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1、谨小慎微，水到渠成 -说2015年中考选择题,在直线上摆放着三个正方形. 如图1，已知水平放置的两个正方形的边长依次是a,b.斜着放置的正方形的面积S=_，两个直角三角形的面积和为_；（均用a,b表示） 如图2，小正方形的面积S1=1，斜着放置的正方形的面积S=4，求图中两个钝角三角形的面积m1和m2，并给出图中四个三角形的面积关系； 图3是由五个正方形所搭成的平面图，T与S分别表示所在三角形和正方形的面积，试写出T与S的关系式，并利用和的结论说明理由.,原题再现:,这两题是温州市2015年中考中的第9、第10题考试大纲中模拟卷一的第26题（即最后一题）。 此题主要考察了学生对直角三角形，勾股
2、定理，全等三角形的判定和性质，正方形等知识的综合应用，及读图，分析，归纳，类比等能力。 此题分为三个小题，由易到难，步步为营，环环紧扣，符合的要求。,说背景,说题目,本题第1问，已知两小正方形的边长，求大正方形的面积及两直角三角形的面积和。,本题第2问，已知两正方形面积，求新建两钝角三角形面积及图中四个三角形之间的面积关系。,图1,b,a,S,说解法,解析：以m1为例：过A作高AH,易证ADHDKP(AAS),易证m1=m2=SDKP= SEPQ=,本题第1问，求S及两三角形面积和。,本题第2问，求两钝角三角形面积以及图中四个三角形之间的面积关系.,图1,b,a,S,P,H,E,D,Q,F,C
3、,K,G,B,A,m,2,m,1,S,2,S,1,图2,AH=KP=EQ,得 m1 =,解析：由全等三角形可知， S=a2+b2 两直角三角形面积和=ab,说题目,第3问，建立在1,2小题图形基础上再构造，已知5个正方形，1,2小题的结论和证明过程，以及图形中的直角关系，求三角形T和正方形S的面积关系。,说反思,本题1,2小题，重点考察用全等三角形，难度不大，但依然在第二小题失分较多，原因在于学生对钝角三角形高在三角形外部这个知识的理解出现了偏差，有些作出了高却依然想不到类比第1小题的全等思路。,解析：连接BC， 思路：先证SABC=S, 再证SABC=T, 则T=S,说解法,第3问，求三角形
4、T和正方形S的面积关系。,先证SABC=S, SABC= S,由(1)(2)小题可知：,说解法,F,G,K,P,Q,A,B,C,N,M,T,图3,S,a,a,b,b,通过面积计算可得,说解法1,再证T=SABC,过N作NRAM, 过B作BWAC,易证ANRABW (AAS) NR=BW,又AM=AC,SAMN=SABC 即T=SABC,解法1：作高，证全等, SABC= S T=S,W,R,F,G,K,P,Q,A,B,C,N,M,图3,S,T,双三角模型-面积相等,倍长中线法 证明：双三角模型面积相等,易知ADNABC(SAS) (理由: NAM+DNA=180 NAM+BAC=180 DNA
5、=BAC 又DN=AM=AC, NA=AB),构造平行四边形AMDN,说解法2,O,D,A,B,C,N,M,又 DNOAMO S NAM=SABC,易证AHEABD;AFGADC,作高，两次全等 证明：双三角模型面积相等,作ADBC并延长交HG于点P， 作HEAP,FGAP,P,E,F,D,G,H,C,B,A,说解法3, HE=AD=FG,又证PHEPFG, SHAG=SABC,解法4：三角函数面积公式,已知：如图RtMDF, RtDEF，点A和点O分别是所在三角形内心，SADOF=5，求SHDPNFG,解析：作DB=DH，FC=FG，,由内心可知，A，O是角平分线交点，则HAG=PON=13
6、5，,由全等三角形得HAB=GAC=90, SHDPNFG=2SADOF=10,说应用,双三角模型,E,P,N,C,B,O,G,H,M,F,D,A,甬真重高,引申1：AB=kAD, AC=kAE 则SADE：SABC=1：k2,说引申1,双三角模型-变：边长成比例,将双三角模型证明面积相等中的全等三角形方法转化为证明 相似三角形。,2011盐城中考最后压轴题,说引申2,双三角模型-变：角度,条件： HAB+GAC=180 结论： SAHG=SABC,H,G,A,C,B,m,2,m,1,S,2,S,1,图2,S,T,图3,S,再回首,说思想,本题的设计考察了用字母表示数，转化、类比的数学思想方法
7、，且有效地考查了学生对知识的迁移、重组能力，能充分展现学生的学习能力和应用能力。,相比来说，本题第3小题，则是以能力立意的试题。,说反思,解决本题的关键在于 找到辅助ABC， 再运用模型和转化思想。,原题：正方形ABDQ和ACGF,（1）若已知M是DF中点， 则MA延长线与BC垂直。,（2）其逆命题也成立。 即已知ANBC, 求证： NA反向延长线交于DF中点M,F,G,A,C,B,N,M,D,Q,本题通过对一道中考模拟题提炼出双三角模型，通过一模多解和一模多变的方法，将初中知识涉及到的重点知识-全等三角形，相似三角形，图形变换，以及重要思想-转化和类比，归纳总结等加以落实，以点见面，在教学中
8、让学生明白基本模型的重要性。,一叶知秋，题海不是解决问题的最好方法，如果能够深入研究我们的典型题和一些基本的数学模型，相信所有的题目都万变不离其宗-就如此题。,谢谢指导!,说应用2,已知梯形CDEF,以CD,EF为边分别作正方形ABCD和EGGH，NP是DE的中垂线，过A作ANNP,过H作HMNP,求证：AN=MH,解析：过O作OS/CD, OT/EF,平移正方形ABCD,EFGH,如图所示，即证AN=MH可以转化为证明RN=MK,S,T,V,R,K,Q,易证ORNOSP;OMKOPT RN=OP=MK AN=MH,O,双三角模型 面积相等证法3,Add Your Title,说思想,说背景,6.说小结,1.说题目,2.说背景,3.说解法,4.说思想,5.说反思,