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1、有理数简便运算技巧（十五法）有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。例1 计算：。解：原式 。二、凑整将和为整数的数结合计算。例2 计算：。解：原式 。三、对消将相加得零的数结合计算。例3 计算：。原式 。四、组合将分母相同或易于通分的数结合。例4 计算：。解：原式 。五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。例5 计算：。 原式 六、转化将小数与分数或乘法与除法相互
2、转化。例6：计算：例8 计算：解：原式 。七、变序运用运算律改变运算顺序。例8 计算：解：原式 。八、约简将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。解：原式 。九、逆用正难则反，逆用运算律改变次序。例11 计算： 。解：原式 。十、观察根据0、1、在运算中的特性，观察算式特征寻找运算结果为0、1或的部分优先计算。例12 计算：。解：，。原式。十一、变量替换通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用例6 计算(0.125)解：设a =，b = 0.125，c =，则(0.125)= (b)= 1评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若
3、仔细观察，整个式子可分为三个部分：，0.125，因此，采用变量替换就大大减少了计算量十二、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化例8 计算()()()()解：把式括号内倒序后，得：()()()()， 得：12345859 = 1770，()()()() =(1770) = 885评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度 十三、添数配对例9 计算111921993199941999951999996199999971999999981999999999解：添上987654321，依次与各数配对相加，得：111921
4、993199941999951999996199999971999999981999999999= 20200210210210(987654321)= 222222222045= 2222222175评析：添数配对实质上也是一种凑整运算十四、整体换元对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果例10 计算1解；设1= x，则()，得=x， ，得1=x，解得x =，故1=十五、分组搭配观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算例7 计算：2345678966676869解：2345678966676869= (2345)(6789)(66676869)= 0000= 0评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题