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1、第26课 数列与函数考试目标 主词填空1.函数的定义域常要推导或计算才能确定，而数列的定义域都是已知的，是事先确定的，要么是集合1，2，3，n.要么是1，2，3，n，.2.函数的值域须依其定义域推算确定，数列的值域也是计算所得：且为a1，a2，an或a1，a2，a3，an，.3.函数的图像最常见的是连续不断的曲线(若是分段函数则在每一段上是连续不断的曲线)，而数列对应的点(n，an)描绘出来的图形是一些“孤零零的点”，不是线状图形.4.函数的单调性考察，须在其定义域内任取x1，x2，不妨设x1x2，然后比较f(x1)与f(x2)的大小关系是否恒定.而数列an的单调性考察，只须比较对一切n，an
2、与an+1的大小关系即可.5.函数的最值，在数列中就是“最大项”或“最小项”.6.函数的作图，往往要利用函数的各种性质或用“变换”作图，而数列的图形只须描点即可.题型示例 点津归纳【例1】 填空题.(1)函数f(x)=sin(xN*)的值域是 ，最大函数值为 .(2)当且仅当n= 时，数列n2-21n单调增. 【解前点津】 (1)考察函数在一个周期内的取值情况即可. (2)an=n2-21n解不等式：anan+1即得. 【规范解答】 (1)f(1)=sin，f(2)=sin，f(3)=sin=sin，f(4)=sin=sin，f(5)=0，故值域为.(2)令an=n2-21n.由anan+1得
3、，n2-21n10.故n11，12，13，.【解后归纳】 考察数列an的单调性，关键是看anan+1)成立与否. 【例2】 判断并证明函数f(x)=-(xN*)的单调性. 【解前点津】 化函数f(x)为再比较f(x+1)与f(x)的大小.【规范解答】 证明：f(x)= 0(xN*),故=1，f(x+1)0，a1)，设y3=18，y6=12.(1)数列yn的前多少项和最大?最大值为多少?(2)试判断是否存在自然数M，使得nM时，xn1恒成立，若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由.(3)令an=logxn+1(n13，nN*),试比较an与an+1的大小.【解前点津】 通过计算yn+1-yn
4、，考察yn的属性，才能计算其前n项和.【规范解答】 (1)yn=2logaxn，yn+1=2logaxn+1yn+1-yn=2logaxn+1-2logaxn=2loga，xn为等比数列，为定值，yn为等差数列，又y6-y3=3d=12-18，d=-2.y1=y3-2d=22，Sn=22n+(-2)=-n2+23n，当n=11或n=12时，Sn取最大值132.(2)已知yn=22+(n-1)(-2)=2logaxn，xn=a12-n，又xn=a12-n1恒成立，当a1时，12-n0，n12；当0a1时，12-n12.当0aM时，xn1恒成立.(3)an=log=1+，已知an在(13，+)上是
5、减函数，anan+1.【解后归纳】 存在性问题，常从计算，假设存在推导入手，值得注意的是：假设应与条件背景相符合，对结果进行检验.对应训练 分阶提升一、基础夯实1.数列an是公差不为0的等差数列，且a7、a10、a15是等比数列bn的连续三项，若等比数列bn的首项b1=3，则b2等于 ( )A. B.5 C.2 D.2.在数列an中，an=n2-22n+10，则满足am=an(mn)的等式有 ( )A.8个 B.9个 C.10个 D.11个3.已知an=sin+cos，则无穷数列an中 ( )A.有最大项无最小项 B.有最小项无最大项C.既有最大项又有最小项 D.既无最大项又无最小项4.设an
6、=cos()，则数列an ( )A.单调递增 B.单调递减C.先递增后递减 D.先递减后递增5.设an=an+bn且a1=1，a2=5，则a4 ( )A.71 B.72 C.73 D.746.设数列xn，yn满足递推关系式组：xn+xnyn=1-n+n2-n3及yn+xnyn=2n2-n3，则以下结论正确的是( )A.xn是递增数列，yn是递减数列B.xn是递减数列，yn是递增数列C.xn与yn都是递增数列D.xn与yn都是递减数列7.设an=log(4n-2n+5+259)，则在无穷数列an中，必有 ( )A.最大项是-1 B.最小项是-1C.最大项是1 D.最小项是18.已知正项无穷数列x
7、n，yn满足递推关系：2xn-yn=n，3x-y=3n2-1,则的值为 ( )A.5 B.4 C.3 D.29.若无穷数列各项和为S，则log2S的值为 ( )A.1 B.-1 C. D.10.无穷数列logm(n2-2n+8)中的最大项是-1，则m ( )A.(1，+) B.(0，) C.(，1) D.二、思维激活11.在数列an中，若a1=1，an+1=n+an，则a2004= .12.数列中最大项的值是 .13.已知数列an各项为非负实数，且满足：+a=1，则此数列各项之和为 .14.已知数列an中，an=1+x+2x2+3x3+nxn.则此数列前4项之和是 .三、能力提高15.已知函数
8、f(x)=abx的图像过点A(1，)和B(2，).(1)求函数f(x)的解析式；(2)记an=log2f(n)，n是正整数，Sn是数列an的前n项和，求S30.16.已知一次函数f(x)的图像关于直线x-y=0对称的图像为C.且ff(1)=-1，若点(n，)(nN*)在曲线C上并有a1=1，-=1 (n2).(1)求f(x)的解析式及曲线C的方程；(2)求数列an的通项公式；(3)设Sn=+，求：Sn之值. 17.设f(x)=sinx，xR，求f(1)+f(2)+f(3)+f(2004)之值.18.在数列an中，an+1+an=3n-54 (nN*).(1)若a1+20=0，求通项an；(2)
9、设Sn为an的前n项和，证明：当a1+270时，存在自然数m，使得当n=m时，和|an+1+an|都取得最小值，并求此时m的值.第5课 数列与函数习题解答1.B a=a7a15，(a1+9d)2=(a1+6d)(a1+14d)a1=-d公比q=，b2=3=5.2.C an=(n-11)2-111，函数y=(x-11)2-111的对称轴x=11其对称点有10对.3.A an=sin(+)，故a1a2a3an. 4.A an=cos是递增. 5.C 其中an=3n-2n.6.B 解关于xn，yn的二元方程组得：xn=1-n，yn=n2.7.A 注意到f(n)=4n-2n+5+259=(2n-24)
10、2+33.即n=4时有最小值3.8.D 解关于xn及yn的二元二次方程组得：xn=2n-1，yn=3n-2.9.B S=故为-1.10.D 令an=logm(n2-2n+8)，则a1=logm7=-1m=.11.由an+1-an=n(ak+1-ak)=kan-a1=(n-1)，an=1+，a2004=1+20031002=2007007. 12.这是一个周期数列.当n=1时值为，当n=2时值为，n=3时无意义，故此数列只两项.13.n1，2，3，4，5.此数列只有5项，且点(n，an)在椭圆上.an=，a1+a2+a3+a4+a5=+=+=(7+2).14.由条件知：a1=1+x，a2=1+x
11、+2x2，a3=1+x+2x2+3x3，a4=1+x+2x2+3x3+4x4故其前4项之和是a1+a2+a3+a4=4+4x+6x2+6x3+4x4.15.由题意得ab=且ab2=a=，b=4f(x)= .(2)an=log2f(n)=log2f(n)=log2=2n-5(nN*)，an+1-an=2(nN*)，故an是公差为2的等差数列，且a1=-3，由Sn=n(a1+an)S30=30(-3+230-5)=780. 16.(1)设f(x)=kx+b(k0)，则ff(1)=k(k+b)+b=-1即k2+kb+b+1=0，又f -1(x)= -是曲线C的解析式，点(n，)在曲线C上，f -1(
12、n)-f -1(n-1)=-=1，又f -1(n)-f -1(n-1)= =，故k=1代入k2+kb+b+1=0得b=-1，f(x)=x-1f -1(x)=x+1，曲线C为：x-y+1=0.(2)由(1)知当x=n时，f -1(x)=n+1，故=n+1，而a1=1于是=234n，即an=n!.(3)，Sn=-Sn=.17.f(1)=的正弦=，f(2)=sin=，f(3)=sin=1，f(4)=sin=，f(5)=sin=，f(6)=0，f(7)=-，f(8)=- ，f(9)=-1，f(10)=-，f(11)=- ，f(12)=0，f(1)+f(2)+f(12)=0，f(1)+f(2)+f(20
13、04)=167f(1)+f(2)+f(3)+f(12)=0.18.(1)由已知a2+a1=-51，又a=-20，a2=-31由an+2-an=3，数列an的奇数项和偶数项分别成公差为3的等差数列.当n为奇数时，an=-20+3=(3n-43)；当n为偶数时，an=-31+3=(3n-68)故an=.(2)当n为偶数时，Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+(an-1+an)=(31-54)+(33-54)+3(n-1)-54=31+3+5+(n-1)-54=n2-27n；此时当n=18时，(Sn)min=-243；当n为奇数时，Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(an-1+an)=a1+(32-54)+(34-54)+3(n-1)-54=a1+3(2+4+6+n-1)- 54=n2-27n+a1，此时，当n=17或19时，Sn取得最小值a1-216.当a1-27时，a1-216243.综上所述知；当n=18时，Sn取最小值-243，又|an+an+1|=|3n-54|，此时当n=18时，|an+1+an|取最小值0.故存在自然数m=18时，Sn与|an+1+an|都取得最小值.