , b , c 的 分 是 79 , 84, 90 ；或 79, 85 , 90. 13 分17（本小 分14 分）（） 明 ：由 CC1 D1 D 矩形，得CC1 / DD 1 ，又因 DD 1平面 ADD 1 ， CC 1平面 ADD 1 ，所以 CC1 / 平面 ADD 1 ，2分同理 BC / 平面 ADD 1 ，又因 BC I CC 1C ，所以平面BCC 1 / 平面 ADD 1 ,3 分又因 BC1平面

15、BCC 1 ，.所以 BC1 / 平面 ADD1 . 4分（ ）解：由平面 ABCD中， AD /BC ，BAD 90o ，得 ABBC ，又因 AB BC1 ， BC I BC1B ，所以 AB平面 BCC1 ，所以 ABCC1 ，又因 四 形CC1D1D 矩形，且底面ABCD中 AB与 CD 相交一点，所以 CC1平面 ABCD，因 CC1 / DD 1 ，所以 DD1平面 ABCD.过 D 在底面 ABCD中作 DMAD ，所以 DA, DM , DD1两两垂直， 以 DA, DM , DD1 分别为 x 、 y 和 z ，如 建立空 直角坐 系，6 分则 D(0,0,0) ， A(4,

16、0,0) ， B(4, 2,0) ， C(3, 2,0) ， C1 (3,2, 2) ， D1 (0, 0, 2) ，uuuruuur所以 AC1( 1,2,2) , AD1( 4,0, 2) . 平面 AC1D1 的一个法向量 m( x, y, z) ，uuuuruuuurx2 y2z 0,由 m AC10 ， m AD10 ，得2z0,4xzD1C1令 x 2 ，得 m (2, 3, 4). 8 分P易得平面 ADD 1 的法向量 n(0,1,0) .xADm n3 29BC所以 cos m , n.| m | n |29y即平面 AC1 D1 与平面 ADD1 所成的 二面角的余弦 3

17、29 . 10 分29（） 结论 ：直 BC1 与 CP 不可能垂直 . 11分.uuuruuuur 明： 设 DD1m(m 0) ， DPDC1 (0,1) ，由 B(4,2,0) ， C(3,2,0) ， C1 (3,2, m) ， D (0,0,0) ，uuuuruuuuruuuruuuuruuur得 BC1( 1,0, m) ， DC1(3,2, m) ， DPDC1 (3 ,2,m) ， CD ( 3, 2,0)，uuuruuuruuur(33,22,m) . 12 分CPCDDPuuuuruuur(33) m20 ，即 (m2若 BC1CP ， BC1CP3)3 ，因 0 ，所以

18、m233 0 ，解得1， 与 01 矛盾 .所以直 BC1 与 CP 不可能垂直 .14 分18. （本小 分 13 分）（） 解： f (x) 求 ，得f ( x)(1x)exaex 1， 2分所以 f (1) 2ea e ，解得 ae . 3分故 f ( x)xexex ， f(x) xex .令 f ( x)0 ，得 x 0 .当 x 化 ， f ( x) 与 f (x) 的 化情况如下表所示：x(,0)0(0,)f( x)0f ( x)所以函数 f ( x) 的 减区 (,0) ， 增区 (0,) . 5 分（） 解：方程 f ( x)kx22，即 ( x 1)exkx22 0 ， 函

19、数 g( x) ( x 1)exkx22. 6分求 ，得 g (x)xex2kxx(ex2k) 由 g ( x)0 ，解得 x0 ，或 xln(2k ) . 7 分.所以当 x (0,) 化 ， g ( x) 与 g( x) 的 化情况如下表所示：x(ln(2 k), )(0,ln(2 k )ln(2 k)g (x)0g (x)所以函数 g(x) 在 (0,ln(2 k ) 减， 在 (ln(2 k),) 上 增 . 9 分由 k2 ，得 ln(2k )ln 4 1 .又因 g(1)k20 ，所以 g(ln(2 k)0 .不妨 x1 x2 （其中 x1 , x2 为 f ( x) kx22 的

20、两个正 数根） ，因 函数 g(x) 在 (0,ln2k) 减，且 g(0) 10 ， g(1)k 2 0 ，所以 0x11. 11分同理根据函数g( x) 在 (ln 2k ,) 上 增，且g(ln(2 k) 0，可得 x2ln(2 k)ln 4，所以 | x1x2 | x2x1ln 4 1 ln 4 ，e即 | x1x2 |ln 4. 13分e19（本小 分14 分）（） 解：由 意， C： x2y21 ， 1 分11m3m所以 a21， b21，m3m故 2a 212 6，解得 m1 ，m6所以 C 的方程 x2y21. 3 分62因 ca 2b 22 ，所以离心率 ec6 . 5a3.

21、分（） 解： 段 AP 的中点 D ，因 | BA | | BP |，所以 BDAP， 7 分由 意，直 BD 的斜率存在， 点 P( x0 , y0 )( y00) ， 点 D 的坐 ( x03 , y0) ，22且直 AP 的斜率 kAPy0， 8x03分所以直 BD的斜率 13x0，kAPy0所以直 BD的方程 ： yy03x0( xx03) . 10 分2y02令 x0 ，得 yx02y029 ， B(0, x02y029 ) ，2 y02 y022x0y0262由21 ，得 x03 y0 ，6化 ，得 B (0,2 y023 11 分2 y0) .所以四 形 OPAB 的面 SOPA

22、BS OAPS OAB13| y0 |13 | 2 y023 | 12 分222 y032 y23(| y0 | |0|)22 y03(2 | y0 |3)22 | y0 | 322 | y0 |322| y0 |33 .当且 当 2 y0332,2 等号成立 .2y0，即 y02所以四 形 OPAB面 的最小 33 . 14 分20（本小 分13 分）（） 解：由 意，数列1,3,5,6和数列2,3,10,7 的距离 7.2 分（） 解： a1p ，其中 p0 ，且 p1 .由 an 11an，得 a21p， a31p1p ，1an1p， a4， a5pp1所以 a1a5 ，因此 A中数列的 周期性重复，且每隔4 重复一次 . 4分所以 bn 中， b2， b3 ，b1，b1（k N*），4k 34 k 24 k 124k3所以 cn 中， c4 k33 ， c4k22 ， c4 k 11， c4 k1（ kN* ） . 5分32k1k由| bici|bici |，得 数 m 越大，数列 bn 和 cn 的距离越大 .|i1i 147由|bici|， 6分3i1