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1、.一向量的概念与性质一知识点1与向量概念有关的问题向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小. 记号“ a b ”错了，而| a | | b | 才有意义 .有些向量与起点有关，有些向量与起点无关. 由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）. 当遇到与起点有关向量时，可平移向量.平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件 .单位向量是模为 1 的向量， 其坐标表示为 （x, y）, 其中x、y满足x2y21 （可用（ cos
2、 ,sin）（ 0 2）表示） .零向量 0 的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0 仅仅是一个无方向的实数 .有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.2与向量运算有关的问题向量与向量相加，其和仍是一个向量 .( 平行四边形法则：起点相同，三角形法则：首尾相连 )当两个向量a 和 b 不共线时，ab 的方向与 a 、 b 都不相同，且| ab | | a | | b | ；当两个向量a 和 b 共线且同向时， ab 、a 、b 的方向都相同， 且 | ab | a | b |；当向量 a 和 b 反向时， 若 | a | | b | ， ab 与a 方向相同，且 |
3、ab |=| a |-|b | ；若| a | | b | 时 , ab 与 b 方向相同，且 | a b |=| b |-|a |.向量与向量相减，其差仍是一个向量. 向量减法的实质是加法的逆运算.（三角形法则：起点相同，减向量重点指向被减向量的终点）围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量.如， ABBCCA0 , （在 ABC中）ABBCCDDA0 .( ABCD中 )判定两向量共线的注意事项如果两个非零向量a ， b ，使 a = b （ R），那么 a b ；反之，如 a b ，且 b 0，那么 a = b .这里在“反之”中，没有指出a 是非零向量，其原因为a =0 时，
4、与 b 的方向规定为平行 .（4）向量的数乘运算的定义：数乘运算模的大小为：（5） 当ruur0, a 与 a 的方向相同；ruur当 0, a 的方向与 a 的方向相反； r r当 0， a 0.（6）数量积的8 个重要性质（a bab cos）两向量的夹角为0 . 由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数.设 a 、 b 都是非零向量，e 是单位向量，是 a 与 b 的夹角，则e aae | a |cos.(| e | 1) abab0（=90， cos0)在实数运算中ab =0a =0 或 b=0. 而在向
5、量运算中a b = 0a =0 或 b = 0 是错误的，故 a0或 b0 是 ab =0 的充分而不必要条件 .当 a 与 b 同向时 ab =| a | | b | (=0,cos=1);当 a 与 b 反向时， ab =- | a | | b |(= ,cos =-1)，即 a b 的另一个充要条件是| a b | | a | | b | .特殊情况有 aa22a= | a | .或 | a | =a a2y 2 .= a =x2如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), 则| a | = ( x1x2 ) 2( y1 y2 )2
6、| a b | a | | b | 。（因 cos1 ）数量积不适合乘法结合律.如 (a b) c a (b c). （因为 (a b) c 与 c 共线，而 a (b c) 与 a 共线）数量积的消去律不成立 .若 a 、b 、c 是非零向量且 a cb c 并不能得到 ab 这是因为向量不能作除数，即 1c是无意义的 .二课堂训练1下列各式计算正确的有（）(1)( 7)6 a=-42a(2)7( a+b)8b=7a+15b(3)a 2b+a+2b=2a(4) 若 a=m+n,b=4 m+4n,则 a bA 1 个B 2 个C 3 个D 4 个1 12b) 的结果是 ( 2a 8b) (4a
7、（）2化简 3 2A 2a bB 2b aC b aD a b3下列各式叙述不正确的是（）A 若 a b,则 a、 b 不共线 ( R )B b=3a( a 为非零向量 ),则 a、 b 共线3a+2b,则 mnD若 a+b+c=0,则 a+b=-cC若 m=3a+4b,n=24对于菱形 ABCD ，给出下列各式： AB BC | AB | BC | | AB CD | | AD BC | | AC |2| BD |24 | AB | 2其中正确的个数为（）A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个5已知向量 a与 b 反向，下列等式中成立的是（）A | a | | b | | a b |B |
8、 a b | | a b |C | a | | b | | a b |D | a | | b | | a b |6在 ABC 中 ,AB=AC ,D 、E 分别是 AB、AC 的中点 ,则（）.A AB 与 AC 共线B DE 与 CB 共线C AD 与 AE 相等D AD 与 BD 相等7已知向量 e1、e2 不共线 ,实数 x、y 满足 (3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6 e1+3e2,则 x-y 的值等于 ()A 3B 3C 0D 28已知正方形ABCD 的边长为1,AB =a, BC =b, ACA 0B 3C2=c,则 |a+b+c|等于（）D 229. 已知 a 、 b 是
9、非零向量且满足 (a 2b)a, (b 2a)b ，则 a 与 b 的夹角是（）A B25CD633610.若非零向量 a, b 互相垂直，则下列各式中一定成立的是（）A a b a bB | a b | | a b |C (a b)(a b)0D ( ab) 2011已知菱形ABCD 的边长为2,求向量 AB CB + CD 的模的长 ._ 。12已知 | a | 4, | b |3, a, b 的夹角为 120，且 ca 2b ， d2a kb ，当 ca 时，k=.二向量的坐标形式一知识点rr若 a( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 )rr则 ab特别地：rrrrab若 a
10、 / b ，则rrra =若 ab ，则r r a bra =cosuuurA( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB二课堂训练1.uuuruuuruuur(uuur已知 AB(2,3), BC( x, y), CD1,4), 则 DA2.设 A(1, 3)和B(8, 1),若点 C(2 a1,a2) 在直线 AB上，则 a点 满足uuuruuuruuur3.设点 A(2,3), B(5,4), C(7,10),APABAC(R)P（ 1）当时，点 P 在第一、三象限角平分线上；（ 2）当时，点 P 在第四象限 .rrrr4.已知向量 a(1,1),b(13,13),则向量
11、与 的夹角为abrrrr的取值范围为5.设向量 a( x,3), b (2,1),与 与 的夹角为钝角 ，则xab6.rr(1,2), 若(rrrr已知向量 a( 3,1),b2ab)(akb ), 则实数 k =rrrrrrrrx ：7.已知向量 a(1,2), b( x,1), ua2b, v2ab ，根据下列情形求rrrr（1）若 u / v _ （ 2）若 uv ._rrrrrr=8.已知向量 a(1,2), b( x,1),若a与2 a平行，则x2bbr(rrrrr9.设向量 a3,4),向量 b满足 b / a , b 1,则b =uuuruuur(2,1)ABC 的面积为10.在
12、 ABC中，已知 AB( 1,2), AC，则.11.平面内给定三个向量rrr(4,1).a(3,2), b( 1,2), c（ 1）rrr求 3ab2c ；（ 2）rrr求满足 ambnc 的实数 m, n ；（ 3）rr/rr若 akc2ba ，求实数 k ；urur rrrurrur（ 4） 设 d(x, y)满足 d c / ab 且 dc 1,求 d .ruruur ruruururuur12.设向量 ae1e2 ,b4e13e2 ,其中 e1(1,0), e2(0,1).（ 1）rrrr试计算 ab及 ab 的值 ；r r（ 2） 求向量 a与b 夹角的大小 .单元测试题一、选择题
13、：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）rrrrr1、若向量方程 2x3( x2a)0，则向量 x 等于A、 6rrrraB、 6aC、 6aD 、 6 a552、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的rr位移向量分别为 a 和 b ，那么下列命题中错误的一个是rrrrA、 a 与 b 为平行向量B、 a 与 b 为模相等的向量rrrrC、 a与 b 为共线向量D 、 a 与 b 为相等的向量uuuruuuruuur3、 ABBCADuuuruuuruuuruuurA、 ADB、 CDC、 DBD 、 DC4、下列各组的两个向量，平行的是r(r(4,6)
14、rr(7,14)A、 a2,3) ， bB、 a(1, 2) ， brr(3,2)rr(6, 4)C、 a(2,3) ， bD 、 a( 3,2) ， b.uuuruuur5、若 P 分 AB 所成的比为3 ，则 A 分 BP 所成的比为4A、3B、7、 3D 、 773C37r(6,0)rrr6、已知 a， b( 5,5) ，则 a 与 b 的夹角为A、 45 0B、 60 0C、 135 0D 、 120 0r都是单位向量，则下列结论正确的是7、已知 ri ， jrrr2r 2A、 ij 1B、 ijrrrrr r0C、 i jijD 、 i juuurruuurr8、如图，在四边形ABC
15、D 中，设 ABa ， ADb ，DCuuurruuurBCc，则 DCrrrrrrA、 abcB、 b(ac)rrrrrrC、 abcD 、 bacAB9、 a (2,1), b(3,4), 则向量 a 在向量 b 方向上的投影为A、 2 5B、 2C、 5D 、1010、在 ABC 中， b3 ， c3 3 ， B300 ，则 aA、 6B、 3C、 6 或 3D 、 6 或 4二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题4 分，共 16 分）11、已知 M (3, 2) ， N ( 1,0) ，则线段 MN 的中点 P 的坐标是 _。12、设 O 是平行四边形 ABCD 的两条对角线的交点，
16、下列向量组：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（1） AD 与 AB ；（ 2） DA 与 BC ；（3） CA 与 DC ；（ 4） OD 与 OB ，其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底的向量组可以是 _。uuur13、已知 A(7,8) ， B(3,5) ，则向量 AB 方向上的单位向量坐标是 _。14、在 ABC 中，AC 8 ，BC5 ，面积 S ABCuuur uuur10 3 ，则 BC CA =_。.三、解答题：（本大题共 3 小题，共 44 分）rrrrrr rr15、已知 a3， b( 1, 3) ，（1）若 ab ，求 a
17、；（2）若 a b ，求 a 。rrr r3rr rr16、已知 a3， b4 ， a 与 b 的夹角为，求 (3ab) (a2b) 。4rrr r17、已知： a(cos ,sin ).b (cos ,sin )求证： a与b互相垂直 .参考答案一、选择题： CDDDBCBABC二、填空题：11、（1，-1）、（ ）、（ ）13、 (43)、1213,514205三、解答题r3 3 3r3 3 3r3 3 3r3 3 315、（1） a(, ) 或 a (2,) （2） a( ,2) 或 a (,)22222216、 3724 217. 证明：由已知条件得：a+b=(cos+cos， sin+sin)ab=(coscos， sin sin ) (a+b) (a b)=(cos +cos )(cos cos )+(sin +sin )(sin sin )=cos2 cos2+sin2sin2 =11=0 (a+b)(a b).