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1、2.3 矩阵的条件数与病态方程组,一、矩阵的条件数,二、线性方程组的性态,三、病态线性方程组的求解,2.3 矩阵的条件数与病态方程组,例1 方程组,准确解：,若A及b作微小变化，考虑扰动后的方程组：,准确解：,方程组解的几何解释为：平面上两条接近于平行的直线的 交点，当其中一条直线稍有变化时，新的交点与原交点相 差很远。,例2 方程组,准确解为：,（1）对右端b作微小扰动：,（2）对系数矩阵A作微小扰动：,4488倍,15111倍,2.3 矩阵的条件数与病态方程组,一、矩阵的条件数,矩阵条件数的定义,矩阵条件数的性质,一、矩阵的条件数,改写（2.22）式：,Proof,矩阵条件数的定义：,矩阵
2、条件数的性质：,（6）Cond(AB) Cond(A) Cond(B),二、线性方程组的性态,答案：,希尔伯特（Hilbert）阵,定义：,-最著名的病态矩阵,对称正定矩阵,在MATLAB中，函数hilb（）提供了Hilbert矩阵,希尔伯特（Hilbert）阵,-最著名的病态矩阵,Hilbert矩阵的条件数：,求解病态方程组出现的问题：,例：用MATLAB求解线性方程组,输入：,得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,1.000,输入：,得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,0.9999 1.0002，0.9996，1.0004，0.9998，1.0
3、00,输入：,得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,1.000,输入：,得：ans=1.000, 1,000, 1.000, 1.000, 0.999 1.000，0.999， 1.000， 0.999，1.000,输入：,得：ans=1.000, 1,000, 1.001, 0.979 1.202 -0.141, 4.886, - 6.842, 9.446, -2.9071 6.4271, -19.1914,24.787,9.577, -50.545, 65.566, -47.751, 27.814, -9.191, 2.883,三、病态线性方程组的求解,1、病态线性方
4、程组的判别,2、病态线性方程组的求解,（1）采用高精度,（2）（预处理）平衡法,（3）残差校正法,（4）奇异值分解法,三、病态线性方程组的求解,1、病态线性方程组的判别,例（P49）,三、病态线性方程组的求解,1、病态线性方程组的判别,例（P49）,2、病态线性方程组的求解,（2）预处理,设有预处理矩阵P，对方程组AX=b预处理,PAX=Pb,使,2、病态线性方程组的求解,（1）采用高精度,（2）预处理,例4（P49）,方程组病态,进行行平衡:,得同解方程组:,(3)残差校正法,（迭代求精法，迭代改善法）,Y,N,(3)残差校正法,（迭代求精法，迭代改善法）,（4）奇异值分解法,U、V正交阵，
5、S对角阵,在MATLAB中，函数svd（）作矩阵的奇异值分解,a)奇异值分解（Singular-Value Decomposition）,如：求H4的奇异值分解。输入,如：求H4的奇异值分解。输入,得到：,U=-0.7926 0.5821 -0.1792 -0.0292 -0.4519 -0.3705 0.7419 0.3287 -0.3224 -0.5096 -0.1002 -0.7914 -0.2522 -0.5140 -0.6383 0.5146,S=1.5002 0 0 0 0 0.1691 0 0 0 0 0.0067 0 0 0 0 0.0001,V=-0.7926 0.5821 -0.1792 -0.0292 -0.4519 -0.3705 0.7419 0.3287 -0.3224 -0.5096 -0.1002 -0.7914 -0.2522 -0.5140 -0.6383 0.5146,b)用奇异值分解解线性方程组,思考:这种方法有问题吗？,令,请大家自己查阅有关书籍数值分析与实验，薛毅,小 结,2.3 矩阵的条件数与病态方程组,一、矩阵的条件数,二、线性方程组的性态:病态和良态,三、病态线性方程组的求解,（1）采用高精度,（2）（预处理）平衡法,（3）残差校正法,（4）奇异值分解法,证明 (1),只要证明A+A非奇,(2),证毕,