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1、八年级 上册,13.4 课题学习 最短路径问题,为什么有的人会经常践踏草地呢？,绿地里本没有路，走的人多了 ,禁止践踏,爱护草坪,两点之间，线段最短,如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？,两点之间,线段最短, ,要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？,垂线段最短,张村,河流,泵站,前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为 最短路径问题 现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题.本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题
2、”,将军饮马问题：,两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：,将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？,这就是被称为将军饮马而广为流传的问题。,P,两点之间线段最短.,根据：,B,A,(一)两点在一条直线两侧,例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？,最短路线：,将军饮马：,A -P- B.,例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎
3、样走路程最短？,A,B,河,两点在一条直线同侧,C,河边,B,利用对称：将两条线段的和转化到一条直线上，运用两点之间线段最短求最小值,将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线,前面的问题就转化为：当饮马点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小,做法：（1）作点B关于直线l 的对称点B；,（2）连接AB，与直线l 相交于点C 则点C 即为所求,证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不 重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC 在ABC中， ABAC+BC， AC +
4、BCAC+BC 即AC +BC 最短,你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小,证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C（与点C 不重合），证明AC +BC AC +BC？这里的“C”的作用是什么？,回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？,轴对称,.,.,.,.,.,两点在一条直线同侧,(二)一次轴对称：,活动一：,甲、乙两村之间隔一条河，如图所示现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？,A,B,A,活动一：,甲、乙两
5、村之间隔一条河，如图所示现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？,利用平移：将折线和的最小值，转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值,回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？,平移,活动二 如图，河流与公路所夹的角是一个锐角，某公司A在锐角内现在要在河边建一个码头C，在公路边D修建一个仓库，工人们从公司出发，先到 河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处，问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短,河流,公路,活动二 抽象成数学模型： 点A在MON内，在边MO和NO上各找一点B、C使 AC+CB+BA（即ABC的周
6、长）的距离最短。,N,M,O,提示一：求三角形周长的最小值可转化为一条直线上,河流,公路,活动二 抽象成数学模型： 点A在MON内，在边MO和NO上各找一点B、C使 AC+CB+BA（即ABC的周长）的距离最短。,利用对称：将三角形三边和，转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值,活动三：根据上述原理回答：在两条互相垂直的公路a、b旁有两个居民小区A、B，现要在这两条公路旁建立两奶站向两居民区供奶，应建在何处，使得两居民小区A、B与这两个奶站所围成的四边形的周长最小？,我思考,我进步,变式思考 活跃思维,B,A,公路a,公路b,活动三 抽象成数学模型：在直线a和直线b上各找一点C、D，使A
7、B+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最小值。,我思考,我进步,变式思考 活跃思维,B,A,公路a,公路b,提示一：AB为定值，只需求折线AD、CD、BC和的最小值。,我思考,我进步,变式思考 活跃思维,B,A,公路a,公路b,B1,A1,C,D,利用对称：三边和转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值,活动四 抽象成数学模型：在直线a和直线b上各找一点C、D，使AB+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最小值。,探究二：,在河边有A、B两个村庄，要在河边建立水泵站，要使它到两个村庄的距离之差最大，请你确定水泵站的位置？,A,B,两点在一条直线同侧,C,问：两边之差|CB CA|是否存在
8、最值问题？,C,当A、B、C三点共线时，|CBCA|最大,探究二：,在河两边有A、B两个村庄，要在河边建立水泵站，要使它到两个村庄的距离之差最大，请你确定水泵站的位置？,两点在一条直线两侧,抽象成数学模型： A、B两点分别在直线L的两侧，在直线L上取一点P使PBPA最大。,提示：,作B的对称点B1，将PB-PA转化到同侧,探究二：,两点在一条直线两侧,抽象成数学模型： A、B两点分别在直线L的两侧，在直线L上取一点P使PBPA最大。,利用对称：将两线段之差转化到三角形中比较，当三点共线时求线段差的最大值,探究二：,小结,（1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称和平移在所研究问题中起什么作用？,能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想,利用轴对称或平移实质是将折线段转化为直线段， 利用“两点之间，线段最短”来解决问题,两条线段和的最小值 两点之间，线段最短,线段和差的最值问题解题策略,两条线段差的最大值 三角形两边之差小于第三边,当P运动到E时，PAPB最小,当Q运动到F 时，即C、D、F三点共线时，|QDQC|最大,