数的整除特征.docx

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1、.数的整除性 主要有：（ 1） 若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。（ 2） 若两个数能被一个自然数整除， 那么 两个数的和与差都能被 个自然数整除。（ 3） 几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除， 那么它 的 也能被 个数整除。（ 4） 若一个数能被两个互 数中的每一个数整除， 那么 个数也能被 两个互 数的 整除。（ 5） 若一个数能被两个互 数的 整除， 那么 个数也能分 被 两个互 数整除。（ 6） 若一个 数能整除两个自然数的乘 ， 那么 个 数至少能整除 两个自然数中的一个。（ 7） 个位上是 0、 2、 4、 6、 8 的数都能被 2 整除。（ 8

2、） 个位上是 0 或者 5 的数都能被 5 整除。（ 9） 若一个整数各位数字之和能被 3（或 9）整除， 个整数能被 3（或 9）整除。（ 10）若一个整数末尾两位数能被 4 整除， 个数能被 4 整除。（ 11）若一个整数末尾三位数能被 8 整除， 个数能被 8 整除。（ 12）若一个整数各位数字之和能被 9 整除， 个整数能被 9 整除。（ 13）一个三位以上的整数能否被 7（11 或 13）整除 ,只 看 个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所 成的数的差 （以大减小）能否被 7（11 或 13）整除（ 14）末位数字 零的整数必能被 10 整除（ 15）另外 ,一个整数

3、的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11 的倍数 ,那么 个整数也是 11 的倍数 .（一个整数的个位、百位、万位、 称 奇数位 ,十位、千位、百万位 称 偶数位 .）（ 16）至于 6 和 12 的整除特性，通 以上的原 判断即可：各位数之和能被 3 整除的偶数能被 6 整除；各位数之和能被 3 整除且末两位数字 成的两位数能被 4 整除的整数能被 12 整除。.（ 17）能被 7 整除的数的特征： 若一个整数的个位数字去掉 ,再从余下的数中 ,减去个位数的 2 倍,如果差是 7 的倍数 ,则原数能被 7 整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。方法 1、（适用于数字位数少时

4、）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的 2 倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是 7 的倍数（包括 0），那么，原来的这个数就一定能被 7 整除例如：判断 133 是否 7 的倍数的过程如下： 13 327，所以 133 是 7 的倍数；又例如 判断 6139 是否 7 的倍数的过程如下： 61392595 ， 59 5249，所以 6139 是 7 的倍数，余类推。方法 2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差， 如果能被 7 整除，那么，这个多位数就一定能被 7 整除如判断数 280679 末三位数字是 679，末三位以前数字

5、所组成的数是280，679 280=399， 399 能被 7 整除，因此 280679 也能被 7 整除。此法也适用于判断能否被11 或 13 整除的问题。如：283679 的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679 283=396， 396 能被 11 整除，因此， 283679 就一定能被 11 整除如：判断 383357 能不能被 13 整除这个数的未三位数字是 357，末三位以前的数字所组成的数是 383，这两个数的差是： 383357=26， 26 能被 13 整除，因此， 383357 也一定能被13 整除方法 3、首位缩小法，在首位或前几位，减于7 的倍数。

6、例如，判断 452669 能不能被 7 整除， 452669-420000=32669，只要 32669能被 7 整除即可。对 32669 可继续，32669-28000=4669，4669-4200=469，469-420=49，49 当然被 7 整除，所以 452669 能被 7 整除。（ 18）能被 11 整除的数的特征：除了前面讲的被 7 整除的方法二适用于 11 之外，还可以把一个数由右边向左边数 ,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来 ,再求它们的差 ,如果这个差是 11 的倍数 (包括 0),那么 ,原来这个数就一定能被 11 整除。例如：判断 491678 能不能被 11 整

7、除。奇位数字的和.9+6+8=23 ，偶位数位的和4+1+7=12 ，23-12=11 因此 ,491678 能被 11 整除。这种方法叫 “奇偶位差法 ”。11 的倍数检验法也可用上述检查7 的割尾法处理！过程唯一不同的是：倍数不是 2 而是 1。（ 19）能被 13 整除的数的特征：除了前面讲的被 7 整除的方法二适用于 13 之外，还可以把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的 4 倍，如果和是 13 的倍数，则原数能被 13 整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来， 就需要继续上述截尾、倍大、相加、验和的过程，直到能清楚判断为止， 重复此过程。例如：判断 1284322

8、能不能被 13 整除。 128432+24=128440 ，12844+0 4=12844， 1284+4 4=1300， 1300 13=100所以， 1284322 能被13 整除。（ 20）能被 17 整除的数的特征：把一个整数的个位数字去掉， 再从余下的数中，减去个位数的 5 倍，如果差是 17 的倍数，则原数能被 17 整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。例如：判断 1675282 能不能被 17 整除。167528-2 5=16751816751-8 5=167111671-1 5=1666166-6 5=136如果差太大或心算不易看出是否 17 的倍数，就需要继

9、续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。6 5=30，现在个位 5=30剩下的 13，就用大数减去小数， 30-13=17， 17 17=1；所以 1675282 能被 17 整除。若一个整数的末三位与 3 倍的前面的隔出数的差能被 17 整除，则这个数能被 17 整除。（ 21）能被 19 整除的数的特征：把一个整数的个位数字去掉， 再从余下的数中，加上个位数的 2 倍，如果和是 19 的倍数，则原数能被 19 整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。.若一个整数的末三位与7 倍的前面的隔出数的差能被19 整除，则这个数能被 19 整除。（ 22）被 4 或 2

10、5 整除的数的特征如果一个数的末两位数能被4 或 25 整除，那么，这个数就一定能被4 或25 整除。例如： 46754610075由于 100 能被 25 整除， 100 的倍数也一定能被25 整除， 4600 与 75 均能被 25 整除，它们的和也必然能被 25 整除因此，一个数只要末两位数能被 25 整除，这个数就一定能被 25 整除又如：8328100 32由于 100 能被 4 整除， 100 的倍数也一定能被 4 整除， 800 与 32 均能被 4 整除，它们的和也必然能被 4 整除因此， 因此，一个数只要末两位数字能被 4 整除，这个数就一定能被 4 整除（ 23）被 8 整

11、除的数的特征如果一个数的末三位数能被8 或 125 整除，那么，这个数就一定能被8或 125 整除例如：9864 的末三位是 864，864 能被 8 整除， 9864 就一定能被 8 整除 72375 的末三位数是375，375 能被 125 整除， 72375 就一定能被 125整除。（ 24）1 与 0 的特性：1 是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有 1|a.0 是任何非零整数的倍数，a 0,a为整数，则 a|0.（ 25）被 23 或 29 整除的数的特征：若一个整数的末四位与前面5 倍的隔出数的差能被 23(或 29)整除，则这个数能被23(或 29)整除重点 难点数的整除概念

12、、 性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便， 在实际问题中应用广泛。要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。.学法指导能被 2 和 5，4 和 25，8 和 125 整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。我们可以综合推广成一条：末n 位数能被（或）整除的数，本身必能被（或）整除；反过来，末 n 位数不能被（或）整除的数，本身必不能被 （或）整除。例如，判断 253200、371601 能否被 16 整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被 16 整除。学习这一讲知识要学会举一反三。经典例题 例 1在 568 后面补上三个数字， 组成一个六

13、位数， 使它能分别被 3、4、5 整除，且使这个数尽可能小。思路剖析这个六位数分别被3、4、5 整除，故它应满足如下三个条件：（ 1）各位数字和是 3 的奇数；（ 2）末两位数组成的两位数是 4 的倍数；（ 3）末位数为 0 或 5。按此条件很容易找到这个六位数。解答不妨设补上三个数字后的位数为， 由于这个六位数被 4、5 整除，因为被 4 整除，所以 c 不能是 5 而只能是 0，且 b 只可能是 2、4、6、8、0。又因，所以 3|（5+6+8+a+b+0），所以：当 b=2 时， 3|（5+6+8+a+2）， a 可为 0、 3、 6、 9；当 b=4 时， 3|（5+6+8+a+4），

14、 a 可为 1、 4、 7；当 b=6 时， 3|（5+6+8+a+6）， a 可为 2、 5、 8；当 b=8 时， 3|（5+6+8+a+8）， a 可为 0、 3、 6、 9；当 b=0 时， 3|（5+6+8+a+0）， a 可为 2、 5、 8。为了使六位数尽可能地小，则 a 应取 0、b 应取 2、c 应取 0。故能被 3、 4、5 整除的最小六位数应为 568020。 例 2四位数能同时被2、3、5 整除，问这个四位数是多少？思路剖析.能同时被 2、3、 5 整除，所以满足以下三个条件：个位数字B 在 0、2、4、6、8之中，各位数字之和是3 的倍数，个位数B 在 0、5 之中。

15、第一个和第三个条件都是针对个位数字的，所以先根据第二个条件确定百位数字A 。解答要使能同时被 2 和 5 整除，个位数字只能是 B=0；又要使能被 3 整除，所以各位数字之和 8+A+1+0=9+A 应能被 3 整除。可以看出，当 A 取 0、 3、 6、 9 时，各位数字之和 9+A 可以被 3 整除。所求的四位数是 8010、8310、8610、8910。 例 3有两堆糖果，第一堆有513 块，第二堆有 633 块，哪一堆可以平均分给9个小朋友而无剩余？思路剖析本题实际上是判断513 与 633 能否被 9 整除。解答513 各位上数字之和是 5+1+3=9，能被 9 整除；633 各位上

16、数字的和是 6+3+3=12，不能被 9 整除。所以，第一堆可以平均分给 9 个小朋友而无剩余， 第二堆平均分给 9 个小朋友还剩余 3 块。 例 4有一个四位数是9 的倍数，求 A 的值。思路剖析四位数是 9 的倍数，即能被 9 整除，根据能被 9 整除的数的特征， 这个四位数的各位数字之和一定是9 的倍数。解答（ 1）当和是 9 时， 3+A+A+1=9 ，即 2A=5 ，所以 A=2 5（舍）；（ 2）当和是 18 时， 3+A+A+1=18 ，即 2A=14 ，A=7 ；（ 3）当和是 27 时， 3+A+A+1=27 ，即 2A=23 ，可见 A=11 510（舍）。所以， A 的值

17、是 7。. 例 5一位马虎的采购员买了72 只桶，洗衣时将购货发票洗烂了， 只能依稀看到：72 只桶，共 67 9元（ 内的数字洗烂了），请你帮他算一算，他一共用了多少钱？思路剖析用整除性质：一个数能被两个数和的积整除， 那么这个数就能同时被这两个数整除。例如，整数 a 能被 15 整除，那么这个数一定能同时被 3 和 5 整除。这种方法是分析整数问题的基本方法。解答将 679元看做 679分，这是 72 只桶的总价，因为单价 72=679，所以 679 能被 72 整除。 72=89，所以 679应该能被 8 和 9 整除。如果 679能被 8 整除，那么它的末三位一定能被 8 整除，即 8

18、|79 ，容易算出 内是 2。因为 6792能被 9 整除，所以其各数之和能被 9 整除。+6+7+9+2=+24，显然，中的数只能是 3。所以这笔账是 367 92 元。答：一共用了 367 92 元。 例 6在 里填上适当的数字，使得六位数 678能被 8、9 和 25 整除。解答解法一：根据8、 9 和 25 整除的数的特征很容易解出此题。这个六位数能被 25 整除，根据能被 25 整除的数的特征知， 六位数的末两位数可能是 00、25、50、75；该数又能被 8 整除，所以这个六位数的末三位数应能被 8 整除，而在 800、825、850、875 中只有 800 满足条件，所以这个六位

19、数的个位、十位都是 0；又因为这个六位数能被 9 整除，所以这个六位数的各位数字之和 （不妨设首位为 x）为：x+6+7+8=21+x能被 9 整除，可推出 x 只能为 6，所以这个六位数为667800。解法二：根据数的整除性质（4）：如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。.因 825=200，而且 8 与 25 互 ，根据整除的性 （4），所求的六位数能被200 整除，所以个位、十位都 是0。然后由 六位数能被9 整除，和解法一一 的方法可知 个六位数 667800。例 7有一水果 一天 6 筐，分 装着香蕉和苹果， 重量 8 千克、9 千克、16

20、千克、19 千克、23 千克和 27 千克。 一天 出一筐苹果， 在剩下的 5 筐中，香蕉的重量是苹果重量的2 倍。 掉的那筐重多少千克？剩下的5 筐，哪几筐是苹果，哪几筐是香蕉？思路剖析根据已知条件： 剩下的 5 筐中香蕉的重量是苹果的 2 倍。可推出：剩下的 5 筐中香蕉重量与苹果重量之和是 3 的倍数，即能被 3 整除。解答因 6 筐水果的 重量： 8+9+16+19+23+27=102（千克），根据 意，剩下的 5 筐中香蕉与苹果 重量之和是 3 的倍数，那么 出的一筐苹果也必 是 3 的倍数。从 6 筐水果数中可知有两种情况， 出一筐苹果可能是 9 千克或是 27 千克。如果 出的一

21、筐苹果是9 千克，那么 102 9=93(千克 )。根据剩下的 5 筐中香蕉的重量与苹果 重量的 2 倍， 苹果 93（ 1+2） =31（千克）。从剩下的 8、16、19、 23 和 27 中可知 8 千克和 23 千克 苹果（ 8+23=31）。最后剩下 16 千克、 19 千克和 27 千克 三筐 香蕉。如果 出的一筐苹果是 27千克，同理，102 27=75(千克 )，苹果 75(1+2)=25(千克 )，即 16 千克与 9 千克 两筐。香蕉便是最后剩下的 8 千克、 19 千克和 23 千克 三筐。所以本 有两种答案： 如果 出的那筐是 9 千克苹果， 剩下的 5 筐中 8 千克、

22、 23 千克两筐 苹果， 16 千克、 19 千克和 27 千克三筐 香蕉。如果 出的那筐是 27 千克苹果， 剩下的 5 筐中 9 千克、16 千克两筐 苹果， 8 千克、19 千克、23 千克三筐 香蕉。例 8把 1 至 1997 这 1997 个自然数依次写下来，得一个多位数12345678910111213 1994199519961997， 求 个多位数除以9 的余数。.思路剖析根据一个数能被 9 整除的特征可以知道： 一个自然数除以 9 的余数，等于 个自然数各个数位上数字和除以 9 的余数。所以上面求多位数除以 9 的余数 ，便 化 求 1 至 1997 这 1997 个自然数中

23、所有数字之和是多少的 。解答解法一：因 1 至 9 这 9 个数字之和 45，所以 10 至 19，20 至 29，30 至 39， 80 至 89，90 至 99 十个数的各位数位上的数字和分 ： 45+10，45+20，45+30，45+40， 45+80，45+90。所以， 1 至 99 这 99 个自然数各位数字之和 ：45+55+65+ +125+135=900因 1 至 99 这 99 个自然数各数位上数字之和 900，所以 100 至 199，200 至299，800至 899，900 至 999 些 100个数各位数位上的数字和分 ： 900+100，900+200， ，900

24、+800，900+900。所以， 1 至 999 这 999 个自然数各位上数字之和 ：900+1000+ +1700+1800=13500因 1 至 999 这 999 个自然数各位上数字和 13500，所以 1000 至 1999 这 1000个自然数各数位上的数字和 13500+1000=14500， 1 至 1999 这 1999 个自然数各数位的数字和 ： 13500+14500=28000。1998、1999 两个数各数位上的数字和 ： 27、28。280002728=27945， 9 能整除 27945，所以多位数除以9余 0解法二：将 0 至 1999 这 2000 个自然数一

25、 一尾搭配成如下的100 ：（ 0， 1999），（ 1，1998），（ 2， 1997），（ 3，1996），（ 4， 1995），（ 5，1994），（6，1993）（7，1992），（8，1991）（ 9，1990），（ 10，1989），（ 994，1005），（995，1004），（996，1003），（997，1002），（ 998，1001）（ 999，1000），以上各 两数之和 1999，并且每一 数相加 都不 位， 1至 1999 这 1999 个自然数的所有数字之和等于：（ 1+9+9+9） 1000=280001998、 1999 两个数各位数上的数字之和 ： 27、2

26、8。28000 27 28=27945，9 能整除 27945，所以多位数除以9 余 0。.解法三：因 依次写出的任意 9 个自然数所 成的多位数，一定能被9整除。而从 1 至 1997 一共有 1997 个数，19979=2218，1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997 这 8 个数所有数位上的数字和 19+20+21+22+23+24+25+26=180，180 能被 9 整除，所以多位数除以9 余 0。点津 什么依次写出的任意 9 个自然数所 成的多位数一定能被 9 整除呢？下面解 一下。因 任意 的 9 个自然数的各数位上的数字和除以 9 的余数

27、，必定是 0，1，2 ，7，8 这 9 个数，而 9 个数的和 36，36 能被 9 整除，所以任意依次写出的 9 个 自然数 成的多位数一定能被 9 整除。 散思 1 个四位数，同 能被2、 3、 4、 5、 9 整除，求此四位数。255 糖分 甲、乙、丙三人，甲分到糖的 数是乙的 2 倍，丙最少，但也多于 10 ，三个人各分几 ？3已知 4205 和 2813 都是 29 的倍数， 1392 和 7018 是不是 29 的倍数？4老 了 72 本相同的 ， 当 没有 住每本 的价格， 只用 笔 下了用掉的 数 137元，回校后 有两个数字看不清了。 你 上 两个数字 (其中 看不清的数字

28、)。5已知 45 整除，求所有 足条件的六位数。参考答案1解：因 ，所以 b=0 或 5。又因 ，故 b=0，即原四位数是，只需确定a。因 ，所以 9|（4+5+a）， a=0 或 9。又因 ，所以a=0。所以， 足条件的四位数是4500。2解：由 目条件可知，甲、乙=人分到的糖的 数和是3 的倍数。 丙分到x 糖，那么 x10。当 x=11 或 x=12 ，55-x 不能被 3 整除，丙不可能有 11 或 12 块.糖。当 x=13 时， 55-13=42，423=14。这时甲分到 28 块糖，乙分到 14 块糖。当x13 时，显然不符合题意。答：甲、乙、丙各分到糖28 块、 14 块、 1

29、3 块。3解：因为 7018 和 1392 分别是 4205 与 2813 的和与差，由数的整除性质（ 2）：如果两个数能被一个自然数整除， 那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除， 所以 7018 和 1392 都能被 29 整除。答： 1392 和 7018 都是 29 的倍数。4解：首先将 13 7元化为分，这样总钱数就是137分。由于每本书价格相同，所以 72| 137但是。 72=89，所以 8 和 9 都应整除 137。由于 8 整除 137，所以 8 整除 37。所以，当 37=376时，才有 8|376。所以原数为 1376。又由于 9整除 1376，所以其数字和 +l+3+7+6必为 9 的倍数。即 9 整除（ +17）。而 只能是 l 到 9 中的某个数字，所以 只能是 l。综上所述，原数是 11376 分，即113 76 元。5解：因为 45=59，所以根据整除性质（ 5）：若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除，可知：5 整除且 9 整除。所以 y 可取 0或 5。当 y=0 时，根据 9 整除及数的整除特征可知x=5。当 y=5 时，根据 9 整除及数的整除特征可知x=9。综上所述，满足条件的六位数是519930 或 919935。.