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1、.表面积相等的两个长方体体积也一定相等?把反例演绎得更精彩来源： 作者：叶天荣题目 1：体积相等的两个长方体表面积也一定相等。题目2：表面积相等的两个长方体体积也一定相等。 请判断上述的说法对吗？如果认为是错误的，请举出反例， 并归纳出举反例的一般方法。题目 1 的说法是错误的， 即体积相等的两个长方体表面积不一定相等，譬如说一个长方体的长、宽、高分别是4、3、2 厘米，那么它的体积是432=24 立方厘米， 表面积是 （ 43 4223） 2=262=52 平方厘米，另一个和它体积相等的长方体的体积24 立方厘米可以分解成长、宽、高分别是2、 2、 6 厘米，这时它的表面积却是282=56
2、平方厘米。当然长、宽、高也可以是8、 3、 1 厘米，但它的表面积却是352=70 平方厘米。由此可见体积相等的两个长方体表面积不一定相等。举反例的一般方法是将体积分解成三个因数相乘的形式，就可以得到长、 宽、高的长度分别是多少。 上述反例仅在整数范畴内， 如扩大到小数、 分数范畴，可以说它有无数组长、宽、高。题目 2 的说法也是错误的，但举此反例就没有上述情况简单，所举数据凑巧可以出现；如果不凑巧，那么还真难找呢？所以一定要归纳出举反例的一般方法，可以避免无目的的乱凑。根据需要我们将长方体分成二种类型： 一种是二个面是正方形， 另四个面是长方形的长方体，另一种是六个面都是长方形的长方体。一个
3、长方体的长、宽、高分别是4、4、8 厘米， 这时它的底面是正方形，表面积是802=160平方厘米，体积是448=128 立方厘米。举反例时另一个长方体的表面积也应是160 平方厘米，而它的体积由另一组长、宽、高而定，我们任意假设它的长=宽 =8 厘米，则它的底面积是 88=64 平方厘米， 长方体的前面与右面面积之和是160264=16 平方厘米， 因为长 =宽=8 厘米，前、右面面积又相等，所以前面面积=162=8 平方厘米， 高 =88=1 厘米， 即长、宽、高分别为8、8、1 厘米，此时的表面积仍是802=160 平方厘米，而体积却是881=64立方厘米。.归纳为一般方法为：（表面积的一
4、半底面积）2长=高当长、宽、高分别是8、6、4 厘米时，这时长方体的六个面都是长方形，它的体积是864=192立方厘米，表面积是1042=208 平方厘米。举反例时另一个长方体的表面积也看作208 平方厘米，它的体积则应由另一组长、宽、高而定。我们任意假设长与宽分别为10、 2 厘米，那么底面积为102=20 平方厘米，而前面和右面面积之和为104-20=84 平方厘米，所以高=84 （ 10 2） =7 厘米，这时的体积为1027=140 立方厘米。上述的结果是开放的，它的结果不是唯一的，长、宽、高可能是整数，也可能是小数，甚至是分数， 但无论怎样， 表面积相等的两个长方体的体积就是不一定相等， 归纳举反例的一般方法为：（表面积的一半长 宽） （长宽） =高，利用这种方法就可以求出表面积一定时长、宽、高另一种情况的反例。事实上长方体中的底面是正方形属特例，也可以纳入六个面都是长方形的情况之中，所以归纳二种方法也可以统一为后一种方法即：（表面积的一半长宽） （长宽） =高。.