考研线性代数总结.docx

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1、.线性代数总结概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确A可逆r ( A)nA的列（行）向量线性无关A的特征值全不为 0Ax只有零解x，AxA0R n , Ax总有唯一解T是正定矩阵A AAEAp1 p2 pspi 是初等阵存在 阶矩阵B,使得AB E或AB En注n叫做 n 维向量空间 . ：全体 n 维实向量构成的集合RA不可逆r ( A)nA0的列（行）向量线性相关A0是 的特征值AAx有非零解 , 其基础解系即为关于AaE bAr (aEbA)n(aEbA) x有非零解注=- ba向量组等价矩阵等价 () 具有反身性、对称性、传递性矩阵相似 (:)矩阵合同 (;) 关于

2、 e1 , e2 ,en ：称为 ? n 的标准基， ? n 中的自然基，单位坐标向量0的特征向量p教材 87 ； e1 , e2 ,en 线性无关； e1 , e2 , en1 ； trE =n ；任意一个n 维向量都可以用e1, e2 , en 线性表示 .;.a11a12La1n行列式的定义a21a22L a2n1( j1 j2L j n )Dn( )a1 ja2 jL anjnMMM j1 j2 L jn12an1an2Lann 行列式的计算：行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元

3、素的代数余子式乘积之和等于零.AO=AAOOBOBA B若 A与 B 都是方阵（不必同阶）B（拉普拉斯展开式）, 则AAO=( 1)mn A BBOBO上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.a1nOa1na2n1a2 n 11n( n 1)关于副对角线：( )2NNan1Oan1Oa1n a2 n K an1 （即：所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积的代数和）11L1x1x2Lxn范德蒙德行列式：x12x22Lxn21j inxix jMMMx1n 1x2n 1 Lxnn 1a11a12La1n矩阵的定义由 mn 个数排成的 m 行 n 列的表 Aa21a22La2n称为

4、 m n 矩阵 . 记作： A aij或 Am nMMMm nam1am2LamnA11A21LAn1伴随矩阵A*AijTA12A22LAn2， Aij为A 中各个元素的代数余子式 .MMMA1nA2 nLAnn 逆矩阵的求法 :Aab11db主L 换位 A1注A ：cdad bcca副L 变号;. ( AME)初等行变换( EMA 1)a11111a1a1a3a21a21a3a2a21a31a3a1 方阵的幂的性质：Am AnAm n( Am )n( A) mn 设 Am n , Bns , A 的列向量为1 ,2 ,n ,B 的列向量为1 , 2 ,s ，b11b12Lb1s则 ABCms

5、1 ,2 , ,b21b22 Lb2sc1,c2 ,L, csA i ci， (i1,2 ,L, s)i 为nMMMbn1bn2LbnsAxci 的解A1 ,2 ,sA 1 , A2 , , Asc1 ,c2 ,L ,csc1,c2 ,L, cs 可由 1 ,2, ,n 线性表示 . 即： C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵 .同理： C 的行向量能由B 的行向量线性表示，AT 为系数矩阵 .a11a12La1n1c1a11 1a12 2 La1n 2c1即：a21a22La2 n2c2a21 1a22 2 La2 n 2c2MMMMMLLLan1an2L amnncmam1

6、 1 am2 2 Lamn 2cm 用对角矩阵相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的左 乘一个矩阵 ,行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵 ,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量 . 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.ABTATC T 分块矩阵的转置矩阵：CDBTD TA1A 11B 1分块矩阵的逆矩阵：ABB 1BA 1A C1A 1A 1CB 11A 1OA OO BOBC BB 1CA 1B分块对角阵相乘：AA11, BB11ABA11B11,nA11nA22B22A22B22AA22n;.*BA*( 1)mn A BAA分块对角阵的伴随矩阵：AB*B( 1)mn

7、B AB 矩阵方程的解法 ( A0 ) ：设法化成 (I)AXB或(II)XAB(I)的解法：构造 ( AMB)初等行变换( E MX )(II) 的解法：将等式两边转置化为 AT XT BT ，用 (I) 的方法求出 X T ，再转置得 X 零向量是任何向量的线性组合 , 零向量与任何同维实向量正交 .单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.部分相关 , 整体必相关；整体无关, 部分必无关 .（向量个数变动）原向量组无关 , 接长向量组无关；接长向量组相关, 原向量组相关 .（向量维数变动）两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关p教材 114 .向量组1, 2 ,n

8、中任一向量i (1 i n) 都是此向量组的线性组合 .向量组1, 2 ,n 线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n 1 个向量线性表示 .向量组 1, 2 ,n 线性无关向量组中每一个向量i 都不能由其余 n1 个向量线性表示 .m 维列向量组1,2 ,n 线性相关r ( A)n；m 维列向量组1 ,2 ,n 线性无关r ( A)n .若 1, 2 , ,n 线性无关，而1 , 2 , n ,线性相关 , 则 可由 1 , 2 , n 线性表示 , 且表示法唯一 .矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩 . 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为

9、0 ；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0 时，称为行最简形矩阵? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩 , 且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩 , 且不改变行向量间的线性关系 .即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：;.对 A 施行一次初等 行 变换得到的矩阵 , 等于用相应的初等矩阵 左 乘 A ；对 A 施行一次初等 列 变换得到的矩阵 , 等于用相应的初等矩阵 右 乘 A .矩阵的秩如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r1 阶子式

10、均为零，则称矩阵A的秩为 r . 记作 r ( A)r向量组的秩向量组1 , 2 ,L ,n 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩. 记作 r ( 1 ,2 ,L ,n )矩阵等价A 经过有限次初等变换化为B .记作： A %B向量组等价1,2 , n 和1 , 2 , n 可以相互线性表示. 记作：1 , 2 , n % 1, 2 , , n? 矩阵 A 与 B等价PAQB ， P, Q 可逆r ( A)r (B), A, B为同型矩阵A, B 作为向量组等价, 即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵 A 与 B 作为向量组等价r ( 1 ,2 ,n )r (1, 2 ,n )r (

11、1,2 ,n , 1 , 2 ,n )矩阵 A 与 B 等价 .?向量组1,2,s可由向量组1 ,2 ,n 线性表示AXB 有解r ( 1 , 2 , n )= r ( 1 , 2 ,n , 1, 2 , , s)r ( 1, 2 , s) r ( 1 , 2, n ) .?向量组1,2,s可由向量组1 ,2 ,n 线性表示 , 且 sn ，则1 ,2 ,s 线性相关 .向量组1,2, s线性无关 , 且可由1,2 , , n 线性表示 , 则 s n .?向量组1,2,s可由向量组1 ,2 ,n 线性表示 , 且 r (1 ,2 ,s )r (1 ,2 , , n ) , 则两向量组等价；p

12、教材 94, 例 10?任一向量组和它的极大无关组等价. 向量组的任意两个极大无关组等价.?向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.?若两个线性无关的向量组等价, 则它们包含的向量个数相等 .?设 A 是 m n 矩阵 , 若 r ( A)m ， A 的行向量线性无关；若 r ( A)n ， A 的列向量线性无关, 即：1 ,2 ,n 线性无关 . 矩阵的秩的性质： 若 AOr ( A) 1若 AOr ( A)00 r ( Am n ) min( m,n);.(A)(AT )(T)p教材 101, 例15rrrAA r (kA)r ( A)若 k0若Am n, Bn s ,

13、 若 r ( AB)0r ( A) r (B)n的列向量全部是Ax的解B0 r ( AB) min r ( A),r ( B)若A可逆若B可逆若 r ( Am n )r ( AB)r (B)r ( AB)即：可逆矩阵不影响矩阵的秩 .r (A)Ax只有零解nr ( AB) r ( B)；在矩阵乘法中有左消去律ABOBOAABACBC若 r (Bn s) nr ( AB)r (B)在矩阵乘法中有右消去律 .B若 ()ErOErO等价标准型 .与唯一的等价，称为矩阵 的r ArAOOOAOr ( AB) r ( A)r ( B)max r ( A), r ( B) r ( A, B) r ( A)

14、r ( B)p教材 70A OO A( ) (B)rA C( ) ( )rBBrA rrAr BOOO B;.n可由1 , 2 ,L , n 线性表示Ax有解r ( A)r ( AM )nr ( A) r (AM )不可由1 , 2 ,L , n线性表示Ax无解r (A)r ( AM )r ( A)1 r ( AM )Ax有无穷多解其导出组有非零解注 ：.Ax有无穷多解当A为方阵时A 0表示法不唯一1 ,2 ,L , n 线性相关Ax0有非零解Ax有唯一组解当A为方阵时A 0 克莱姆法则表示法唯一1,2 ,L , n线性无关Ax只有零解教材 72讲义 8 7Ax有唯一解其导出组只有零解线性方程

15、组的矩阵式Ax向量式x1 1x22 Lxnna11a12La1 nx1b11 ja21a22L a2n, xx2b22 j, j1A,j,2, , nMMMMMMLam1am 2 Lamnxnbmmjx1( 1 ,2 ,L ,x2n )Mxn;.矩阵转置的性质：( AT )T矩阵可逆的性质：( A 1) 1伴随矩阵的性质：( A )n若 r ( A)nr ( A )1若 r ( A) n 10若 r ( A)n 1A( AB)TBT AT(kA)TkATATA( AB)TATBT( A1 )T( AT ) 1( AT )( A )TA( AB) 1B 1 A 1(kA)1k 1 A 1A 11

16、( AB) 1A 1B 1( A1 )k( Ak ) 1A kAn 2( AB)B A(kA)k n 1 AAn 1( AB)*A*B*1)( A )1A( Ak )( A ) kA AA( AAAB A BkA kn AAkAkAA A A A E （无条件恒成立）A B A B;.(1)1 , 2是 Ax的解 ,12也是它的解(2)是 Ax的解 ,对任意 k ,k也是它的解齐次方程组(3)1 , 2 ,L,k是 Ax的解 ,对任意 k个常数1 , 2 ,L ,k ,1 12 2k k 也是它的解线性方程组解的性质：(4)是 Ax的解 , 是其导出组 Ax的解 ,是 Ax的解(5)1 , 2

17、是 Ax的两个解 ,12是其导出组 Ax的解(6 )2是 Ax的解 , 则1也是它的解12是其导出组 Ax的解(7)1 , 2 ,L,k是 Ax的解 , 则1 12 2k k 也是 Ax的解12k11 12 2k k 是 Ax0的解12k0 设 A 为 mn矩阵 , 若 r ( A)mr ( A)r ( AM )Ax一定有解，当 mn 时 , 一定不是唯一解方程个数未知数的个数则该向量组线性相关 .向量维数向量个数,m 是 r ( A)和 r ( AM ) 的上限 . 判断 1, 2 ,L ,s 是 Ax的基础解系的条件：1, 2 ,L,s 线性无关；1, 2 ,L,s 都是 Ax的解； sn

18、 r ( A) 每个解向量中自由未知量的个数. 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. 若是 Ax的一个解，1 , ,L,s 是 Ax的一个解1 , ,L , s,线性无关 Ax与 Bx同解（ A, B 列向量个数相同） , 则： 它们的极大无关组相对应, 从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系.AxBxA)() 两个齐次线性线性方程组与同解rrArB.B;.A 两个非齐次线性方程组Ax与 Bx都有解，并且同解rMr()r().BMAB 矩阵 Am n 与 Bln 的行向量组等价齐次方程组Ax与 Bx同解PAB （左乘可逆矩阵P ）；p教材 101矩阵 Am

19、 n 与 Bln 的列向量组等价AQB （右乘可逆矩阵Q ）. 关于公共解的三中处理办法： 把(I)与 (II)联立起来求解； 通过 (I)与 (II) 各自的通解，找出公共解；当(I)与 (II)都是齐次线性方程组时，设1,2 ,3 是 (I) 的基础解系 ,4 ,5 是 (II)的基础解系， 则 (I)与(II)有公共解基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即： r ( 1, 2 , 3 )r ( 1, 2 , 3 Mc1 4c2 5 )当(I)与 (II)都是非齐次线性方程组时，设1c1 1c22 是 (I)的通解，2c33 是 (II)的通解， 两方程组有公共解2c3

20、 31 可由1,2 线性表示 .即： r ( 1 ,2 )r (1,2 M 2c3 31 ) 设 (I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出 (I) 的通解中的任意常数所应满足(II) 的关系式而求出公共解。标准正交基n 个 n 维线性无关的向量, 两两正交 , 每个向量长度为1.TTna1, a2 ,Lb1 ,b2 ,L,bn(,)aibia1b1a2 b2Lanbn向量,an与的内积i 1与 正交 ( ,) 0 . 记为：Tna1, a2 ,L( ,)ai2a12a22Lan2向量,an的长度i1是单位向量(, )1.即长度为 1的向量 . 内积的性质： 正定性： (,)0, 且 (,

21、)0 对称性： (,)( ,) 双线性： (,12 )(,1 )(,2 );.(12,)( 1,)(2 ,)( c ,)c(,)(, c)A的特征矩阵EA .A的特征多项式EA() .( ) 是矩阵A 的特征多项式( A)OA的特征方程EA 0 .Axx ( x为非零列向量 )Ax与 x线性相关A1 2 Lntr A ， tr A 称为矩阵 A 的迹 .n1i 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素 . 若 A0 , 则0 为 A 的特征值 , 且 Ax的基础解系即为属于0 的线性无关的特征向量 .a1 r ( A)1A 一定可分解为A =a2b1 ,b2 , L ,bn 、 A2(a1b1a2b2 L anbn ) A , 从而 A 的特征Man值为： 1 tr A a1b1 a2b2 L anbn ,23Ln 0 p指南 358 .T为 A 各行